人教版八年级数学上册第十五章轴对称 教案
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第十五章 轴对称
单 元 备 课
第15单元 本单元所需课时数 10课时
课标要求 1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对称点的连线被对称轴垂直平分.2.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.3.理解轴对称的图形的概念;探索等腰三角形的轴对称性质.4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.5.理解线段的垂直平分线的概念，探索并证明线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反之，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的中线、高及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.7.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.8.能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线；已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
教材分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，了解轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称探索等腰三角形的性质，学习等腰三角形的判定方法，并进一步学习等边三角形的性质.
主要内容 本章的主要内容是轴对称，等腰三角形.主要包括四节：第15.1节“图形的轴对称”主要介绍轴对称图形、图形的轴对称的概念，垂直平分线的性质定理及其逆定理；第15.2节“画轴对称的图形”主要研究画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法，坐标平面上轴对称的坐标规律；第15.3节“等腰三角形”主要包括等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定.第4节“综合与实践 最短路径问题”主要研究“牧民饮马问题”“牧民饮马问题的拓展”和“选桥造纸问题”.
教学目标 1.了解轴对称的图形和两个图形成轴对称的概念，掌握成轴对称的两个图形的性质和轴对称的图形的性质.2.了解线段的垂直平分线的概念，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理和逆定理．3.会做轴对称的图形的对称轴.4.掌握作轴对称的图形的方法，能在平面直角坐标系中作点关于坐标轴的对称点，能根据坐标变化规律在坐标系中画对称图形.5．掌握等腰三角形的性质和判定，运用等腰三角形的性质和判定进行证明和计算． 6．掌握等边三角形的性质与判定，运用等边三角形的性质和判定进行证明和计算.掌握含30°角的直角三角形的性质与应用.7.能够求解最短路径问题.8.能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线；已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
课时分配 15.1 图形的轴对称 3课时15.2 画轴对称的图形 2课时15.3 等腰三角形 4课时综合与实践 最短路径问题 1课时
教与学建议 1.注意联系实际.2.注意知识间的联系，有机地整合相关内容.3.注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程.
15.1 图形的轴对称
15.1.1 轴对称及其性质
课题 轴对称及其性质 课型 新授课
教学内容 教材第62-65页的内容
教学目标 1.了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.2.掌握成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质.3.了解线段的垂直平分线的概念.
教学重难点 教学重点：轴对称图形和图形的轴对称的概念，轴对称的性质，线段的垂直平分线的概念.教学难点：探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志（图1），甚至日常生活用品中，都可以找到对称的例子.图12.发现探究，学习新知【问题1】如图2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花.观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？图2学生通过观察发现这些图形都是对称的，图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合，教师指出：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称.追问：你能再举出一些轴对称图形的例子吗？学生思考，并举例.【问题2】观察下面每对图形(图3），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗 图3学生观察思考，并相互交流，发现其共同特征——每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.教师进一步说明:像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.追问1:你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗 学生思考，并回答.追问2:你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系吗 学生独立思考后，进行交流，然后学生代表发言，教师根据学生回答情况进行评价，如果学生有困难，可以适时追问下面的问题：(1）成轴对称的两个图形全等吗 (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗 这两个图形对称吗 师生共同归纳得出，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.成轴对称的两个图形全等.【问题3】如图4，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'，B’，C'分别是点A，B，C的对称点，线AA'，BB',CC'与直线MN有什么关系？图4学生尝试回答，并相互补充，最后得出:AA'与MN垂直，BB'，CC'也与MN垂直，同时MN平分线段AA'，BB'和CC'.追问1:你能说明其中的道理吗 学生独立思考，学生代表汇报，师生共同交流，教师关注学生能否从这两个图形成轴对称的定义出发，发现折叠后点A与A'重合，进而得到PA=PA';能否发现折叠后∠APM,∠A'PM的顶点是重合的，进而得出这两个角相等，AA'与MN垂直.同理，BB'，CC'与MN也垂直.追问2:前面的例子说明“△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，那么，直线MN垂直线段AA'，BB'和CC'，并且直线MN还平分线段AA'，BB'和CC'，如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”……其他条件不变，上述结论还成立吗 教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，学生类比前面的研究过程得出结论，说明结论.教师指出：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.追问3:你能用数学语言概括前面的结论吗 学生尝试概括，并相互补充，得出成轴对称的两个图形的性质:成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.教师引导学生将成轴对称的两个图形的性质的结论用其他方式表述，即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段.【问题4】图5是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？图5学生类比成轴对称的两个图形的性质的探究过程和探究方法发现结论：直线l垂直线段AA'，BB'，直线l平分线段AA'，BB'(或直线l是线段AA，BB'的垂直平分线），然后说明理由.追问：你能用数学语言概括前面的结论吗 学生尝试概括，并相互补充它，得出轴对称图形的性质.3.学以致用，应用新知考点1 轴对称图形【例1】如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是指出它的对称轴.答案：是 不是 是 是考点2 两个图形成轴对称【例2】如图，成轴对称的有( )个．A.1 B.2 C.3 D.4答案：B考点3 轴对称的性质【例3】如图是轴对称图形，图中直线l是它的对称轴． （1）∠3和∠4有什么关系？AB与A′B′呢？为什么？ （2）DD′与直线l有什么关系？为什么？ （3）写出图中其他相等关系．（不少于三对）解：（1）∠3＝∠4，AB＝A′B′，因为轴对称图形中对应角相等，对应线段相等．（2）直线l是DD′的垂直平分线，因为轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）AD＝A′D′，∠1＝∠2，DC＝D′C′等．4.随堂训练，巩固新知教材P64练习1,2,3.【教材变式1】你能说出以下轴对称图形有几条对称轴吗？答案：1 2 4 无数 【教材变式2】如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）A．AC=A1C1B．BO=B1OC．CC1⊥MND．AB∥B1C15.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.轴对称图形和图形的轴对称的区别与联系是什么？3.成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？6.布置作业1.教材P69习题15.1第1,2,3，7,题；2.教材P91复习题第1,8题；3.学霸创新题P48-P49. 让学生通过观察图片，感知具体的轴对称图形的特征，为抽象出辆对称图形的概念作铺垫.让学生通过举例，对轴对称图形的本质特征进行再认识.让学生观察具体的实例，类比轴对称图形概念的学习过程，发现两个图形成轴对称的特征，进而概括出轴对称的概念.让学生观察具体的实例，类比轴对称图形概念的学习过程，发现两个图形成轴对称的特征，进而概括出轴对称的概念.让学生知道轴对称图形和两个图形成轴对称的本质是一致的，但同时两考也是有区别的，轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.从特例出发，让学生经历发现结论，说明结论的过程，体会概念在探索性质中的重要作用.拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历由特殊到一般地探索问题的过程，体会研究问题的一般化方法和类比方法.培养学生的抽象概括能力，提高学生对成轴对称的两个图形的性质的认识.让学生在探索成轴对称的两个图形的性质的基础上，探索轴对称图形的性质，体会类比方法在研究数学问题中的作用.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括轴对称图形，两个图形成轴对称，图形轴对称的性质.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.1图形的轴对称15.1.1 轴对称及其性质1.轴对称图形： 例题 2.两个图形成轴对称： 练习3.轴对称的性质：
教学反思这节课充分利用动手操作、观察探究，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，形成认识，独立获取知识和技能．另外，在动手过程中创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养．
15.1 图形的轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
课题 线段的垂直平分线的性质与判定 课型 新授课
教学内容 教材第65-67页的内容
教学目标 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理和逆定理．2.了解逆命题与逆定理的概念.
教学重难点 教学重点：线段的垂直平分线的性质定理和逆定理，尺规过一点作已知直线的垂线教学难点：线段的垂直平分线的性质定理和逆定理的探究
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课【问题1】上节课我们学习了垂直平分线的概念，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.根据我们之前研究几何问题的规律，接下来我们应该继续探究什么问题呢？教师指导学生回顾前面研究三角形的边和角，全等三角形，角平分线等过程，得出伴随几何概念的研究，一般继续探究性质与判定.这节课我们就将开始研究线段的垂直平分线的性质与判定方法.2.发现探究，学习新知如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l 上，分别比较点P1，P2，P3，… 与点A 的距离和这些点与点B 的距离，你能发现什么？学生自行研究，得出结论：可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，… ，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.追问：经过前面的研究你能得出什么结论呢？教师引导学生得出一般性的结论即线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.追问：前面我们是通过实验的方法得到的结论，能不能对这一结论进行证明呢？教师指导学生进行证明：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证PA =PB．证明：当点P与点C不重合时，∵ l⊥AB，∴ ∠PCA =∠PCB．又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．∴ PA =PB．【问题2】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？学生自行给出证明：如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴AC =BC．又 PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．追问：通过上面的证明可以得到什么结论呢？教师引导学生得出结论：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.教师总结前面垂直平分线的性质及其逆定理：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.也就是说线段的垂直平分线上包含了所有到线段两端点距离相等的点.【问题3】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，说明结论.教师总结：这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.3.学以致用，应用新知考点1 线段的垂直平分线的性质【例1】如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列判断正确的有_____ .①AB⊥MN; ②MD=ND; ③AB是MN的垂直平分线; ④AD=BD.答案：①④考点2 线段的垂直平分线的判定【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上.在Rt△ADC和Rt△ADE中，AD＝AD，CD＝ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴点A也在CE的垂直平分线上，∴直线AD是CE的垂直平分线．4.随堂训练，巩固新知教材P67练习1,2.【教材变式1】.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ）A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ ACB答案：A【教材变式2】如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm，则AC的长是 .答案：10cm5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.线段的垂直平分线的性质和判定分别是什么？6.布置作业1.教材P69习题15.1第4,5，6，8，13题；2.教材P91复习题第2，3,10题；3.学霸创新题P50-P51. 巩固复习上节课所学内容，帮助同学们回顾几何问题学习的一般过程.让同学们自行测量猜想，然后用轴对称图形的折叠得到性质.用三角形全等对性质进行证明，体现数学研究的严谨性，同时加深对这一性质的认识.让同学们自行证明线段的垂直平分线的判定，让学生经历观察、探究、猜想、证明的完整过程.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括线段的垂直平分线的性质和判定.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.1 图形的轴对称15.1.2线段的垂直平分线第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定1.线段的垂直平分线的性质： 例题2.线段的垂直平分线的判定： 练习
教学反思本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．
15.1 图形的轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
第2课时 线段的垂直平分线的画法
课题 线段的垂直平分线的画法 课型 新授课
教学内容 教材第67-69页的内容
教学目标 1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会作轴对称图形的对称轴.
教学重难点 教学重点：用尺规作已知线段的垂直平分线，作轴对称图形的对称轴教学难点：培养动手操作能力，体会尺规作图的理论依据.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课前面我们学习了线段的垂直平分线，掌握了线段的垂直平分线的定义、性质和判定，对于尺规作图，学生学习过角平分线的作法，类比角平分线的作法可以作出线段的垂直平分线吗？2.发现探究，学习新知【问题1】如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？师生共同讨论作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线.【问题2】有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？教师引导学生根据前面所学内容解决问题：如果两个图形的对称点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.【问题3】不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？同学们分组讨论该问题：轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，所以连接轴对称图形的对称点，这条线段的垂直平分线就是对称轴.【问题4】请用尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.教师指到学生写出已知和求作.已知：直线AB和AB外一点C .求作：AB的垂线，使它经过点C .师生共同讨论作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.（要过点C作AB的垂线，可以在AB是取线段DE，使C在DE的垂直平分线上，由线段的垂直平分线的性质可知CD=CE，故可以一C为圆心画弧与AB交于D,E两点）（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（由两点确定一条直线可知需再找到垂直平分线上的一点F，根据垂直平分线性质的判定可知DF=EF，故应按本步骤作图）（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.【问题5】以上就是线段的垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.请同学们总结一下两个图形成轴对称的对称轴或轴对称图形的对称轴的作法.请同学们回答上述问题：无论是作两个图形成轴对称的对称轴还是作轴对称图形的对称轴，都只需要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就能得到对称轴.要注意找几何图形的对称点时，一般找图形的顶点或转折点，这样作出的图形更准确.3.学以致用，应用新知考点1 作对称轴【例1】下图中的五角星有几条对称轴？请作出其中一条对称轴呢？解：有5条对称轴作法：①找出五角星的一对对称点A和B，连接AB．②作出线段AB的垂直平分线l．则l就是这个五角星的一条对称轴． 4.随堂训练，巩固新知教材P69练习1,2,3.【教材变式1】(用尺规画)如图所示的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的一条对称轴(保留作图痕迹)．【教材变式2】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若AC＝6，AD＝2.则BD的长为( )A．2 B．3 C．4 D．6答案：C5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.如何用尺规作线段的垂直平分线？3.请说明作两个成轴对称的图形的对称轴和轴对称图形的对称轴.6.布置作业1.教材P69习题15.1第1,2,7,10,,12题；2.教材P91复习题第1，8题；3.学霸创新题P52. 教师引导学生作图，让学生逐步熟悉尺规作图作法的表示方法，逐步会用简洁的几何语言表示作图过程.尺规作图经过直线外一点作这条直线的垂线是课标中的要求，也是对线段的垂直平分线的性质和判定的实际应用.让学生自行总结对称轴的作法，能够梳理本节课的重点，对前面的问题作出解答.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括对称轴的作法.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.1 图形的轴对称15.1.2 线段的垂直平分线第2课时 线段的垂直平分线的画法作对称轴 尺规作已知线段的垂直平分线例题 练习
教学反思本节课结合轴对称的性质和线段垂直平分线的作法进行探究.在教学过程中，充分锻炼学生的分析问题、解决问题的能力，提升学生的转化与化归思想.本节课教学效果较好，在动手操作过程中充分调动起了学生的积极性.
15.2 画轴对称的图形
第1课时 轴对称的图形的画法
课题 轴对称的图形的画法 课型 新授课
教学内容 教材第72-73页的内容
教学目标 1.通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法.
教学重难点 教学重点：利用轴对称作图.教学难点：利用对称变换设计图案.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课在一张半透明的纸的左边画一只左脚印，再把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．教师指导学生进行观察思考：左脚印和右脚印有什么关系？图中的线段PP′与直线l是什么关系？学生得出结论：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，直线l垂直平分线段PP′.追问：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠、描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？学生先观察图片、动手操作，再独立思考，然后进行交流．教师组织活动，引导学生归纳：(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．(2)新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.2.发现探究，学习新知【问题1】如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？首先尝试画一个点的对称图形，画出点A关于直线l的对称点A′.教师引导学生思考，点A′与点A关于直线l对称，那么直线l垂直平分AA′，从垂直和平分两个方面考虑，得到画法如下：(1)过点A作对称轴的垂线，垂足为 B；(2)延长AB至A′，使得 BA′＝AB.点 A′就是点A关于直线的对称点. 追问：如图1，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．教师在学生交流的过程中，引导学生确定三角形的关键点，探索作对称点的方法．根据轴对称的性质，只需要作出点A，B，C关于直线l的对称点再连接即可. 如图2，作点A关于直线l的对称点的方法是：过点A作直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取A′O＝AO，A′就是点A关于直线l的对称点；同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′；连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求.追问：通过前面的作图过程，请同学们总结作对称图形的方法.教师请学生进行思考、讨论、归纳、回答问题，并进行总结：几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．追问：对于一些常见的几何图形，他们通常由一些由直线、线段或射线组成，请同学们回顾我们学过的几何图形，并尝试画出其中一个图形关于一条直线的对称图形，说出你所作的对称点是哪些.同学们动手操作，教师观察指导：只要画出图形中一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形．3.学以致用，应用新知考点1 画轴对称的图形【例1】如图，点D在直线l上，作出四边形ABCD关于直线l的对称的四边形．如图所示，四边形A′B′C′D即为所求考点2 在网格中画轴对称的图形【例2】如图，将各图形补成关于直线l对称的图形． 画图：略4.随堂训练，巩固新知教材P73练习1,2.【教材变式1】如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的轴对称图形.【教材变式2】下面是四名同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是( )答案：B5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.请同学们说一下画轴对称的图形的步骤和特殊点.6.布置作业1.教材P75习题15.2第1,2题；2.学霸创新题P53. 从学生最感兴趣的实际问题入手，贴近学生的生活实际，让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，进一步培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力.学生通过观察、思考、动手、合作交流，培养学生的合作意识和思维能力．让学生体会作轴对称的图形的本质是作出图形的关键点的对称点.培养学生的概括总结能力，进一步深化对轴对称的图形的画法的理解.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.2 画轴对称的图形第1课时 轴对称的图形的画法1.画一个点关于直线的对称图形 例题2.画三角形关于直线的对称图形 练习
教学反思本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容．重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以，本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识．练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展．
15.2 画轴对称的图形
第2课时 用坐标表示轴对称
课题 用坐标表示轴对称 课型 新授课
教学内容 教材第73-75页的内容
教学目标 1．能在平面直角坐标系中作点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，能根据坐标变化规律在坐标系中画对称图形.
教学重难点 教学重点：在直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标变换规律，利用坐标变换规律在坐标系中画轴对称图形.教学难点：在坐标系中总结对称图形的坐标变化规律.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课下图是一张老北京城的示意图．【问题1】同学们去过北京吗？知道老北京城整体上有什么样的特点吗？通过图片，你知道它的对称轴在哪？学生结合本章所学内容进行讨论，观察图片的对称性，找到图片的对称轴.追问：东直门、西直门关于对称轴轴对称．现在咱们以这条对称轴为y轴，天安门为原点，就可以在这个平面图上建立平面直角坐标系．一天小明在天安门广场玩，一位游客向小明问西直门的位置，可小明只知道东直门的位置，不过，小明想了想，就准确的告诉了她．你知道西直门的位置具体在坐标系中的哪一点上吗？教师引导学生根据对称的知识回答问题.追问：由于老北京城的轴对称设计，城内许多建筑都关于这条中轴线对称，把老北京城的示意图，抽象成简单的平面直角坐标系，各个景点的地理位置就可用坐标表示出来．这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？教师引导学生分析问题，激发学生的求知欲．学生从中受到启发继续探究点的位置与坐标之间的关系．2.发现探究，学习新知【问题2】在如图所示的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，你能发现坐标之间有什么规律吗？已知点A(2,-3)B(-1,2)C(-6,-5)D(0.5，1)E(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点教师组织学生进行探索、观察、猜测，然后进行归纳总结.学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间的坐标的关系，经过讨论得出规律：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y).追问：请同学们再找几个点，分别画出它们关于x轴和y轴的对称点，检验一下上述规律.教师组织学生进行验证.追问：通过上面的探究，请说出问题1中西直门的坐标.西直门的坐标与东直门的坐标关于y轴对称，则西直门的坐标为(-3.5，4).追问：上节课我们学习了画轴对称的图形，请结合本节课内容讨论如何在坐标系中画轴对称的图形.教师结合例题指导学生画图，总结画图步骤：计算：计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；描点：根据对称点的坐标描点；连接：按原图对应点连接所描各点得到对称图形.3.学以致用，应用新知考点1 利用轴对称的坐标关系画图【例1】如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.考点2 已知对称关系求参数【例2】已知点P(2a+b,-3a)与点P′（8,b+2).若点P与点P′关于x轴对称，则a=_____， b=_______.若点P与点P′关于y轴对称，则a=_____ ，b=_______.答案：2 4 6 -204.随堂训练，巩固新知教材P75练习1,2,3.【教材变式1】已知点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴对称，求点C（a，b）在第几象限？答案：点C（2，-1）在第四象限【教材变式2】平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，－1）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.关于坐标轴对称的点的坐标之间有什么关系？3.怎样利用轴对称的坐标关系画图？6.布置作业1.教材P75习题15.2第3-8题；2.教材P91复习题第4,9题；3.学霸创新题P54-P55. 通过观察图形、找对称轴、建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置，对旧知进行了复习，也为探索新知识做好铺垫，建立新旧知识之间的联系.观察操作，主动探索，研究平面直角坐标系内的轴对称.加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程.与前面的问题相呼应，解决问题.将所研究的对称点的坐标关系应用到画图中.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括利用轴对称的坐标关系画图，已知对称关系求参数.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.2 画轴对称的图形第2课时 用坐标表示轴对称1.关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系：2.利用轴对称的坐标关系画图： 例题 练习
教学反思从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等．调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用．课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度．
15.3 等腰三角形
15.3.1等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
课题 等腰三角形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第78-79页的内容
教学目标 1．理解并掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．
教学重难点 教学重点：等腰三角形的性质及应用.教学难点：等腰三角形性质的探索.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课如图，把一张长方形纸沿图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形是什么特殊三角形？它具有哪些性质？这就是本节课我们要研究的内容．教师演示折纸、剪纸的过程，学生观察所得三角形的形状．教师引导学生通过折叠发现等腰三角形的轴对称性.2.发现探究，学习新知【问题1】把剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，通过这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？用语言描述等腰三角形的这条性质.学生经过观察，找到重合的线段和角，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质.能够发现等腰三角形除了腰相等以外两个底角也相等，我们得到等腰三角形的以下性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；追问：等腰△ABC中，AD有几种角色？各是什么？教师鼓励学生发言，学生能够发现AD是△ABC的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，引导学生用语言描述等腰三角形的这条性质：性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).追问：我们知道等腰三角形是轴对称图形，从上面的操作中，能不能发现证明性质1的方法？如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．通过前面的操作发现，△ABC的中线AD将三角形分成两个全等的三角形，考虑通过三角形的全等证明这些性质：证明：作底边BC的中线AD，则BD=CD.在△BAD和△CAD中AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△BAD≌ △CAD (SSS).∴∠B=∠C，（性质1得证）追问：从上述证明你能得到关于性质2的什么结论？同学们进行讨论得出：由△BAD≌ △CAD 可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∴AD⊥BC.也就是等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边.追问：上述说法能否充分说明性质2，若不能你能进一步证明吗？教师引导学生以同样的方法证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边.教师引导学生类比前面的证明方法进行证明.从而性质2得证.从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.3.学以致用，应用新知考点1 “等边对等角”的应用【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数.解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，解得x=36 °，∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.考点2 “三线合一”的应用【例2】如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.∵AB＝AC，∴BP＝PC.∵AD＝AE，∴DP＝PE.∴BP－DP＝PC－PE.∴BD＝CE.4.随堂训练，巩固新知教材P79练习1,2,3.【教材变式1】等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 答案：B【教材变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是 ( )A．AD⊥BC B．∠EBC＝∠ECBC．∠ABE＝∠ACE D．AE＝BE答案：D5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.我们是怎么样探究等腰三角形的性质的呢？3.请描述一下等腰三角形的性质？6.布置作业1.教材P84习题15.3第1,3,4,9，13题；2.教材P91复习题第5题；3.学霸创新题P58-P59. 通过动手操作引入本节课的课题，激发学生的好奇心和求知欲.通过观察、思考、描述、证明，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯.先通过动手操作发现等腰三角形的性质，再通过几何证明验证性质.教师要让学生注意到，“三线合一”的性质实际上包含了三个命题，需要一一证明.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括“等边对等角”“三线合一”的应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.3 等腰三角形15.3.1等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质1.性质1： 例题2.性质2： 练习
教学反思本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．
15.3 等腰三角形
15.3.1等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
课题 等腰三角形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第80-81页的内容
教学目标 1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算.
教学重难点 教学重点：等腰三角形判定方法的应用.教学难点：等腰三角形判定方法的证明.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等，即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【问题1】如何证明上述猜想呢？2.发现探究，学习新知教师引导学生思考证明方法：①上节课我们用什么方法证明三角形里面的两个角相等？②证明线段或角相等的常用方法是什么？学生经过讨论猜测出可以用三角形全等证明猜想.追问：请写出上述猜想的已知与求证，并请同学回答.学生回答：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.追问：要通过两个三角形全等证明需要先作辅助线，请同学们思考并回答应该怎么作辅助线呢？学生思考并回答：作∠A的平分线，作边BC上的高，作边BC上的中线.教师指导同学们选择一种辅助线的作法自行证明.教师请学生分享自己的证明过程：证明一：如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD=∠CAD.∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠1=∠2， AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴ AB=AC. 证明二：如图，作AD垂直于BC，垂足为点D， ∴∠ADB=∠ADC.∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC， AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴ AB=AC.而作边BC上的中线不能证明.师生共同归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即得到等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）．3.学以致用，应用新知考点1 等腰三角形的判定的应用【例1】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.求证：AB＝AC.证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．又AD平分∠CAE，∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠C．∴AB＝AC(等角对等边)．考点2 用尺规作等腰三角形【例2】已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：如图.（1）作线段AB=a.（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.（3）在MN上取一点C，使DC=h.（4）连接AC，BC.则△ABC就是所求作的等腰三角形.4.随堂训练，巩固新知教材P81练习1,2,3.【教材变式1】如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中的等腰三角形有( )A．6个 B．5个 C．4个 D．3个答案：B【教材变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论． 解：△APQ是等腰三角形．证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°.∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°.∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC.∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P.∴△APQ为等腰三角形．5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.我们是如何探究等腰三角形的判定的呢？3.请描述等腰三角形的判定定理.6.布置作业1.教材P84习题15.3第2,3,4,6,8,10题；2.教材P91复习题第6题；3.学霸创新题P60-P61. 抛出问题展开教学，引导联想性质与判定常常是逆定理的关系，确定等腰三角形的性质的逆命题，提出猜想.教师提示学生联想前面学过用过的知识内容，前后联系，融会贯通，强化学生对于方法的学习.学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴．教师强调此判定方法是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括等腰三角形的判定的应用，用尺规作等腰三角形.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.3 等腰三角形15.3.1等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定1.等腰三角形的判定： 例题 练习
教学反思学生通过回顾总结等腰三角形的性质为学习等腰三角形的判定作了知识铺垫．之后将本节课的教学目标展示给学生，让学生做到心中有数，让学生带着问题看书，加强自主探索的能力．在探究过程中，鼓励学生发现不同的证明方法．整节课的目标基本实现，重点难点落实得比较到位，唯一欠缺的是时间有点紧，课堂小结比较仓促．
15.3 等腰三角形
15.3.2等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
课题 等边三角形的性质与判定 课型 新授课
教学内容 教材第82页的内容
教学目标 1．掌握等边三角形的性质与判定.2．运用等边三角形的性质和判定进行证明和计算.
教学重难点 教学重点：探究等边三角形的性质与判定方法，并能进行简单的应用.教学难点：等边三角形的性质与判定的应用.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课前面我们学习了等腰三角形的性质及其判定，请回答下面的问题：1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的？2．叙述等腰三角形的判定，它是怎么得到的？在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫作等边三角形．2.发现探究，学习新知【问题1】①我们知道等腰三角形的两个底角相等，当这条性质用于等边三角形，能得到什么结论？②先验证手里的纸卡是不是等边三角形，然后用量角器量三个角的度数，能得到什么结论？教师引导学生通过前面的探究得出结论:等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.追问：你能写出已知和求证，并证明这个猜想吗？学生自行证明，教师指导.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC ，求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.证明： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理，∠A=∠C .∴∠A=∠B=∠C.∵ ∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠A=∠B=∠C=60 °.追问：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，并且有“三线合一”的性质，那么等边三角形又即条对称轴呢？根据“三线合一”能推出什么结论呢？教师引导学生进行推理，得出结论，等边三角形有3条对称轴，每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.【问题2】等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个角都相等的三角形是等边三角形是否成立呢？教师指导学生进行推理：△ABC中，∠A=∠B=∠C.∵∠A=∠B，∴AC=BC.同理AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC时等边三角形.得出结论：三个角都相等的三角形是等边三角形.追问：我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形的底边等于腰时它是等边三角形，请同学们思考等腰三角形的角满足什么条件时它是等边三角形呢？同学们自行讨论，得出结论，并作出证明.①等腰三角形的顶角等于60°.已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=60°，∴∠B+∠C=120°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.②等腰三角形的底角等于60°.已知：△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=60°，求证：△ABC是等边三角形.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.教师指导学生做出总结：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.学以致用，应用新知考点1 等边三角形性质和判定的应用【例1】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等边三角形．4.随堂训练，巩固新知教材P82练习1,2.【教材变式1】下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ）A．三个角都相等的三角形B．有两个角等于60°的三角形C．边上的高也是这边的中线的三角形D．有一个外角等于120°的等腰三角形答案：C【教材变式2】如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)求证：DC＝CF.解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝180°－90°－60°＝30°.(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.∴△DEC是等边三角形．∴CE＝CD.∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝FC.∴DC＝FC.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.等边三角形的性质有哪些？3.怎样判定三角形是等边三角形？6.布置作业1.教材P84习题15.3第5，10,11题；2.教材P91复习题第11,12,13题；3.学霸创新题P64-P65. 回顾上节内容，巩固所学，同时引申出本节课所要研究的问题.明确等边三角形是特殊的等腰三角形，引发学生探寻其更多的性质的兴趣.学生通过观察、思考、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯．教师引导学生动手，发现等边三角形三个角的关系，让学生经历观察—实践—猜想—证明的创新思维过程.在等腰三角形对称性的基础上进一步探究等边三角形的对称性，体现了知识的连贯性.将性质的条件和结论调换得到逆命题，并验证其正确性，从而得到等边三角形的判定.进一步让学生熟悉这种探究方法.此处应注意要证明这个结论，须分两种情况讨论.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括等边三角形性质和判定的应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.3 等腰三角形15.3.2等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1.等边三角形的性质： 例题2.等边三角形的判定： 练习
教学反思本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力．
15.3 等腰三角形
15.3.2等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
课题 含30°角的直角三角形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第83页的内容
教学目标 掌握含30°角的直角三角形的性质与应用.
教学重难点 教学重点：含30°角的直角三角形的性质与应用教学难点：探究含有30°角的直角三角形的性质.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课请叙述上节课所学内容：等边三角形的性质：等边三角形的判定：如图，请用支持测量含30°角的直角三角尺的直角边BC和斜边AB的长，猜测他们有什么样的数量关系？教师请学生回顾上节可所学内容，让同学们进行测量并大胆推测，给出猜想.2.发现探究，学习新知【问题1】将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，验证上述猜想吗？教师引导学生分析：①△ABD是什么形状的三角形？②BC和CD有什么关系？教师指导学生梳理推理过程：如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.由此我们得到了含30°角的直角三角形的边角性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．追问：刚才我们是在动手操作的基础上进行的推理，你还能想出其他证明这个性质的方法吗？学生进行分组探究，进行几何证明.教师给出指导点评.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC =AB．证法一：在△ABC 中，∵∠C=90°，∠A =30°, ∴∠B =60°．延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．∴BC =AB.证法二：如图，在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵∠B=60°，BE=BC.∴ △BCE是等边三角形，∴∠BEC= 60°，BE=EC.∵∠A= 30°， ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°= 30°.∴AE=EC，∴ AE=BE=BC， ∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB.3.学以致用，应用新知考点1 含30°角的直角三角形的性质的应用【例1】如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的长．解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴BC＝AB，DE＝AD.∴BC＝×7.4＝3.7(m)．又AD＝AB，∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.4.随堂训练，巩固新知教材P84练习1,2.【教材变式1】在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC= .答案：5【教材变式2】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE＝AB.证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠B＋∠BAD＝90°.∵∠BAC＝120°，∴∠B＝(180°－∠BAC)＝(180°－120°)＝30°.∵DE⊥AB，∴∠ADE＋∠BAD＝90°.∴∠ADE＝∠B＝30°.在Rt△ABD中，AD＝AB，在Rt△ADE中，AE＝AD＝×AB＝AB，即AE＝AB.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.你能说出含30°角的直角三角形的性质吗？6.布置作业1.教材P84习题15.3第7,12,15题；2.教材P91复习题第7题；3.学霸创新题P66. 复习巩固，为本节课做铺垫.学生经历度量三角尺的活动，进行猜测，激发学生继续探究的兴趣.经历拼摆三角形的过程，同时复习巩固轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质，加强知识间的联系.学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯.应用多种方法证明命题，扩展学生思维.分组合作探究，培养学生的合作意识.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括含30°角的直角三角形的性质的应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.3 等腰三角形15.3.2等边三角形第2课时 含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质： 例题 练习
教学反思本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．
综合与实践
最短路径问题
课题 最短路径问题 课型 新授课
教学内容 教材第94-96页的内容
教学目标 1.能够求解最短路径问题.2.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.
教学重难点 教学重点：运用所学知识解决最短路径问题.教学难点：选择合适的方法解决问题.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课前面我们研究过一些关于“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路经问题.如图，A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点C，使得CA+CB最小．教师请学生回答上述问题，并说明原理：连接AB，线段AB与直线l的交点C，就是所求，利用了“两点之间，线段最短”的原理．同学们通过讨论下面两个问题，可以进一步体会如何运用所学知识选择最短路径.2.发现探究，学习新知【问题1】（牧民饮马问题）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？图1 图2教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边l近似地看成一条直线(图2)，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小.追问1 在前面一个问题中我们知道当A,B在直线l两侧时，能够确定l上一点C使得CA+CB.对于问题1，能不能将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？学生进行讨论，教师给出提示：由B和B′在直线的两侧，且CB与CB′的长度相等能联想到什么知识点呢？学生经过提示能够想到轴对称的性质.追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′，并确定点C的位置吗？请自行画图.学生作图，教师指导总结作法：作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．追问3：你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？学生自行证明，教师作出指导.证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.∵直线l是点B，B′的对称轴，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′.∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′.在△AB′C′中， ∵AB′＜AC′＋C′B′，∴ AC ＋CB＜AC′＋C′B.即 AC ＋BC 最小．【问题2】（牧民饮马问题的拓展）如图3，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 图3 图4教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边和草地近似地分别看成一条直线OM，ON(图4)，A为∠MON内部一点，那么，上面的问题可以转化为：在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，组成△ABC，使△ABC周长最小.追问1：点B，C在什么位置时使△ABC周长最小？解：作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A′，与OM、ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形.∵A与A′关于OM对称，A与A″关于ON对称，∴AB=A′B，AC=A″C，于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值.故牧民先到点C处牧马，再到点B处饮马，最后回到A处所走的路径最短.追问2：如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 图5 图6类比问题2，,可以将问题转化为在∠MON的两边OM、ON上求作点C、D，使得AC﹢CD﹢DB的长度最小.解：作点A关于OM的对称点E，作点B关于ON的对称点F，连接EF交OM、ON于点C、D，即为所求.追问3：牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处饮马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短？学生自主探索，将问题转化为在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，求使△DEF的周长最小时点D、E、F的位置. 解：将点D视为定点，先作出△DEF的最小值对应的线段D′D"，而后研究D′D"随着点D的位置变化过程中的最小值即可.无论点D位置在何处，点C对线段D′D"的张角不变，即∠ D′CD"的大小不变，为2∠ACB. 因而，为使得D′D"最小，只需要CD′ = CD" = CD最小即可，显然当CD⊥AB时，有垂线段最小，从而内接三角形△DEF的周长最小.【问题3】(造桥选址问题)如下图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)师生讨论对于实际问题要先转化为几何问题.把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.上面的问题就转化为：如图，直线a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？追问：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．追问：你能找到所要求的N点的位置吗？如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．追问：你能证明点N的位置即为所求吗？如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径.3.学以致用，应用新知考点1 利用轴对称或平移解决最短路径问题【例1】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）答案：D考点2 几何问题中的“最短路径”【例2】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN﹢PM﹢MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是____．答案：30°4.随堂训练，巩固新知【教材变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ ）A.BC B.CE C.AD D.AC答案：B【教材变式2】某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4，A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路径最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.解决“牧民饮马问题”和“造桥选址问题”的原理是什么？6.布置作业1.学霸创新题P69. 回顾旧知，为讲解新知识做准备.以学生学过的知识为基础引入课题，激发学生的学习兴趣.本节以探究两个实际问题为基础，利用轴对称、平移进行线段的等量变化，利用“两点之间，线段最短”等求解最短路径问题.通知也体现了用数学知识在实际问题中的应用，数学服务于生活.教师不断发问，引导提示学生通过一系列的探究活动，经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，通过观察、思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识.经历了问题1的探究过程，问题2的探究过程给予学生更大的自主性，教师提出问题循循善诱.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计13.4课题学习 最短路径问题1.牧民饮马问题 例题2.牧民饮马问题的拓展2.造桥选址问题 练习
教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识．
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单 元 备 课
第15单元 本单元所需课时数 10课时
课标要求 1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对称点的连线被对称轴垂直平分.2.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.3.理解轴对称的图形的概念;探索等腰三角形的轴对称性质.4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.5.理解线段的垂直平分线的概念，探索并证明线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反之，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的中线、高及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.7.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.8.能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线；已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
教材分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，了解轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称探索等腰三角形的性质，学习等腰三角形的判定方法，并进一步学习等边三角形的性质.
主要内容 本章的主要内容是轴对称，等腰三角形.主要包括四节：第15.1节“图形的轴对称”主要介绍轴对称图形、图形的轴对称的概念，垂直平分线的性质定理及其逆定理；第15.2节“画轴对称的图形”主要研究画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法，坐标平面上轴对称的坐标规律；第15.3节“等腰三角形”主要包括等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定.第4节“综合与实践 最短路径问题”主要研究“牧民饮马问题”“牧民饮马问题的拓展”和“选桥造纸问题”.
教学目标 1.了解轴对称的图形和两个图形成轴对称的概念，掌握成轴对称的两个图形的性质和轴对称的图形的性质.2.了解线段的垂直平分线的概念，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理和逆定理．3.会做轴对称的图形的对称轴.4.掌握作轴对称的图形的方法，能在平面直角坐标系中作点关于坐标轴的对称点，能根据坐标变化规律在坐标系中画对称图形.5．掌握等腰三角形的性质和判定，运用等腰三角形的性质和判定进行证明和计算． 6．掌握等边三角形的性质与判定，运用等边三角形的性质和判定进行证明和计算.掌握含30°角的直角三角形的性质与应用.7.能够求解最短路径问题.8.能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线；已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
课时分配 15.1 图形的轴对称 3课时15.2 画轴对称的图形 2课时15.3 等腰三角形 4课时综合与实践 最短路径问题 1课时
教与学建议 1.注意联系实际.2.注意知识间的联系，有机地整合相关内容.3.注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程.
15.1 图形的轴对称
15.1.1 轴对称及其性质
课题 轴对称及其性质 课型 新授课
教学内容 教材第62-65页的内容
教学目标 1.了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.2.掌握成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质.3.了解线段的垂直平分线的概念.
教学重难点 教学重点：轴对称图形和图形的轴对称的概念，轴对称的性质，线段的垂直平分线的概念.教学难点：探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志（图1），甚至日常生活用品中，都可以找到对称的例子.图12.发现探究，学习新知【问题1】如图2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花.观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？图2学生通过观察发现这些图形都是对称的，图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合，教师指出：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称.追问：你能再举出一些轴对称图形的例子吗？学生思考，并举例.【问题2】观察下面每对图形(图3），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗 图3学生观察思考，并相互交流，发现其共同特征——每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.教师进一步说明:像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.追问1:你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗 学生思考，并回答.追问2:你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系吗 学生独立思考后，进行交流，然后学生代表发言，教师根据学生回答情况进行评价，如果学生有困难，可以适时追问下面的问题：(1）成轴对称的两个图形全等吗 (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗 这两个图形对称吗 师生共同归纳得出，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.成轴对称的两个图形全等.【问题3】如图4，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'，B’，C'分别是点A，B，C的对称点，线AA'，BB',CC'与直线MN有什么关系？图4学生尝试回答，并相互补充，最后得出:AA'与MN垂直，BB'，CC'也与MN垂直，同时MN平分线段AA'，BB'和CC'.追问1:你能说明其中的道理吗 学生独立思考，学生代表汇报，师生共同交流，教师关注学生能否从这两个图形成轴对称的定义出发，发现折叠后点A与A'重合，进而得到PA=PA';能否发现折叠后∠APM,∠A'PM的顶点是重合的，进而得出这两个角相等，AA'与MN垂直.同理，BB'，CC'与MN也垂直.追问2:前面的例子说明“△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，那么，直线MN垂直线段AA'，BB'和CC'，并且直线MN还平分线段AA'，BB'和CC'，如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”……其他条件不变，上述结论还成立吗 教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，学生类比前面的研究过程得出结论，说明结论.教师指出：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.追问3:你能用数学语言概括前面的结论吗 学生尝试概括，并相互补充，得出成轴对称的两个图形的性质:成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.教师引导学生将成轴对称的两个图形的性质的结论用其他方式表述，即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段.【问题4】图5是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？图5学生类比成轴对称的两个图形的性质的探究过程和探究方法发现结论：直线l垂直线段AA'，BB'，直线l平分线段AA'，BB'(或直线l是线段AA，BB'的垂直平分线），然后说明理由.追问：你能用数学语言概括前面的结论吗 学生尝试概括，并相互补充它，得出轴对称图形的性质.3.学以致用，应用新知考点1 轴对称图形【例1】如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是指出它的对称轴.答案：是 不是 是 是考点2 两个图形成轴对称【例2】如图，成轴对称的有( )个．A.1 B.2 C.3 D.4答案：B考点3 轴对称的性质【例3】如图是轴对称图形，图中直线l是它的对称轴． （1）∠3和∠4有什么关系？AB与A′B′呢？为什么？ （2）DD′与直线l有什么关系？为什么？ （3）写出图中其他相等关系．（不少于三对）解：（1）∠3＝∠4，AB＝A′B′，因为轴对称图形中对应角相等，对应线段相等．（2）直线l是DD′的垂直平分线，因为轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）AD＝A′D′，∠1＝∠2，DC＝D′C′等．4.随堂训练，巩固新知教材P64练习1,2,3.【教材变式1】你能说出以下轴对称图形有几条对称轴吗？答案：1 2 4 无数 【教材变式2】如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）A．AC=A1C1B．BO=B1OC．CC1⊥MND．AB∥B1C15.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.轴对称图形和图形的轴对称的区别与联系是什么？3.成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？6.布置作业1.教材P69习题15.1第1,2,3，7,题；2.教材P91复习题第1,8题；3.学霸创新题P48-P49. 让学生通过观察图片，感知具体的轴对称图形的特征，为抽象出辆对称图形的概念作铺垫.让学生通过举例，对轴对称图形的本质特征进行再认识.让学生观察具体的实例，类比轴对称图形概念的学习过程，发现两个图形成轴对称的特征，进而概括出轴对称的概念.让学生观察具体的实例，类比轴对称图形概念的学习过程，发现两个图形成轴对称的特征，进而概括出轴对称的概念.让学生知道轴对称图形和两个图形成轴对称的本质是一致的，但同时两考也是有区别的，轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.从特例出发，让学生经历发现结论，说明结论的过程，体会概念在探索性质中的重要作用.拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历由特殊到一般地探索问题的过程，体会研究问题的一般化方法和类比方法.培养学生的抽象概括能力，提高学生对成轴对称的两个图形的性质的认识.让学生在探索成轴对称的两个图形的性质的基础上，探索轴对称图形的性质，体会类比方法在研究数学问题中的作用.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括轴对称图形，两个图形成轴对称，图形轴对称的性质.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.1图形的轴对称15.1.1 轴对称及其性质1.轴对称图形： 例题 2.两个图形成轴对称： 练习3.轴对称的性质：
教学反思这节课充分利用动手操作、观察探究，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，形成认识，独立获取知识和技能．另外，在动手过程中创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养．
15.1 图形的轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
课题 线段的垂直平分线的性质与判定 课型 新授课
教学内容 教材第65-67页的内容
教学目标 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理和逆定理．2.了解逆命题与逆定理的概念.
教学重难点 教学重点：线段的垂直平分线的性质定理和逆定理，尺规过一点作已知直线的垂线教学难点：线段的垂直平分线的性质定理和逆定理的探究
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课【问题1】上节课我们学习了垂直平分线的概念，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.根据我们之前研究几何问题的规律，接下来我们应该继续探究什么问题呢？教师指导学生回顾前面研究三角形的边和角，全等三角形，角平分线等过程，得出伴随几何概念的研究，一般继续探究性质与判定.这节课我们就将开始研究线段的垂直平分线的性质与判定方法.2.发现探究，学习新知如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l 上，分别比较点P1，P2，P3，… 与点A 的距离和这些点与点B 的距离，你能发现什么？学生自行研究，得出结论：可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，… ，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.追问：经过前面的研究你能得出什么结论呢？教师引导学生得出一般性的结论即线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.追问：前面我们是通过实验的方法得到的结论，能不能对这一结论进行证明呢？教师指导学生进行证明：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证PA =PB．证明：当点P与点C不重合时，∵ l⊥AB，∴ ∠PCA =∠PCB．又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．∴ PA =PB．【问题2】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？学生自行给出证明：如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴AC =BC．又 PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．追问：通过上面的证明可以得到什么结论呢？教师引导学生得出结论：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.教师总结前面垂直平分线的性质及其逆定理：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.也就是说线段的垂直平分线上包含了所有到线段两端点距离相等的点.【问题3】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，说明结论.教师总结：这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.3.学以致用，应用新知考点1 线段的垂直平分线的性质【例1】如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列判断正确的有_____ .①AB⊥MN; ②MD=ND; ③AB是MN的垂直平分线; ④AD=BD.答案：①④考点2 线段的垂直平分线的判定【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上.在Rt△ADC和Rt△ADE中，AD＝AD，CD＝ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴点A也在CE的垂直平分线上，∴直线AD是CE的垂直平分线．4.随堂训练，巩固新知教材P67练习1,2.【教材变式1】.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ）A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ ACB答案：A【教材变式2】如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm，则AC的长是 .答案：10cm5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.线段的垂直平分线的性质和判定分别是什么？6.布置作业1.教材P69习题15.1第4,5，6，8，13题；2.教材P91复习题第2，3,10题；3.学霸创新题P50-P51. 巩固复习上节课所学内容，帮助同学们回顾几何问题学习的一般过程.让同学们自行测量猜想，然后用轴对称图形的折叠得到性质.用三角形全等对性质进行证明，体现数学研究的严谨性，同时加深对这一性质的认识.让同学们自行证明线段的垂直平分线的判定，让学生经历观察、探究、猜想、证明的完整过程.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括线段的垂直平分线的性质和判定.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.1 图形的轴对称15.1.2线段的垂直平分线第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定1.线段的垂直平分线的性质： 例题2.线段的垂直平分线的判定： 练习
教学反思本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．
15.1 图形的轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
第2课时 线段的垂直平分线的画法
课题 线段的垂直平分线的画法 课型 新授课
教学内容 教材第67-69页的内容
教学目标 1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会作轴对称图形的对称轴.
教学重难点 教学重点：用尺规作已知线段的垂直平分线，作轴对称图形的对称轴教学难点：培养动手操作能力，体会尺规作图的理论依据.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课前面我们学习了线段的垂直平分线，掌握了线段的垂直平分线的定义、性质和判定，对于尺规作图，学生学习过角平分线的作法，类比角平分线的作法可以作出线段的垂直平分线吗？2.发现探究，学习新知【问题1】如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？师生共同讨论作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线.【问题2】有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？教师引导学生根据前面所学内容解决问题：如果两个图形的对称点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.【问题3】不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？同学们分组讨论该问题：轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，所以连接轴对称图形的对称点，这条线段的垂直平分线就是对称轴.【问题4】请用尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.教师指到学生写出已知和求作.已知：直线AB和AB外一点C .求作：AB的垂线，使它经过点C .师生共同讨论作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.（要过点C作AB的垂线，可以在AB是取线段DE，使C在DE的垂直平分线上，由线段的垂直平分线的性质可知CD=CE，故可以一C为圆心画弧与AB交于D,E两点）（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（由两点确定一条直线可知需再找到垂直平分线上的一点F，根据垂直平分线性质的判定可知DF=EF，故应按本步骤作图）（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.【问题5】以上就是线段的垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.请同学们总结一下两个图形成轴对称的对称轴或轴对称图形的对称轴的作法.请同学们回答上述问题：无论是作两个图形成轴对称的对称轴还是作轴对称图形的对称轴，都只需要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就能得到对称轴.要注意找几何图形的对称点时，一般找图形的顶点或转折点，这样作出的图形更准确.3.学以致用，应用新知考点1 作对称轴【例1】下图中的五角星有几条对称轴？请作出其中一条对称轴呢？解：有5条对称轴作法：①找出五角星的一对对称点A和B，连接AB．②作出线段AB的垂直平分线l．则l就是这个五角星的一条对称轴． 4.随堂训练，巩固新知教材P69练习1,2,3.【教材变式1】(用尺规画)如图所示的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的一条对称轴(保留作图痕迹)．【教材变式2】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若AC＝6，AD＝2.则BD的长为( )A．2 B．3 C．4 D．6答案：C5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.如何用尺规作线段的垂直平分线？3.请说明作两个成轴对称的图形的对称轴和轴对称图形的对称轴.6.布置作业1.教材P69习题15.1第1,2,7,10,,12题；2.教材P91复习题第1，8题；3.学霸创新题P52. 教师引导学生作图，让学生逐步熟悉尺规作图作法的表示方法，逐步会用简洁的几何语言表示作图过程.尺规作图经过直线外一点作这条直线的垂线是课标中的要求，也是对线段的垂直平分线的性质和判定的实际应用.让学生自行总结对称轴的作法，能够梳理本节课的重点，对前面的问题作出解答.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括对称轴的作法.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.1 图形的轴对称15.1.2 线段的垂直平分线第2课时 线段的垂直平分线的画法作对称轴 尺规作已知线段的垂直平分线例题 练习
教学反思本节课结合轴对称的性质和线段垂直平分线的作法进行探究.在教学过程中，充分锻炼学生的分析问题、解决问题的能力，提升学生的转化与化归思想.本节课教学效果较好，在动手操作过程中充分调动起了学生的积极性.
15.2 画轴对称的图形
第1课时 轴对称的图形的画法
课题 轴对称的图形的画法 课型 新授课
教学内容 教材第72-73页的内容
教学目标 1.通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法.
教学重难点 教学重点：利用轴对称作图.教学难点：利用对称变换设计图案.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课在一张半透明的纸的左边画一只左脚印，再把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．教师指导学生进行观察思考：左脚印和右脚印有什么关系？图中的线段PP′与直线l是什么关系？学生得出结论：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，直线l垂直平分线段PP′.追问：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠、描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？学生先观察图片、动手操作，再独立思考，然后进行交流．教师组织活动，引导学生归纳：(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．(2)新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.2.发现探究，学习新知【问题1】如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？首先尝试画一个点的对称图形，画出点A关于直线l的对称点A′.教师引导学生思考，点A′与点A关于直线l对称，那么直线l垂直平分AA′，从垂直和平分两个方面考虑，得到画法如下：(1)过点A作对称轴的垂线，垂足为 B；(2)延长AB至A′，使得 BA′＝AB.点 A′就是点A关于直线的对称点. 追问：如图1，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．教师在学生交流的过程中，引导学生确定三角形的关键点，探索作对称点的方法．根据轴对称的性质，只需要作出点A，B，C关于直线l的对称点再连接即可. 如图2，作点A关于直线l的对称点的方法是：过点A作直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取A′O＝AO，A′就是点A关于直线l的对称点；同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′；连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求.追问：通过前面的作图过程，请同学们总结作对称图形的方法.教师请学生进行思考、讨论、归纳、回答问题，并进行总结：几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．追问：对于一些常见的几何图形，他们通常由一些由直线、线段或射线组成，请同学们回顾我们学过的几何图形，并尝试画出其中一个图形关于一条直线的对称图形，说出你所作的对称点是哪些.同学们动手操作，教师观察指导：只要画出图形中一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形．3.学以致用，应用新知考点1 画轴对称的图形【例1】如图，点D在直线l上，作出四边形ABCD关于直线l的对称的四边形．如图所示，四边形A′B′C′D即为所求考点2 在网格中画轴对称的图形【例2】如图，将各图形补成关于直线l对称的图形． 画图：略4.随堂训练，巩固新知教材P73练习1,2.【教材变式1】如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的轴对称图形.【教材变式2】下面是四名同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是( )答案：B5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.请同学们说一下画轴对称的图形的步骤和特殊点.6.布置作业1.教材P75习题15.2第1,2题；2.学霸创新题P53. 从学生最感兴趣的实际问题入手，贴近学生的生活实际，让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，进一步培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力.学生通过观察、思考、动手、合作交流，培养学生的合作意识和思维能力．让学生体会作轴对称的图形的本质是作出图形的关键点的对称点.培养学生的概括总结能力，进一步深化对轴对称的图形的画法的理解.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.2 画轴对称的图形第1课时 轴对称的图形的画法1.画一个点关于直线的对称图形 例题2.画三角形关于直线的对称图形 练习
教学反思本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容．重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以，本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识．练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展．
15.2 画轴对称的图形
第2课时 用坐标表示轴对称
课题 用坐标表示轴对称 课型 新授课
教学内容 教材第73-75页的内容
教学目标 1．能在平面直角坐标系中作点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，能根据坐标变化规律在坐标系中画对称图形.
教学重难点 教学重点：在直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标变换规律，利用坐标变换规律在坐标系中画轴对称图形.教学难点：在坐标系中总结对称图形的坐标变化规律.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课下图是一张老北京城的示意图．【问题1】同学们去过北京吗？知道老北京城整体上有什么样的特点吗？通过图片，你知道它的对称轴在哪？学生结合本章所学内容进行讨论，观察图片的对称性，找到图片的对称轴.追问：东直门、西直门关于对称轴轴对称．现在咱们以这条对称轴为y轴，天安门为原点，就可以在这个平面图上建立平面直角坐标系．一天小明在天安门广场玩，一位游客向小明问西直门的位置，可小明只知道东直门的位置，不过，小明想了想，就准确的告诉了她．你知道西直门的位置具体在坐标系中的哪一点上吗？教师引导学生根据对称的知识回答问题.追问：由于老北京城的轴对称设计，城内许多建筑都关于这条中轴线对称，把老北京城的示意图，抽象成简单的平面直角坐标系，各个景点的地理位置就可用坐标表示出来．这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？教师引导学生分析问题，激发学生的求知欲．学生从中受到启发继续探究点的位置与坐标之间的关系．2.发现探究，学习新知【问题2】在如图所示的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，你能发现坐标之间有什么规律吗？已知点A(2,-3)B(-1,2)C(-6,-5)D(0.5，1)E(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点教师组织学生进行探索、观察、猜测，然后进行归纳总结.学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间的坐标的关系，经过讨论得出规律：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y).追问：请同学们再找几个点，分别画出它们关于x轴和y轴的对称点，检验一下上述规律.教师组织学生进行验证.追问：通过上面的探究，请说出问题1中西直门的坐标.西直门的坐标与东直门的坐标关于y轴对称，则西直门的坐标为(-3.5，4).追问：上节课我们学习了画轴对称的图形，请结合本节课内容讨论如何在坐标系中画轴对称的图形.教师结合例题指导学生画图，总结画图步骤：计算：计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；描点：根据对称点的坐标描点；连接：按原图对应点连接所描各点得到对称图形.3.学以致用，应用新知考点1 利用轴对称的坐标关系画图【例1】如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.考点2 已知对称关系求参数【例2】已知点P(2a+b,-3a)与点P′（8,b+2).若点P与点P′关于x轴对称，则a=_____， b=_______.若点P与点P′关于y轴对称，则a=_____ ，b=_______.答案：2 4 6 -204.随堂训练，巩固新知教材P75练习1,2,3.【教材变式1】已知点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴对称，求点C（a，b）在第几象限？答案：点C（2，-1）在第四象限【教材变式2】平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，－1）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.关于坐标轴对称的点的坐标之间有什么关系？3.怎样利用轴对称的坐标关系画图？6.布置作业1.教材P75习题15.2第3-8题；2.教材P91复习题第4,9题；3.学霸创新题P54-P55. 通过观察图形、找对称轴、建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置，对旧知进行了复习，也为探索新知识做好铺垫，建立新旧知识之间的联系.观察操作，主动探索，研究平面直角坐标系内的轴对称.加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程.与前面的问题相呼应，解决问题.将所研究的对称点的坐标关系应用到画图中.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括利用轴对称的坐标关系画图，已知对称关系求参数.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.2 画轴对称的图形第2课时 用坐标表示轴对称1.关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系：2.利用轴对称的坐标关系画图： 例题 练习
教学反思从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等．调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用．课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度．
15.3 等腰三角形
15.3.1等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
课题 等腰三角形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第78-79页的内容
教学目标 1．理解并掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．
教学重难点 教学重点：等腰三角形的性质及应用.教学难点：等腰三角形性质的探索.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课如图，把一张长方形纸沿图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形是什么特殊三角形？它具有哪些性质？这就是本节课我们要研究的内容．教师演示折纸、剪纸的过程，学生观察所得三角形的形状．教师引导学生通过折叠发现等腰三角形的轴对称性.2.发现探究，学习新知【问题1】把剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，通过这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？用语言描述等腰三角形的这条性质.学生经过观察，找到重合的线段和角，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质.能够发现等腰三角形除了腰相等以外两个底角也相等，我们得到等腰三角形的以下性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；追问：等腰△ABC中，AD有几种角色？各是什么？教师鼓励学生发言，学生能够发现AD是△ABC的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，引导学生用语言描述等腰三角形的这条性质：性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).追问：我们知道等腰三角形是轴对称图形，从上面的操作中，能不能发现证明性质1的方法？如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．通过前面的操作发现，△ABC的中线AD将三角形分成两个全等的三角形，考虑通过三角形的全等证明这些性质：证明：作底边BC的中线AD，则BD=CD.在△BAD和△CAD中AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△BAD≌ △CAD (SSS).∴∠B=∠C，（性质1得证）追问：从上述证明你能得到关于性质2的什么结论？同学们进行讨论得出：由△BAD≌ △CAD 可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∴AD⊥BC.也就是等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边.追问：上述说法能否充分说明性质2，若不能你能进一步证明吗？教师引导学生以同样的方法证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边.教师引导学生类比前面的证明方法进行证明.从而性质2得证.从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.3.学以致用，应用新知考点1 “等边对等角”的应用【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数.解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，解得x=36 °，∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.考点2 “三线合一”的应用【例2】如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.∵AB＝AC，∴BP＝PC.∵AD＝AE，∴DP＝PE.∴BP－DP＝PC－PE.∴BD＝CE.4.随堂训练，巩固新知教材P79练习1,2,3.【教材变式1】等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 答案：B【教材变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是 ( )A．AD⊥BC B．∠EBC＝∠ECBC．∠ABE＝∠ACE D．AE＝BE答案：D5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.我们是怎么样探究等腰三角形的性质的呢？3.请描述一下等腰三角形的性质？6.布置作业1.教材P84习题15.3第1,3,4,9，13题；2.教材P91复习题第5题；3.学霸创新题P58-P59. 通过动手操作引入本节课的课题，激发学生的好奇心和求知欲.通过观察、思考、描述、证明，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯.先通过动手操作发现等腰三角形的性质，再通过几何证明验证性质.教师要让学生注意到，“三线合一”的性质实际上包含了三个命题，需要一一证明.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括“等边对等角”“三线合一”的应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.3 等腰三角形15.3.1等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质1.性质1： 例题2.性质2： 练习
教学反思本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．
15.3 等腰三角形
15.3.1等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
课题 等腰三角形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第80-81页的内容
教学目标 1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算.
教学重难点 教学重点：等腰三角形判定方法的应用.教学难点：等腰三角形判定方法的证明.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等，即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【问题1】如何证明上述猜想呢？2.发现探究，学习新知教师引导学生思考证明方法：①上节课我们用什么方法证明三角形里面的两个角相等？②证明线段或角相等的常用方法是什么？学生经过讨论猜测出可以用三角形全等证明猜想.追问：请写出上述猜想的已知与求证，并请同学回答.学生回答：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.追问：要通过两个三角形全等证明需要先作辅助线，请同学们思考并回答应该怎么作辅助线呢？学生思考并回答：作∠A的平分线，作边BC上的高，作边BC上的中线.教师指导同学们选择一种辅助线的作法自行证明.教师请学生分享自己的证明过程：证明一：如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD=∠CAD.∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠1=∠2， AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴ AB=AC. 证明二：如图，作AD垂直于BC，垂足为点D， ∴∠ADB=∠ADC.∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC， AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴ AB=AC.而作边BC上的中线不能证明.师生共同归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即得到等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）．3.学以致用，应用新知考点1 等腰三角形的判定的应用【例1】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.求证：AB＝AC.证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．又AD平分∠CAE，∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠C．∴AB＝AC(等角对等边)．考点2 用尺规作等腰三角形【例2】已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：如图.（1）作线段AB=a.（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.（3）在MN上取一点C，使DC=h.（4）连接AC，BC.则△ABC就是所求作的等腰三角形.4.随堂训练，巩固新知教材P81练习1,2,3.【教材变式1】如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中的等腰三角形有( )A．6个 B．5个 C．4个 D．3个答案：B【教材变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论． 解：△APQ是等腰三角形．证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°.∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°.∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC.∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P.∴△APQ为等腰三角形．5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.我们是如何探究等腰三角形的判定的呢？3.请描述等腰三角形的判定定理.6.布置作业1.教材P84习题15.3第2,3,4,6,8,10题；2.教材P91复习题第6题；3.学霸创新题P60-P61. 抛出问题展开教学，引导联想性质与判定常常是逆定理的关系，确定等腰三角形的性质的逆命题，提出猜想.教师提示学生联想前面学过用过的知识内容，前后联系，融会贯通，强化学生对于方法的学习.学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴．教师强调此判定方法是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括等腰三角形的判定的应用，用尺规作等腰三角形.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.3 等腰三角形15.3.1等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定1.等腰三角形的判定： 例题 练习
教学反思学生通过回顾总结等腰三角形的性质为学习等腰三角形的判定作了知识铺垫．之后将本节课的教学目标展示给学生，让学生做到心中有数，让学生带着问题看书，加强自主探索的能力．在探究过程中，鼓励学生发现不同的证明方法．整节课的目标基本实现，重点难点落实得比较到位，唯一欠缺的是时间有点紧，课堂小结比较仓促．
15.3 等腰三角形
15.3.2等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
课题 等边三角形的性质与判定 课型 新授课
教学内容 教材第82页的内容
教学目标 1．掌握等边三角形的性质与判定.2．运用等边三角形的性质和判定进行证明和计算.
教学重难点 教学重点：探究等边三角形的性质与判定方法，并能进行简单的应用.教学难点：等边三角形的性质与判定的应用.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课前面我们学习了等腰三角形的性质及其判定，请回答下面的问题：1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的？2．叙述等腰三角形的判定，它是怎么得到的？在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫作等边三角形．2.发现探究，学习新知【问题1】①我们知道等腰三角形的两个底角相等，当这条性质用于等边三角形，能得到什么结论？②先验证手里的纸卡是不是等边三角形，然后用量角器量三个角的度数，能得到什么结论？教师引导学生通过前面的探究得出结论:等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.追问：你能写出已知和求证，并证明这个猜想吗？学生自行证明，教师指导.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC ，求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.证明： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理，∠A=∠C .∴∠A=∠B=∠C.∵ ∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠A=∠B=∠C=60 °.追问：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，并且有“三线合一”的性质，那么等边三角形又即条对称轴呢？根据“三线合一”能推出什么结论呢？教师引导学生进行推理，得出结论，等边三角形有3条对称轴，每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.【问题2】等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个角都相等的三角形是等边三角形是否成立呢？教师指导学生进行推理：△ABC中，∠A=∠B=∠C.∵∠A=∠B，∴AC=BC.同理AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC时等边三角形.得出结论：三个角都相等的三角形是等边三角形.追问：我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形的底边等于腰时它是等边三角形，请同学们思考等腰三角形的角满足什么条件时它是等边三角形呢？同学们自行讨论，得出结论，并作出证明.①等腰三角形的顶角等于60°.已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=60°，∴∠B+∠C=120°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.②等腰三角形的底角等于60°.已知：△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=60°，求证：△ABC是等边三角形.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.教师指导学生做出总结：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.学以致用，应用新知考点1 等边三角形性质和判定的应用【例1】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等边三角形．4.随堂训练，巩固新知教材P82练习1,2.【教材变式1】下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ）A．三个角都相等的三角形B．有两个角等于60°的三角形C．边上的高也是这边的中线的三角形D．有一个外角等于120°的等腰三角形答案：C【教材变式2】如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)求证：DC＝CF.解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝180°－90°－60°＝30°.(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.∴△DEC是等边三角形．∴CE＝CD.∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝FC.∴DC＝FC.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.等边三角形的性质有哪些？3.怎样判定三角形是等边三角形？6.布置作业1.教材P84习题15.3第5，10,11题；2.教材P91复习题第11,12,13题；3.学霸创新题P64-P65. 回顾上节内容，巩固所学，同时引申出本节课所要研究的问题.明确等边三角形是特殊的等腰三角形，引发学生探寻其更多的性质的兴趣.学生通过观察、思考、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯．教师引导学生动手，发现等边三角形三个角的关系，让学生经历观察—实践—猜想—证明的创新思维过程.在等腰三角形对称性的基础上进一步探究等边三角形的对称性，体现了知识的连贯性.将性质的条件和结论调换得到逆命题，并验证其正确性，从而得到等边三角形的判定.进一步让学生熟悉这种探究方法.此处应注意要证明这个结论，须分两种情况讨论.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括等边三角形性质和判定的应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.3 等腰三角形15.3.2等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1.等边三角形的性质： 例题2.等边三角形的判定： 练习
教学反思本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力．
15.3 等腰三角形
15.3.2等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
课题 含30°角的直角三角形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第83页的内容
教学目标 掌握含30°角的直角三角形的性质与应用.
教学重难点 教学重点：含30°角的直角三角形的性质与应用教学难点：探究含有30°角的直角三角形的性质.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课请叙述上节课所学内容：等边三角形的性质：等边三角形的判定：如图，请用支持测量含30°角的直角三角尺的直角边BC和斜边AB的长，猜测他们有什么样的数量关系？教师请学生回顾上节可所学内容，让同学们进行测量并大胆推测，给出猜想.2.发现探究，学习新知【问题1】将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，验证上述猜想吗？教师引导学生分析：①△ABD是什么形状的三角形？②BC和CD有什么关系？教师指导学生梳理推理过程：如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.由此我们得到了含30°角的直角三角形的边角性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．追问：刚才我们是在动手操作的基础上进行的推理，你还能想出其他证明这个性质的方法吗？学生进行分组探究，进行几何证明.教师给出指导点评.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC =AB．证法一：在△ABC 中，∵∠C=90°，∠A =30°, ∴∠B =60°．延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．∴BC =AB.证法二：如图，在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵∠B=60°，BE=BC.∴ △BCE是等边三角形，∴∠BEC= 60°，BE=EC.∵∠A= 30°， ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°= 30°.∴AE=EC，∴ AE=BE=BC， ∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB.3.学以致用，应用新知考点1 含30°角的直角三角形的性质的应用【例1】如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的长．解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴BC＝AB，DE＝AD.∴BC＝×7.4＝3.7(m)．又AD＝AB，∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.4.随堂训练，巩固新知教材P84练习1,2.【教材变式1】在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC= .答案：5【教材变式2】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE＝AB.证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠B＋∠BAD＝90°.∵∠BAC＝120°，∴∠B＝(180°－∠BAC)＝(180°－120°)＝30°.∵DE⊥AB，∴∠ADE＋∠BAD＝90°.∴∠ADE＝∠B＝30°.在Rt△ABD中，AD＝AB，在Rt△ADE中，AE＝AD＝×AB＝AB，即AE＝AB.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.你能说出含30°角的直角三角形的性质吗？6.布置作业1.教材P84习题15.3第7,12,15题；2.教材P91复习题第7题；3.学霸创新题P66. 复习巩固，为本节课做铺垫.学生经历度量三角尺的活动，进行猜测，激发学生继续探究的兴趣.经历拼摆三角形的过程，同时复习巩固轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质，加强知识间的联系.学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯.应用多种方法证明命题，扩展学生思维.分组合作探究，培养学生的合作意识.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括含30°角的直角三角形的性质的应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计15.3 等腰三角形15.3.2等边三角形第2课时 含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质： 例题 练习
教学反思本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．
综合与实践
最短路径问题
课题 最短路径问题 课型 新授课
教学内容 教材第94-96页的内容
教学目标 1.能够求解最短路径问题.2.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.
教学重难点 教学重点：运用所学知识解决最短路径问题.教学难点：选择合适的方法解决问题.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课前面我们研究过一些关于“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路经问题.如图，A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点C，使得CA+CB最小．教师请学生回答上述问题，并说明原理：连接AB，线段AB与直线l的交点C，就是所求，利用了“两点之间，线段最短”的原理．同学们通过讨论下面两个问题，可以进一步体会如何运用所学知识选择最短路径.2.发现探究，学习新知【问题1】（牧民饮马问题）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？图1 图2教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边l近似地看成一条直线(图2)，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小.追问1 在前面一个问题中我们知道当A,B在直线l两侧时，能够确定l上一点C使得CA+CB.对于问题1，能不能将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？学生进行讨论，教师给出提示：由B和B′在直线的两侧，且CB与CB′的长度相等能联想到什么知识点呢？学生经过提示能够想到轴对称的性质.追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′，并确定点C的位置吗？请自行画图.学生作图，教师指导总结作法：作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．追问3：你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？学生自行证明，教师作出指导.证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.∵直线l是点B，B′的对称轴，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′.∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′.在△AB′C′中， ∵AB′＜AC′＋C′B′，∴ AC ＋CB＜AC′＋C′B.即 AC ＋BC 最小．【问题2】（牧民饮马问题的拓展）如图3，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 图3 图4教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边和草地近似地分别看成一条直线OM，ON(图4)，A为∠MON内部一点，那么，上面的问题可以转化为：在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，组成△ABC，使△ABC周长最小.追问1：点B，C在什么位置时使△ABC周长最小？解：作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A′，与OM、ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形.∵A与A′关于OM对称，A与A″关于ON对称，∴AB=A′B，AC=A″C，于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值.故牧民先到点C处牧马，再到点B处饮马，最后回到A处所走的路径最短.追问2：如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 图5 图6类比问题2，,可以将问题转化为在∠MON的两边OM、ON上求作点C、D，使得AC﹢CD﹢DB的长度最小.解：作点A关于OM的对称点E，作点B关于ON的对称点F，连接EF交OM、ON于点C、D，即为所求.追问3：牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处饮马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短？学生自主探索，将问题转化为在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，求使△DEF的周长最小时点D、E、F的位置. 解：将点D视为定点，先作出△DEF的最小值对应的线段D′D"，而后研究D′D"随着点D的位置变化过程中的最小值即可.无论点D位置在何处，点C对线段D′D"的张角不变，即∠ D′CD"的大小不变，为2∠ACB. 因而，为使得D′D"最小，只需要CD′ = CD" = CD最小即可，显然当CD⊥AB时，有垂线段最小，从而内接三角形△DEF的周长最小.【问题3】(造桥选址问题)如下图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)师生讨论对于实际问题要先转化为几何问题.把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.上面的问题就转化为：如图，直线a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？追问：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．追问：你能找到所要求的N点的位置吗？如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．追问：你能证明点N的位置即为所求吗？如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径.3.学以致用，应用新知考点1 利用轴对称或平移解决最短路径问题【例1】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）答案：D考点2 几何问题中的“最短路径”【例2】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN﹢PM﹢MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是____．答案：30°4.随堂训练，巩固新知【教材变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ ）A.BC B.CE C.AD D.AC答案：B【教材变式2】某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4，A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路径最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.解决“牧民饮马问题”和“造桥选址问题”的原理是什么？6.布置作业1.学霸创新题P69. 回顾旧知，为讲解新知识做准备.以学生学过的知识为基础引入课题，激发学生的学习兴趣.本节以探究两个实际问题为基础，利用轴对称、平移进行线段的等量变化，利用“两点之间，线段最短”等求解最短路径问题.通知也体现了用数学知识在实际问题中的应用，数学服务于生活.教师不断发问，引导提示学生通过一系列的探究活动，经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，通过观察、思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识.经历了问题1的探究过程，问题2的探究过程给予学生更大的自主性，教师提出问题循循善诱.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计13.4课题学习 最短路径问题1.牧民饮马问题 例题2.牧民饮马问题的拓展2.造桥选址问题 练习
教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识．
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