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北师大版（2024）第一章《勾股定理》1.1探索勾股定理教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 探索勾股定理 课时 1
课标要求 在情景问题中探索勾股定理，并运用勾股定理解决实际问题，
教材分析 勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理 的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
核心素养目标 1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情。
教学重点 探索和证明勾股定理
教学难点 用求面积方法证明勾股定理
教学准备 预习单与相应课件。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新回顾平方差公式和完全平方公式。2、右图每个小方格是边长为1的正方形，求出涂色部分正方形的面积？看看有几种方法？ 回顾平方差公式和完全平方公式。2、求格点图形的面积（割补法） 复习旧知为新授奠基。
二、引新 创设情境，引入课题 2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标。会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号. 2、问题引入（课本第2页） 1.学生聆听，激发求知欲。2.阅读课本第2页。 这样的引入可唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生对勾股定理的兴趣，从而自然的引入新课。
三、探究 1、探究勾股定理：（1）观察图1-2-1, 正方形A的面积是 9个单位面积.正方形B的面积是 9 个单位面积.正方形C的面积是 18 个单位面积.发现：（2）观察图1-2-2, 正方形A的面积是 4 个单位面积.正方形B的面积是 4 个单位面积.正方形C的面积是 8 个单位面积.发现：（3）观察图1-3-1, 正方形A的面积是 16 个单位面积.正方形B的面积是 9 个单位面积.正方形C的面积是 25 个单位面积.发现：（4）观察图1-3-2, 正方形A的面积是 1 个单位面积.正方形B的面积是 9 个单位面积.正方形C的面积是 10 个单位面积.发现：猜想:两直角边a,b与斜边c 之间的关系？验证猜想：图1大正方形面积=小正方形面积+4个三角形面积4、验证猜想：图25、探究小结勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示三角形的两直角边和斜边，那么表示为：Rt△ABC中，∠C=90°①成立条件： 在直角三角形中；②公式变形：③作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长5、知识拓展：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理） 1.学生思考并回答图形A、B、C的面积，并发现A、B、C的面积之间的关系。2.猜想直角三角形直角边斜边之间的关系。3、验证直角三角形直角边斜边之间的关系。4.探究小结得出勾股定理的含义、使用条件和作用。 通过格点图形探究正方形的面积关系（之间三角形三边之间的关系）。经历探究、猜想、验证等环节引出勾股定理。渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。
四、典例精析 例题：一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离.解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm)由勾股定理有：AB=AC+BC=50+120 =16900（mm2)∵AB＞0,∴AB=130(mm)答：两孔中心A，B的距离为130mm. 教师指导构建直角三角形，学生自学例题， 通过例题的学习加深学生对勾股定理的理解和掌握。
五、尝试练习 【知识技能类作业】必做题：1、如图1A的面积= 625 AB=25 BC= 20 AC= 15 图1 图2如图2，B的面积= 144离地面8m处拉一条钢索，这钢索固定点距离电线杆底部6m,钢索长度多少米？解：答：钢索长度10米.4、求下列直角三角形未知的直角边参考答案：15,12,13【知识技能类作业】选做题：5.小明妈妈买了一部55in的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有121.5cm长和68.5cm宽，他觉得一定是售货员搞错了. 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？[1in=25.4mm]【 我们通常所说的55英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度】解析：把55in换算成mm作单位，利用勾股定理计算长边的平方+短边的平方是否接近对角线的平方。然后作出判断。【综合拓展类作业】6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中所有正方形的面积之和是 3a 。 学生课堂完成练习，教师适当点拨。并完成课后作业 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。关注学困生，发现问题及时纠正。
六、提升 适时小结，兴趣延伸1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流.知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 .方法：观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想. 学生谈收获，学到什么？运用了什么方法？用的了怎样的数学思想。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，
板书设计 勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°则
作业设计（课外练习） 【知识技能类作业】必做题：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足解析：图1三个正方形围成的三角形不是直角三角形，不能满足图2三个正方形围成的三角形是直角三角形，满足在直角△ABC中，∠C=90°（1）若a=6，b=8，则 c= 10（2）若c=13，b=12，则 a= 5 3.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE ⊥AD，则线段AE的长为（ B ）A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 第2题 第3题 第4题4.如图，直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD= 2 下面几何图形如何验证勾股定理 【知识技能类作业】选做题：6.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则三个半圆的面积S1 ，S2 ，S3之间的关系是（B ）S1 > S2 + S3 B. S1 = S2 + S3 C. S1 < S2 + S3 D. 无法确定【综合拓展类作业】7.在直角三角形ABC中，AB=3,AC=4,那么以BC为边的正方形的面积是多少？解析：分情况讨论情况一：当BC为斜边时；情况二：当BC为直角边时
教学反思
a
b
c
A
B
90
160
40
40
C
a
b
c
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第一章 勾股定理导学案
1.1 探索勾股定理
学习目标与重难点
学习目标：1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。
2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。
3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。
4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情。
学习重点：探索和证明勾股定理
学习难点：用求面积方法证明勾股定理
预习自测
一、知识链接
回顾平方差公式和完全平方公式。
自学自测
右图每个小方格是边长为1的正方形，求出涂色部分正方形的面积？
方法1：
方法2：
【解析】利用割补法求出涂色部分的面积。
教学过程
一、创设情境、导入新课
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标。
会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
2、问题引入（课本第2页）
二、合作交流、新知探究
探究一：教材第2页
1、探究勾股定理：
（1）观察图1-2-1, 正方形A的面积是 个单位面积，正方形B的面积是 个单位面积.正方形C的面积是 个单位面积.
发现： 。
（2）观察图1-2-2, 正方形A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
发现： 。
（3）观察图1-3-1, 正方形A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
发现： 。
（4）观察图1-3-2, 正方形A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
发现： 。
猜想:直角三角形中，两直角边a,b与斜边c 之间的关系？
。
3、用下面两个图形利用求面积的方法验证猜想：
【解析】大正方形面积=小正方形面积+4个三角形面积
5、知识生成
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示三角形的两直角边和斜边，那么
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
【强调】
①成立条件： 在直角三角形中；
②公式变形：.
③作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长
5、知识拓展：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1、如图1
A的面积= AB= BC= AC=
图1 图2 图3
如图2，B的面积= 。
图3，离地面8m处拉一条钢索，这钢索固定点距离电线杆底部6m,钢索长度多少米？
4、求下列直角三角形未知的直角边
【知识技能类作业】选做题：
5.小明妈妈买了一部55in的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有121.5cm长和68.5cm宽，他觉得一定是售货员搞错了. 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？[1in=25.4mm]
【 我们通常所说的55英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度】
解析：把55in换算成mm作单位，利用勾股定理计算长边的平方+短边的平方是否接近对角线的平方。然后作出判断。
【综合拓展类作业】
6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长是a，则图中所有正方形的面积之和是 。
【解析】最大正方形面积为a, 根据勾股定理中间两个正方形面积之和是a, 最外端4个小正方形的面积之和=中间两个正方形面积之和是a, 所以图中所有正方形的面积之和是3a.
总结反思、拓展升华
知识：勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 .
方法：观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
五、【作业布置】
基础达标：
观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足
在直角△ABC中，∠C=90° （1）若a=6，b=8，则 c= 。
若c=13，b=12，则 a= 。
3.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE ⊥AD，则线段AE的长为（ ）
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
第2题 第3题 第4题
4.如图，直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD= 。
下面几何图形如何验证勾股定理
【能力提升】
6.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则三个半圆的面积S1 ，S2 ，S3之间的关系是（B ）
S1 > S2 + S3 B. S1 = S2 + S3
S1 < S2 + S3 D. 无法确定
【拓展提升】
在直角三角形ABC中，AB=3,AC=4,那么以BC为边的正方形的面积是多少？
课外作业参考答案：
1、【解析】：图1三个正方形围成的三角形不是直角三角形，不能满足
图2三个正方形围成的三角形是直角三角形，满足
2 ①10 ②5
【解析】找准直角边和斜边，利用，
3、B 【解析】利用勾股定理先求出AC、AD,继而求出AE。
4、2 【解析】利用勾股定理求出AB=5,AD=AC,继而利用BD=AB-AD
5、【解析】利用梯形面积=（上底+下底）×高÷2=三个三角形的面积之和，通过代数式的运算，可以验证勾股定理。
6、【解析】根据勾股定理，两直角边的平方之和等于斜边的平方，即大圆直径的平方等于两个小圆直径的平方和，各项除以4得到大圆半径的平方等于两个小圆半径的平方和，再各项乘以π，继而得到大半圆的面积等于两个小半圆的面积之和。
7、【解析】：分情况讨论
情况一：当BC为斜边时；
情况二：当BC为直角边时
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册、第一章
课标要求 1、使学生理解并掌握勾股定理，并能运用它解决一些简单的实际问题。2、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。3、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣。
内容分析 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，也是八年级数学课程中的一个核心知识点。它不仅具有悠久的历史和广泛的应用，更在培养学生的逻辑思维、空间想象能力和数学应用意识方面扮演着重要角色。以下是对其教学内容的具体分析：承上启下： 勾股定理建立在学生已经掌握的线段、角、三角形（特别是直角三角形）以及实数等知识基础上。同时，它又为后续学习四边形、圆、解直角三角形、锐角三角函数以及高中立体几何等内容奠定了基础。可以说，它是连接平面几何基础与更复杂几何图形研究的重要桥梁。核心概念： 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是几何中第一个将“形”（直角）与“数”（边长）紧密结合的定理，体现了数形结合的思想。应用广泛： 勾股定理在实际生活中有大量应用，如测量距离、建筑、航海、工程等，是培养学生数学应用意识和解决实际问题能力的重要载体。探索： 让学生用不同大小的正方形卡片（或方格纸）拼出直角三角形，并计算以三边为边长的正方形面积，发现规律 a + b = c 。证明： 介绍几种经典的证明方法，如赵爽弦图（面积割补法）、欧几里得证明（利用相似三角形或面积）等。重点引导学生理解赵爽弦图的证明思路，因为它直观且蕴含了中国古代数学的智慧。可以通过动手操作、小组合作等方式加深理解。应用：基础应用： 讲解定理的直接应用，如已知直角三角形的两边求第三边。注意区分已知的是直角边还是斜边。逆定理应用： 讲解如何根据三边关系判定一个三角形是否为直角三角形。强调必须用最大边的平方与其他两边的平方和比较。综合应用： 设计一些需要添加辅助线构造直角三角形的问题（如折叠问题、最短路径问题等），培养学生灵活运用知识的能力。实际应用： 结合生活实例，如测量高度、距离等，让学生体会数学的实用性。拓展与提升：介绍勾股数（满足a + b = c 的整数组），让学生寻找或验证勾股数。简单介绍勾股定理在更高维度（如空间直角坐标系中两点距离公式）或其他学科（如物理学）中的应用。勾股定理的教学不仅是知识的传授，更是思维能力和应用能力的培养。教师需要精心设计教学环节，既要让学生掌握扎实的知识技能，也要引导他们体验数学探究的乐趣，感受数学文化的魅力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
学情分析 一、学生已有的知识基础图形认识： 学生已经学习过三角形、四边形等基本图形，对直角三角形有初步的认识，知道其有一个直角和两个锐角。面积计算： 学生掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形的面积计算方法，特别是正方形的面积等于边长的平方，这是理解勾股定理几何证明的基础。代数基础： 学生已经学习了整式的加减乘除运算，特别是平方运算，为理解代数形式打下了基础。简单的方程： 学生具备解简单一元一次方程的能力，这有助于他们在已知两边求第三边时建立方程并求解。二、学生可能遇到的困难与挑战：概念理解困难、斜边识别、定理适用范围、定理证明的理解、几何证明、代数证明、定理的应用、选择何时使用、计算错误、逆向应用、实际应用建模、三、 学生的学习兴趣与潜在优势：好奇心、实用性、成就感、形象思维
单元目标 （一）教学目标根据新课标要求，勾股定理的教学目标通常包括以下三个维度：知识与技能：1、理解并掌握勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。会用勾股定理进行计算，求直角三角形的未知边长。2、了解勾股定理的逆定理（如果三角形三边长a, b, c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形），并会运用其判定直角三角形。3、了解勾股定理的几种常见证明方法（如面积法、割补法等），体会证明的多样性。过程与方法：1、经历探索勾股定理及逆定理的过程，通过观察、猜想、验证、归纳等活动，培养学生的探究能力和推理能力。2、体会数形结合、转化与化归、从特殊到一般等数学思想方法。3、学习利用面积关系进行几何证明的方法。情感态度与价值观：1、通过了解勾股定理的历史（如中国的“勾三股四弦五”、毕达哥拉斯的故事等），感受数学文化的魅力，激发学习兴趣。2、在探索和解决问题的过程中，体验数学学习的乐趣，培养克服困难的意志品质。3、认识到数学在解决实际问题中的作用，增强应用数学的意识。（二）教学重点、难点重点1、勾股定理的内容及其应用（已知两边求第三边）。2、勾股定理的逆定理及其应用（根据三边关系判定直角三角形）。3、理解定理的证明思路（尤其是面积法）。难点1、对勾股定理及其逆定理条件的准确理解和区分（何时用定理，何时用逆定理）。2、理解不同证明方法（尤其是面积法）的原理和步骤，特别是如何通过图形的割补、拼接来证明a + b = c 。3、将实际问题抽象转化为直角三角形模型，并灵活运用勾股定理解决。4、对于无理数（如√2, √3等）在边长计算中的出现和接受。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理111.2探索勾股定理211.3一定是直角三角形吗11.4勾股定理的运用11.5问题解决的策略11.6回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.在探究过程中，渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。环节一：复习旧知环节二：问题情景引入环节三：探索勾股定理环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升探索勾股定理21.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.1、回顾知识，思考问题，2、完成填空题。3、用4张完全一样的直角三角形拼图。4、用拼图（等面积、两算法）验证勾股定理。5、追溯历史，阅读教材第6-7页《漫画勾股世界》6、小组活动课本第6页，利用等面积两算法探究满足勾股定理的条件。7、自学例题（课本第5页）8、学生完成必做题，教师指导完成选做题和综合拓展作业。9、学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获。环节一：复习旧知环节二：探索勾股定理验证的方法环节三：探索勾股定理使用条件环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。1、回顾勾股定理的定义。2、独立完成第2题。3、思考判断一个三角形是否是直角三角形的方法。4.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边符合a2+b2=c2，这样的三角形是直角三角形。5、探究勾股数的特点。6、小结勾股定理的逆定理7、自学课本第9页例题8、学生完成课堂练习环节一：通过复习唤醒记忆，为新授奠基环节二：提出问题引入新课。环节三：探索判断一个直角三角形的条件环节四：探索勾股数环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：总结提升勾股定理的运用准确运用勾股定理及逆定理。经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 完成检测题。2、小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。3、实施方案。4、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。5、完成例题的学习，提出质疑。6、学生完成课堂练习。7、学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。环节一：完成课前测试题。环节二：提出问题引入新课。环节三：尝试与思考环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升问题解决的策略 反思1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题1、完成练习题。2、回顾圆柱体的展开图。3、学生思考已知条件和所求问题，明晰目标。4、小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。5、分别计算每种线路的长度6、小组交流讨论线路3中的n中情况，不用计算可否判断线路的长短。7、探究小结8、自学例题19、小组讨论例题2。10、学生完成课堂练习。11、学生谈收获及解决问题的方法和注意事项。环节一：知识回顾。环节二：提出问题引入新课。环节三：合作探究环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升回顾与思考1、掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图.梳理知识。利用面积关系验证勾股定理。4、学生对五种不同题型题目尝试解答。对有困难的学生教师适当点拨。解答过程注意；（1）一线三直角的两个三角形全等的证明。（2）长方体中蚂蚁爬行的线路最短问题，需要分三种情况分别计算，然后找出最短路径。5、学生独立求完成课堂练习。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：验证勾股定理环节四：中考链接环节五：课堂练习环节六：总结提升
《勾股定理》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：情景问题导入
活动三：探索勾股定理
勾股定理
任务一：探索勾股定理1
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：探索勾股定理验证方法
活动三：探索勾股定理使用条件
任务二：探索勾股定理2
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探索判断一个直角三角形的条件
任务三：一定是直角三角形吗
活动四：探索勾股数
活动五：典例精析
勾股定理
活动六：课堂练习
活动七：总结提升
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：尝试与思考
活动四：典例精析
任务四：勾股定理的运用
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：知识回顾
活动二：问题引入
活动三：合作探究
任务五：问题解决的策略
反思
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
勾股定理
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
活动三：验证勾股定理
活动四：中考链接
任务六：回顾与思考
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
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第一章 勾股定理
1.1探索勾股定理(1)
01
教学目标
03
新知导入
04
新知讲解
06
课堂练习
07
课堂小结
08
作业布置
05
典例精析
02
复习铺垫
01
教学目标
了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。
01
经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。
02
掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形第三边的长度。
03
让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情
04
02
复习铺垫
1、回顾平方差公式和完全平方公式。
2、左图每个小方格是边长为1的正方形，
求出涂色部分正方形的面积？看看有几种方法？
03
情景引入
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标。
会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
03
问题引入
04
新知探究
探究一
探索勾股定理
（1）观察图1-2-1, 正方形A的面积是
个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
9
9
18
发现：
04
新知探究
探究一
探索勾股定理
（2）观察图1-2-2, 正方形A的面积是
个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
4
4
8
发现：
04
新知探究
探究一
探索勾股定理
（3）观察图1-3-1, 正方形A的面积是
个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
16
9
25
发现：
04
新知探究
探究一
探索勾股定理
（4）观察图1-3-2, 正方形A的面积是
个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
1
9
10
发现：
04
新知探究
猜想
猜想:两直角边a,b与斜边c 之间的关系？
B
A
C
a
c
b
a2+b2=c2
04
新知探究
验证
大正方形面积=小正方形面积+4个三角形面积
a2+b2=c2
04
新知探究
验证
大正方形面积=小正方形面积+4个三角形面积
a2+b2=c2
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示三角形的两直角边和斜边，那么a2 +b2 =c2
04
探究小结
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°，
则
a
b
c
1.成立条件： 在直角三角形中；
3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长.
2.公式变形:
a
b
c
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么
勾 股 定 理
（注意：哪条边是斜边）
04
探究小结
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）
04
新知探究
05
典例精析
一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离.
A
B
90
160
40
40
05
典例精析
解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则
∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm）
BC=160-40=120（mm)
由勾股定理有：
AB2=AC2+BC2=502+1202
=16900（mm2)
∵AB＞0,
∴AB=130(mm)
答：两孔中心A，B的距离
为130mm.
A
B
90
160
40
40
C
06
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
225
A
400
B
C
1、如图
A的面积=
AB=
BC=
AC=
625
25
20
15
06
课堂练习
144
2、如图B的面积=
3.离地面8m处拉一条钢索，这钢索固定点距离电线杆底部6m,钢索长度？m
82+62=100
答：钢索长度10m
06
课堂练习
06
课堂练习
4、求下列直角三角形未知的直角边
解：1、 x=15
2、 x=12
3、 x=13
06
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.小明妈妈买了一部55in的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有121.5cm长和68.5cm宽，他觉得一定是售货员搞错了. 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？[1in=25.4mm]
解：55×25.4=1397mm=139.7cm
14762.25+4692.25=19454.5接近19516.09
所以售货员没有搞错
我们通常所说的55英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
06
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长是a，则图中所
有正方形的面积之和是 。
3a
07
课堂小结
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流.
07
课堂小结
知识：勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 .
方法：观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
思想：1. 特殊—一般—特殊；
2. 数形结合思想.
08
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足
图1三个正方形围成的三角形不是直角三角形，不能满足
图2三个正方形围成的三角形是直角三角形，满足
08
作业布置
2.在直角△ABC中，∠C=90°
（1）若a=6，b=8，则 c= .
（2）若c=13，b=12，则 a= .
10
5
08
作业布置
3.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，
CD⊥AC，DE ⊥AD，则线段AE的长为（ ）
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
B
08
作业布置
4.如图，直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A
为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD= .
2
08
作业布置
a
b
b
c
c
5.下面几何图形如何验证勾股定理
08
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则三个
半圆的面积S1 ，S2 ，S3之间的关系是（ ）
S1 > S2 + S3 B. S1 = S2 + S3
C. S1 < S2 + S3 D. 无法确定
B
08
作业布置
【综合拓展类作业】
7.在直角三角形ABC中，AB=3,AC=4,那么以BC为边的正方形的面积是多少？
分析：分情况讨论
情况一：当BC为斜边时；
情况二：当BC为直角边时
Thanks!
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