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北师大版（2024）第一章《勾股定理》1.1探索勾股定理2教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 探索勾股定理2
课标要求 1、深化理解与初步应用：在第一课时（侧重于定理的发现或初步验证）的基础上，进一步加深对勾股定理的理解，并开始学习如何运用它来解决具体问题。2、掌握基本计算方法：能够根据直角三角形的已知两边，准确计算出第三边的长度。这包括已知两条直角边求斜边，以及已知一条直角边和斜边求另一条直角边。
教材分析 本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力 ，为后面的学习打下基础.
学情分析 学生的知识技能基础：学生在上节课已经通过测量和数格子的方法，对特殊的直角三角形进行了探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行一般性的验证.学生活动经验基础：学生具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；尤其在在七年级《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.
核心素养目标 1.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.
教学重点 利用勾股定理解决简单的实际问题
教学难点 验证勾股定理的方法
教学准备 准备4个相同的直角三角形与相应课件。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新1、上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？2．如何验证勾股定理呢 ？3.填空（1）一个直角三角形两直角边分别是3、4，斜边是 5 。（2）一个直角三角形的斜边是13，,其中一条直角边分别是5，另一条直角边是 12 。 1、回顾知识，思考问题，2、完成填空题。 唤醒记忆为新授做好准备。
二、探究 合作探究，活动领悟1、小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 看看有 几种拼法。2、作品展示3、小组合作验证勾股定理，利用图一、图二根据大正方形的面积等于中间正方形面积+4个直角三角形的面积。4、小组合作利用下图验证勾股定理。5，追溯历史①用图2验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 ②2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！③勾股定理与第一次数学危机 约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。④勾股定理的总统证法在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 6.据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？ 1、用4张完全一样的直角三角形拼图。2、用拼图（等面积、两算法）验证勾股定理。3、追溯历史，阅读教材第6-7页《漫画勾股世界》 利用课前准备的4张完全一样的直角三角形拼成一个正方形，再根据等面积两算法验证勾股定理，这样设计隐藏了满足勾股定理的使用条件。是学生在活动中体会勾股定理的的具体含义，体现数型结合思想。通过阅读漫画勾股世界激发学生的热爱祖国悠久历史文化情感，激发学生奋发学习
四、变式 师生互动，变式深化1、观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足结论：勾股定理使用的条件是直角三角形。2、自学例题：课本第5页 1、小组活动课本第6页，利用等面积两算法探究满足勾股定理的条件。2、自学例题（课本第5页） 通过探究课本第6页观察与思考，体会勾股定理的满足条件。通过例题的学生让学生体会勾股定理的价值。
五、尝试 【知识技能类作业】必做题：1．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝6，则c的长是( A )A．5 B．10 C．12 D．142．如图，在Rt△ABC中，下列结论中正确的是( B )A．AC2＝BC2＋AB2B．AB2＝BC2＋AC2C．BC2＝AB2＋AC2D．以上结论都不正确3．如果梯子的底端离建筑物5 m，13 m长的梯子可以达到该建筑物的高度是( A )A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m4．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为( B )A．13 B．8 C．5 D．645．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为( C )A．18 B．36 C．65 D．72【知识技能类作业】选做题：6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49 cm2，则正方形A，B，C，D的面积的和是 49 cm2.【综合拓展类作业】7.如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)．根据题意解答下列问题：(1)第5个正方形的面积S5＝ 16 ；第9个正方形的面积S9＝ 256 ；(2)求S1＋S2＋S3＋…＋Sn的值．解：由S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1，①.则2(S1＋S2＋S3＋…＋Sn)＝2(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝2＋22＋23＋…＋2n，②②－①得：S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝2n－1. 学生完成必做题，教师指导完成选做题和综合拓展作业。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸1.、验证勾股定理的方法:等面积，两算法勾股定理的运用找准斜边，根据斜边的平方等于两直角边的平方和。 学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获。 让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 勾股定理（）1.、验证勾股定理的方法:等面积，两算法勾股定理的运用找准斜边，根据斜边的平方等于两直角边的平方和。
作业设计（课外练习） 基础达标：一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ A ）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为202．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( B )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ D ）A．4 B．8 C．16 D．64 第3题 第4题4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( C ) 5．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为 6.5 6．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 4 ．第6题 第7题 7．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=100cm2．能力提升：8.在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ 4 ．拓展迁移：9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．解答提示：设其中一条边为x,根据等量关系另一边用含有x的代数式表示。再根据勾股定理列出方程求出x的值，问题得到解决。参考答案：．(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34； (4)12．
教学反思
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.了解勾股定理的历史,感受数学文化;
2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;
3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.
4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.
学习重点：利用勾股定理解决简单的实际问题
学习难点：验证勾股定理的方法
预习自测
一、知识链接
勾股定理的具体内容是 。
用数学语言如何描述？ 。
自学自测
一个直角三角形两直角边分别是3、4，斜边是 。
一个直角三角形的斜边是13，,其中一条直角边分别是5，另一条直角边是 。
教学过程
一、创设情境、导入新课
1、请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 看看有几种拼法。
2、利用拼成的图形（下图）用等面积两算法验证勾股定理。
验证的根据是 。
3、追溯历史阅读课本第6-7页漫画勾股世界
4、阅读与思考课本第6页观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足
（先用格点图计算出三个三角形的面积，再判断是否符合）
【结论】： 利用勾股定理满足的条件是 。
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝6，则c的长是( )
A．5 B．10 C．12 D．14
2．如图，在Rt△ABC中，下列结论中正确的是( )
A．AC2＝BC2＋AB2
B．AB2＝BC2＋AC2
C．BC2＝AB2＋AC2
D．以上结论都不正确
3．如果梯子的底端离建筑物5 m，13 m长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )
A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m
4．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为( )
A．13 B．8 C．5 D．64
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为( )
A．18 B．36 C．65 D．72
【知识技能类作业】选做题：
6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49 cm2，则正方形A，B，C，D的面积的和是 cm2.
第6题 第7题
【综合拓展类作业】
7.如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)．
根据题意解答下列问题：
(1)第5个正方形的面积S5＝ ；第9个正方形的面积S9＝ ；
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋Sn的值．
总结反思、拓展升华
1.、验证勾股定理的方法: 。
勾股定理的运用注意点： 。
五、【作业布置】
基础达标：
一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
第3题 第4题
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )
5．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为 .
6．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 ．
第6题 第7题
7．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2= cm2．
能力提升：
8.在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ ．
拓展迁移：
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
课外作业参考答案：．
A
B
D
C
6.5
4
100
4
9、(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34； (4)12．
解答提示：设其中一条边为x,根据等量关系另一边用含有x的代数式表示。再根据勾股定理列出方程求出x的值，问题得到解决。
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第一章 勾股定理
1.1探索勾股定理（2）
01
教学目标
02
复习导入
03
新知讲解
04
典例精析
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
知识与技能：体验勾股定理的探索过程?进一步发展学生的合情推理意识?主动探究的习惯?体会数学与现实生活的紧密联系。
01
过程与方法：探索并理解直角三角形三边之间的数量关系?进一步发展学生的说理和简单的推理意识及能力。
02
情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中?让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想?并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
03
02
新知导入
1．上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2．如何验证勾股定理呢 ？
3.填空
（1）一个直角三角形两直角边分别是3、4，斜边是 。
（2）一个直角三角形的斜边是13，,其中一条直角边分别是5，另一条直角边是 。
5
12
03
新知探究
探究新知
一、小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．
有不同的拼法吗？
拼图展示
图 1
图 2
03
新知探究
二 探究勾股定理的证明方法
验证方法一；
利用大正方形的面积等于
中间正方形面积+4个直角三角形的面积。
（自己完成验证过程）
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
03
新知探究
验证方法二；
利用大正方形的面积等于
中间正方形面积+4个直角三角形的面积。
（自己完成验证过程）
c
a
b
图 2
03
新知探究
验证方法三；
利用梯形的面积等于
三个直角三角形的面积之后。
（自己完成验证过程）
b
c
a
b
c
a
追溯历史
用图2验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 。
03
新知探究
2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
03
新知探究
勾股定理与第一次数学危机
约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。
不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。
03
新知探究
勾股定理的总统证法
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……
于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
03
新知探究
03
新知探究
据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？
03
思考与交流
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
结论：勾股定理使用的条件是直角三角形。
04
典例精析
04
典例精析
解：根据题意三角形ABC是直角三角形，∠C=90°,AC=400m,AB=500m
BC=300
蓝方汽车平均速度：300÷10=30（m/s）
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝6，则c的长是( )
A．5 B．10 C．12 D．14
2．如图，在Rt△ABC中，下列结论中正确的是( )
A．AC2＝BC2＋AB2
B．AB2＝BC2＋AC2
C．BC2＝AB2＋AC2
D．以上结论都不正确
B
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
A
3．如果梯子的底端离建筑物5 m，13 m长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )
A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m
4．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为( )
A．13 B．8 C．5 D．64
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为( )
A．18 B．36 C．65 D．72
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49 cm2，则正方形A，B，C，D的面积的和是 cm2.
49
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)．
根据题意解答下列问题：
(1)第5个正方形的面积S5＝ ；第9个正方形的面积S9＝ ；
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋Sn的值．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解;（2）解：由S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1，①.
两边乘以2得：
2(S1＋S2＋S3＋…＋Sn)＝＝2＋22＋23＋…＋2n，②
②－①得：S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝2n－1.
(1)第5个正方形的面积S5＝ ；第9个正方形的面积S9＝ ；
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋Sn的值．
16
256
05
课堂小结
1.验证勾股定理的方法:
2.勾股定理的初步应用
等面积，两算法
找准斜边，直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )
5．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为
C
6.5
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 ．
4
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
7．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=．
100cm2
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ ．
4
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
参考答案：
(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34； (4)12．
解答提示：设其中一条边为x,根据等量关系另一边用含有x的代数式表示。再根据勾股定理列出方程求出x的值，问题得到解决。
Thanks!
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册、第一章
课标要求 1、使学生理解并掌握勾股定理，并能运用它解决一些简单的实际问题。2、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。3、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣。
内容分析 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，也是八年级数学课程中的一个核心知识点。它不仅具有悠久的历史和广泛的应用，更在培养学生的逻辑思维、空间想象能力和数学应用意识方面扮演着重要角色。以下是对其教学内容的具体分析：承上启下： 勾股定理建立在学生已经掌握的线段、角、三角形（特别是直角三角形）以及实数等知识基础上。同时，它又为后续学习四边形、圆、解直角三角形、锐角三角函数以及高中立体几何等内容奠定了基础。可以说，它是连接平面几何基础与更复杂几何图形研究的重要桥梁。核心概念： 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是几何中第一个将“形”（直角）与“数”（边长）紧密结合的定理，体现了数形结合的思想。应用广泛： 勾股定理在实际生活中有大量应用，如测量距离、建筑、航海、工程等，是培养学生数学应用意识和解决实际问题能力的重要载体。探索： 让学生用不同大小的正方形卡片（或方格纸）拼出直角三角形，并计算以三边为边长的正方形面积，发现规律 a + b = c 。证明： 介绍几种经典的证明方法，如赵爽弦图（面积割补法）、欧几里得证明（利用相似三角形或面积）等。重点引导学生理解赵爽弦图的证明思路，因为它直观且蕴含了中国古代数学的智慧。可以通过动手操作、小组合作等方式加深理解。应用：基础应用： 讲解定理的直接应用，如已知直角三角形的两边求第三边。注意区分已知的是直角边还是斜边。逆定理应用： 讲解如何根据三边关系判定一个三角形是否为直角三角形。强调必须用最大边的平方与其他两边的平方和比较。综合应用： 设计一些需要添加辅助线构造直角三角形的问题（如折叠问题、最短路径问题等），培养学生灵活运用知识的能力。实际应用： 结合生活实例，如测量高度、距离等，让学生体会数学的实用性。拓展与提升：介绍勾股数（满足a + b = c 的整数组），让学生寻找或验证勾股数。简单介绍勾股定理在更高维度（如空间直角坐标系中两点距离公式）或其他学科（如物理学）中的应用。勾股定理的教学不仅是知识的传授，更是思维能力和应用能力的培养。教师需要精心设计教学环节，既要让学生掌握扎实的知识技能，也要引导他们体验数学探究的乐趣，感受数学文化的魅力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
学情分析 一、学生已有的知识基础图形认识： 学生已经学习过三角形、四边形等基本图形，对直角三角形有初步的认识，知道其有一个直角和两个锐角。面积计算： 学生掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形的面积计算方法，特别是正方形的面积等于边长的平方，这是理解勾股定理几何证明的基础。代数基础： 学生已经学习了整式的加减乘除运算，特别是平方运算，为理解代数形式打下了基础。简单的方程： 学生具备解简单一元一次方程的能力，这有助于他们在已知两边求第三边时建立方程并求解。二、学生可能遇到的困难与挑战：概念理解困难、斜边识别、定理适用范围、定理证明的理解、几何证明、代数证明、定理的应用、选择何时使用、计算错误、逆向应用、实际应用建模、三、 学生的学习兴趣与潜在优势：好奇心、实用性、成就感、形象思维
单元目标 （一）教学目标根据新课标要求，勾股定理的教学目标通常包括以下三个维度：知识与技能：1、理解并掌握勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。会用勾股定理进行计算，求直角三角形的未知边长。2、了解勾股定理的逆定理（如果三角形三边长a, b, c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形），并会运用其判定直角三角形。3、了解勾股定理的几种常见证明方法（如面积法、割补法等），体会证明的多样性。过程与方法：1、经历探索勾股定理及逆定理的过程，通过观察、猜想、验证、归纳等活动，培养学生的探究能力和推理能力。2、体会数形结合、转化与化归、从特殊到一般等数学思想方法。3、学习利用面积关系进行几何证明的方法。情感态度与价值观：1、通过了解勾股定理的历史（如中国的“勾三股四弦五”、毕达哥拉斯的故事等），感受数学文化的魅力，激发学习兴趣。2、在探索和解决问题的过程中，体验数学学习的乐趣，培养克服困难的意志品质。3、认识到数学在解决实际问题中的作用，增强应用数学的意识。（二）教学重点、难点重点1、勾股定理的内容及其应用（已知两边求第三边）。2、勾股定理的逆定理及其应用（根据三边关系判定直角三角形）。3、理解定理的证明思路（尤其是面积法）。难点1、对勾股定理及其逆定理条件的准确理解和区分（何时用定理，何时用逆定理）。2、理解不同证明方法（尤其是面积法）的原理和步骤，特别是如何通过图形的割补、拼接来证明a + b = c 。3、将实际问题抽象转化为直角三角形模型，并灵活运用勾股定理解决。4、对于无理数（如√2, √3等）在边长计算中的出现和接受。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理111.2探索勾股定理211.3一定是直角三角形吗11.4勾股定理的运用11.5问题解决的策略11.6回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.在探究过程中，渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。环节一：复习旧知环节二：问题情景引入环节三：探索勾股定理环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升探索勾股定理21.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.1、回顾知识，思考问题，2、完成填空题。3、用4张完全一样的直角三角形拼图。4、用拼图（等面积、两算法）验证勾股定理。5、追溯历史，阅读教材第6-7页《漫画勾股世界》6、小组活动课本第6页，利用等面积两算法探究满足勾股定理的条件。7、自学例题（课本第5页）8、学生完成必做题，教师指导完成选做题和综合拓展作业。9、学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获。环节一：复习旧知环节二：探索勾股定理验证的方法环节三：探索勾股定理使用条件环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。1、回顾勾股定理的定义。2、独立完成第2题。3、思考判断一个三角形是否是直角三角形的方法。4.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边符合a2+b2=c2，这样的三角形是直角三角形。5、探究勾股数的特点。6、小结勾股定理的逆定理7、自学课本第9页例题8、学生完成课堂练习环节一：通过复习唤醒记忆，为新授奠基环节二：提出问题引入新课。环节三：探索判断一个直角三角形的条件环节四：探索勾股数环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：总结提升勾股定理的运用准确运用勾股定理及逆定理。经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 完成检测题。2、小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。3、实施方案。4、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。5、完成例题的学习，提出质疑。6、学生完成课堂练习。7、学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。环节一：完成课前测试题。环节二：提出问题引入新课。环节三：尝试与思考环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升问题解决的策略 反思1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题1、完成练习题。2、回顾圆柱体的展开图。3、学生思考已知条件和所求问题，明晰目标。4、小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。5、分别计算每种线路的长度6、小组交流讨论线路3中的n中情况，不用计算可否判断线路的长短。7、探究小结8、自学例题19、小组讨论例题2。10、学生完成课堂练习。11、学生谈收获及解决问题的方法和注意事项。环节一：知识回顾。环节二：提出问题引入新课。环节三：合作探究环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升回顾与思考1、掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图.梳理知识。利用面积关系验证勾股定理。4、学生对五种不同题型题目尝试解答。对有困难的学生教师适当点拨。解答过程注意；（1）一线三直角的两个三角形全等的证明。（2）长方体中蚂蚁爬行的线路最短问题，需要分三种情况分别计算，然后找出最短路径。5、学生独立求完成课堂练习。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：验证勾股定理环节四：中考链接环节五：课堂练习环节六：总结提升
《勾股定理》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：情景问题导入
活动三：探索勾股定理
勾股定理
任务一：探索勾股定理1
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：探索勾股定理验证方法
活动三：探索勾股定理使用条件
任务二：探索勾股定理2
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探索判断一个直角三角形的条件
任务三：一定是直角三角形吗
活动四：探索勾股数
活动五：典例精析
勾股定理
活动六：课堂练习
活动七：总结提升
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：尝试与思考
活动四：典例精析
任务四：勾股定理的运用
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：知识回顾
活动二：问题引入
活动三：合作探究
任务五：问题解决的策略
反思
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
勾股定理
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
活动三：验证勾股定理
活动四：中考链接
任务六：回顾与思考
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
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