(共31张PPT)
第一章 勾股定理
1.2一定是直角三角形吗
01
教学目标
02
预习导入
03
新知探究
04
典例精析
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。
01
理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。
02
经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。
03
02
复习导入
1、勾股定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
温故知新
02
复习导入
合作交流
求以线段a,b为直角边的直角三角形的斜边c的长:
(1)a=3, b=4;
(2) a=8, b=6;
(3)a=5, b=12.
问题导入
02
如何判断一个三角形是否是直角三角形？
1、根据角来判断，
2、根据边来判断；
03
新知探究
探究一
从边上判定一个三角形是直角三角形的条件
3cm, 4cm, 5cm； 5cm, 12cm, 13cm；
7cm, 24cm, 25cm； 9cm,40cm,41cm
8cm, 15cm, 17cm.
1、画一画：画一个三角形,使其三边长分别为: a，b，c.
03
新知探究
探究一
从边上判定一个三角形是直角三角形的条件
2、量一量：用量角器量每个三角形中最大的角， 判断它们是否是直角三角形？
3、算一算：这三组数都满足 a2+b2=c2 吗？
03
探究小结
归纳总结：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角 三角形。
勾股定理逆定理
03
新知探究
探究二：勾股数有哪些特点？
1. 学生自学课本第10页思考与交流。
2. 3、4、5是一组勾股数，那么6、8、10是一组勾股数吗？0.6、0.8、1呢？
3. 归纳小结：
如果a,b,c 为一组勾股数，则an,bn,cn 也是一组勾股数，n是自然数。
03
练一练
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c。
①5,12,13；②7,24,25；③8,15,17；④3,4,5
⑤6,8，10；⑥10,24,26；⑦0.8,1.5，1.7；
⑧1.5,2,2.5；⑨12，18,22.⑩
3n,4n,5n(n为正整数)
（1）哪组边能组成直角三角形？
（2）勾股数有哪些？
（3）你从这些直角三角形中能发现什么？
（除(9)、(10)外。其他全部可以组成直角三角形）
(能组成直角三角形的三边长度均为正整数）
(两条较短边的平方和等于长边的平方）
03
归纳小结
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2 +b2=c2
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
互 逆
03
典例精析
例1
课本第9页例题
一个零件的行踪如图1-14所示，按规定这个零件∠A,∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件的尺寸如图1-15所示，这个零件是否符合要求？
03
典例精析
例1
解：在△ABD中，
∴∠A是直角，
在△ABD中，
∴∠DBC是直角，
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如果线段a, b, c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( )
3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是 ( )
是直角三角形; B. 可能是锐角三角形;
C. 可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形
B
A
04
课堂练习
3.已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.
4.以 ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形
直角
∠ A
直角
【知识技能类作业】必做题：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是: （ ）
A. 直角三角形; B. 是锐角三角形;
C. 是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形
A
04
课堂练习
6.中考联接：若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足
(a－5)2＋(b－12)2＋|c－13|＝0.
(1)、求a，b，c的值；
(2)、△ABC是直角三角形吗？请说明理由
a=5 b=12 c=13
【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？（随堂练习第2题）
有4个直角三角形，
∠A,∠D,∠C、均为直角,∴△ABE,△BCF,△DFE,是
直角三角形。又因为
所以△BEF也是直角三角形，故又4个直角三角形。
04
课堂练习
8.变式.如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为CD的四等分点，判断BE和EF的位置关系，并说明理由
【综合拓展类作业】
03
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2 +b2=c2
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
互 逆
课堂小结
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列四组数据，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，41
2．在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝（c﹣b（c+b） B．a＝1，b＝2，c＝3
C．∠A＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
120
24
3．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
4．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
45
5．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 °．
6．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝ °．
45
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
C
7.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（ ）
A．∠BAC＞∠DAC．B. ∠BAC＜∠DAC．
C. ∠BAC＝∠DAC．D. 无法确定
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：
（13，84，85）
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 ．
06
作业布置
06
作业布置
10.如图，在△ACD中，AD＝17，AC＝15，DC＝8，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝25．求：△ABD的面积．
Thanks!
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北师大版（2024）第一章《勾股定理》1.2一定是直角三角形吗教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 一定是直角三角形吗 课时 3
课标要求 这一课主要围绕勾股定理的逆定理展开，即如果一个三角形的三边长a, b, c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形。其课标要求是：一、知识技能目标：理解并掌握勾股定理的逆定理： 学生需要知道并理解，当三角形三边满足a + b = c 时，这个三角形一定是直角三角形，且c边所对的角是直角。运用逆定理判断直角三角形： 能够根据给定的三角形三边长度，通过计算判断该三角形是否为直角三角形。二、数学思考目标：经历探索和验证逆定理的过程： 可能通过测量、计算、拼图（如勾股弦图）等方式，体验发现和验证数学定理的过程。体会从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想： 先有直角三角形满足勾股定理，再反过来思考满足勾股定理条件的三角形是否一定是直角三角形。发展合情推理和演绎推理能力： 在探索过程中进行猜想和归纳（合情推理），在验证和应用时进行逻辑证明（演绎推理）。三、问题解决目标：能够运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题： 例如，判断给定的三根木棒能否构成直角三角形，或者在简单的几何图形中判断某个角是否为直角。尝试从不同角度寻求解决问题的方法： 可能结合图形性质或测量等多种方式来判断。四、情感态度与价值观目标：在探索过程中获得成功的体验： 通过自己动手验证定理，感受数学发现的乐趣。感受数学的严谨性和数学结论的确定性： 理解数学结论需要严格的逻辑证明。培养对数学的好奇心和求知欲： 激发进一步探索几何性质的兴趣。其核心是让学生掌握并会运用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形，同时在这个过程中发展数学思维和解决问题的能力。
教材分析 本节课是学习勾股定理后继续学习如何判断一个三角形是直角三角形，是进一步理解直角三角形的需要。通过勾股定理及其逆定理的学习，加深学生对性质与判断之间的辩证统一之间的关系，是对所学知识的继续和深化，也是为后续学习奠定基础，在以后的问题解决中运用非常广泛。同时渗透利用代数计算解决几何证明问题的思想，这是初中几何学习的重要内容之一。
学情分析 学生已经学习了勾股定理，并在以前学习的内容中已经积累了逆向思维的经验，本节课从勾股定理出发逆向思考获得勾股定理的逆定理，学生应该具备了这样的研究意识，但在具体研究过程中可能用到反证思想，对现阶段的学生来说可能有一定的困难，所以在教学活动中教师应注意适时的引导。
核心素养目标 掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。
教学重点 探索并掌握直角三角形的判定条件。
教学难点 运用直角三角形的判定条件解决实际问题。
教学准备 相应的课件与预习单
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 , 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2、求以线段a,b为直角边的直角三角形的斜边c的长: (1)a=3, b=4; (2) a=8, b=6; (3)a=5, b=12. 1、回顾勾股定理的定义。2、独立完成第2题。 通过复习唤醒记忆，为新授奠基
二、引新 提出问题，引入课题，如何判断一个三角形是否是直角三角形？1、根据角来判断，2根据边来判断 思考判断一个三角形是否是直角三角形的方法
三、探究 合作探究，活动领悟探究一：从边上判定一个三角形是直角三角形的条件1、画一画：画一个三角形,使其三边长分别为: a，b，c.3cm, 4cm, 5cm； 5cm, 12cm, 13cm；7cm, 24cm, 25cm； 9cm,40cm,41cm 8cm, 15cm, 17cm.2、量一量：用量角器量每个三角形中最大的角， 判断它们是否是直角三角形？3、算一算：这三组数都满足吗？归纳总结：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是 直角 三角形。探究二：勾股数有哪些特点？1. 学生自学课本第10页思考与交流。2. 3、4、5是一组勾股数，那么6、8、10是一组勾股数吗？0.6、0.8、1呢？3. 归纳小结：勾股定理逆定理：如果a,b,c 为一组勾股数，则an,bn,cn 也是一组勾股数，n是自然数。下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c。 ①5,12,13；②7,24,25；③8,15,17；④3,4,5 ⑤6,8，10；⑥10,24,26；⑦0.8,1.5，1.7； ⑧1.5,2,2.5；⑨12，18,22.⑩ 3^2，4^2，5^2 3n,4n,5n(n为正整数)（1）哪组边能组成直角三角形？（除(9)、(10)外。其他全部可以组成直角三角形）（2）勾股数有哪些？（(能组成直角三角形的三边长度均为正整数））（3）你从这些直角三角形中能发现什么？（(两条较短边的平方和等于长边的平方）课堂小结；勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形。 1.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边符合a2+b2=c2，这样的三角形是直角三角形。2、探究勾股数的特点。3、小结勾股定理的逆定理 通过学生参与探究全程，掌握从三边的长短来判断是否直角三角形，掌握勾股数的特点和满足条件，进而引导学生勾股定理的逆定理。并比较勾股定理和勾股定理逆定理的联系和区别
四、例题 课本第9页例题一个零件的行踪如图1-14所示，按规定这个零件∠A,∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件的尺寸如图1-15所示，这个零件是否符合要求？解：在△ABD中，∵∴∠A是直角在△BDC中，∵∴∠DBC是直角 自学课本第9页例题 引导学生利用数形结合、勾股定理来判断是否直角。提高学生运用知识解决实际问题的能力。
五、尝试 基础达标1.如果线段a, b, c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( B )3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是 ( A )是直角三角形; B. 可能是锐角三角形;C. 可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形3.已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为 直角 三角形, ∠A 是最大角.4.以 ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是 直角 三角形5.三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)-c=2ab, 则此三角形是: （ A ） A. 直角三角形; B. 是锐角三角形;C. 是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形能力提升6.中考联接：若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足(a－5)＋(b－12)＋|c－13|＝0. (1)、求a，b，c的值；(a=5 b=12 c=13) (2)、△ABC是直角三角形吗？请说明理由(是直角三角形，因为）综合运用7.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？（随堂练习第2题）解：有4个直角三角形，∠A,∠D,∠C、均为直角,∴△ABE,△BCF,△DFE,是直角三角形。又因为所以△BEF也是直角三角形，故又4个直角三角形。变式.如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为CD的四等分点，判断BE和EF的位置关系，并说明理由解：EF⊥BE 理由如下设正方形的边长为a∵∴∴EF⊥BE 学生完成课堂练习对于拓展题和综合运用知识解决实际问题教师适当点拨。注意及时反馈学生的练习结果，对于普遍存在问题及时查缺补漏。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数满足的条件是什么？ 学生发言互相补充， 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．下列四组数据，不是勾股数的是（ B ）A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，412．在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ A ）A．a2＝（c﹣b（c+b） B．a＝1，b＝2，c＝3C．∠A＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：53．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 24 ．4．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 120 cm2．5．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 45 °．6.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝ 45 °．能力提升7.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（ C ）A．∠BAC＞∠DAC．B. ∠BAC＜∠DAC．C. ∠BAC＝∠DAC．D. 无法确定8．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组： （13，84，85） 综合运用9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 .解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2， 故答案为：210.如图，在△ACD中，AD＝17，AC＝15，DC＝8，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝25．求：△ABD的面积．解：∵AD＝17，AC＝15，DC＝8，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°，∵AB＝25，AC＝15，∴由勾股定理得：BC＝＝20，∴BD＝BC﹣DC＝20﹣8＝12，∴△ABD的面积是＝＝90．
教学反思
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第一章 勾股定理
1.2一定是直角三角形吗
学习目标与重难点
学习目标：
掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。
2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。
3. 经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。
学习重点：探索并掌握直角三角形的判定条件。
学习难点：运用直角三角形的判定条件解决实际问题。
预习自测
一、知识链接
勾股定理的定义：
。
自学自测
求以线段a,b为直角边的直角三角形的斜边c的长:
(1)a=3, b=4; (2) a=8, b=6; (3)a=5, b=12.
教学过程
一、创设情境、导入新课
如何判断一个三角形是否是直角三角形？
。
。
二、合作交流、新知探究
探究一：从边上判定一个三角形是直角三角形的条件（课本第10页）
1、画一画：画一个三角形,使其三边长分别为: a，b，c.
3cm, 4cm, 5cm； 5cm, 12cm, 13cm； 7cm, 24cm, 25cm； 9cm,40cm,41cm
8cm, 15cm, 17cm.
2、量一量：用量角器量每个三角形中最大的角， 判断它们是否是直角三角形？
3、算一算：这三组数都满足吗？
归纳总结： 。
探究二：勾股数有哪些特点？（课本第10页）
1. 学生自学课本第10页思考与交流。
2. 3、4、5是一组勾股数，那么6、8、10是一组勾股数吗？0.6、0.8、1呢？
3. 归纳小结：
勾股定理逆定理：
。
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c。
①5, 12, 13； ②7, 24, 25； ③8, 15, 17；④3, 4, 5
⑤6, 8，10； ⑥10, 24, 26； ⑦0.8, 1.5， 1.7；
⑧1.5, 2, 2.5； ⑨12，18, 22 .⑩ 3，4，5
3n, 4n, 5n(n为正整数)
（1）哪组边能组成直角三角形？
。
勾股数有哪些？
。
（3）你从这些直角三角形中能发现什么？
。
【强调】：
勾股定理：如果是直角三角形，那么
勾股定理逆定理；如果（C是较长的边）,那么a、b、c可以围成一个直角三角形且C为直角。
勾股数：三个数字符合且a、b、c是正整数。
三、自学课本第10页例题。
四、课堂练习、巩固提高
基础达标
1.如果线段a, b, c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( )
3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是 ( )
是直角三角形; B. 可能是锐角三角形;C. 可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形
3.已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为 三角形, 是最大角.
4.以 ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是 三角形
5.三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)-c=2ab, 则此三角形是: （ ）
A. 直角三角形; B. 是锐角三角形; C. 是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形
能力提升
6.中考联接：若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足(a－5)＋(b－12)＋|c－13|＝0.
(1)、求a，b，c的值；
(2)、△ABC是直角三角形吗？请说明理由
综合运用
7.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？（随堂练习第2题）
变式.如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为CD的四等分点，判断BE和EF的位置关系，并说明理由
总结反思、拓展升华
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数：三个数字符合且a、b、c是正整数。
五、【作业布置】
基础达标：
1．下列四组数据，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，41
2．在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝（c﹣b（c+b） B．a＝1，b＝2，c＝3
C．∠A＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
4．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
5．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 °．
6.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝ °．
第5题 第6题 第7题
能力提升
7.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（ ）
A．∠BAC＞∠DAC． B. ∠BAC＜∠DAC． C. ∠BAC＝∠DAC． D. 无法确定
8．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：
综合运用
9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 .
10.如图，在△ACD中，AD＝17，AC＝15，DC＝8，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝25．求：△ABD的面积．
课外作业参考答案：
B
A
24
120
45
45
C
（13，84，85）
解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，
△ABC的周长＝2++5＝3+5，
（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°．
（3）过B作BP⊥AC，
∵△ABC的面积＝，
即，
解得BP＝2， 故答案为：2
解：∵AD＝17，AC＝15，DC＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠C＝90°，
∵AB＝25，AC＝15，
∴由勾股定理得：BC＝＝20，
∴BD＝BC﹣DC＝20﹣8＝12，
∴△ABD的面积是＝＝90．
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册、第一章
课标要求 1、使学生理解并掌握勾股定理，并能运用它解决一些简单的实际问题。2、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。3、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣。
内容分析 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，也是八年级数学课程中的一个核心知识点。它不仅具有悠久的历史和广泛的应用，更在培养学生的逻辑思维、空间想象能力和数学应用意识方面扮演着重要角色。以下是对其教学内容的具体分析：承上启下： 勾股定理建立在学生已经掌握的线段、角、三角形（特别是直角三角形）以及实数等知识基础上。同时，它又为后续学习四边形、圆、解直角三角形、锐角三角函数以及高中立体几何等内容奠定了基础。可以说，它是连接平面几何基础与更复杂几何图形研究的重要桥梁。核心概念： 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是几何中第一个将“形”（直角）与“数”（边长）紧密结合的定理，体现了数形结合的思想。应用广泛： 勾股定理在实际生活中有大量应用，如测量距离、建筑、航海、工程等，是培养学生数学应用意识和解决实际问题能力的重要载体。探索： 让学生用不同大小的正方形卡片（或方格纸）拼出直角三角形，并计算以三边为边长的正方形面积，发现规律 a + b = c 。证明： 介绍几种经典的证明方法，如赵爽弦图（面积割补法）、欧几里得证明（利用相似三角形或面积）等。重点引导学生理解赵爽弦图的证明思路，因为它直观且蕴含了中国古代数学的智慧。可以通过动手操作、小组合作等方式加深理解。应用：基础应用： 讲解定理的直接应用，如已知直角三角形的两边求第三边。注意区分已知的是直角边还是斜边。逆定理应用： 讲解如何根据三边关系判定一个三角形是否为直角三角形。强调必须用最大边的平方与其他两边的平方和比较。综合应用： 设计一些需要添加辅助线构造直角三角形的问题（如折叠问题、最短路径问题等），培养学生灵活运用知识的能力。实际应用： 结合生活实例，如测量高度、距离等，让学生体会数学的实用性。拓展与提升：介绍勾股数（满足a + b = c 的整数组），让学生寻找或验证勾股数。简单介绍勾股定理在更高维度（如空间直角坐标系中两点距离公式）或其他学科（如物理学）中的应用。勾股定理的教学不仅是知识的传授，更是思维能力和应用能力的培养。教师需要精心设计教学环节，既要让学生掌握扎实的知识技能，也要引导他们体验数学探究的乐趣，感受数学文化的魅力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
学情分析 一、学生已有的知识基础图形认识： 学生已经学习过三角形、四边形等基本图形，对直角三角形有初步的认识，知道其有一个直角和两个锐角。面积计算： 学生掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形的面积计算方法，特别是正方形的面积等于边长的平方，这是理解勾股定理几何证明的基础。代数基础： 学生已经学习了整式的加减乘除运算，特别是平方运算，为理解代数形式打下了基础。简单的方程： 学生具备解简单一元一次方程的能力，这有助于他们在已知两边求第三边时建立方程并求解。二、学生可能遇到的困难与挑战：概念理解困难、斜边识别、定理适用范围、定理证明的理解、几何证明、代数证明、定理的应用、选择何时使用、计算错误、逆向应用、实际应用建模、三、 学生的学习兴趣与潜在优势：好奇心、实用性、成就感、形象思维
单元目标 （一）教学目标根据新课标要求，勾股定理的教学目标通常包括以下三个维度：知识与技能：1、理解并掌握勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。会用勾股定理进行计算，求直角三角形的未知边长。2、了解勾股定理的逆定理（如果三角形三边长a, b, c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形），并会运用其判定直角三角形。3、了解勾股定理的几种常见证明方法（如面积法、割补法等），体会证明的多样性。过程与方法：1、经历探索勾股定理及逆定理的过程，通过观察、猜想、验证、归纳等活动，培养学生的探究能力和推理能力。2、体会数形结合、转化与化归、从特殊到一般等数学思想方法。3、学习利用面积关系进行几何证明的方法。情感态度与价值观：1、通过了解勾股定理的历史（如中国的“勾三股四弦五”、毕达哥拉斯的故事等），感受数学文化的魅力，激发学习兴趣。2、在探索和解决问题的过程中，体验数学学习的乐趣，培养克服困难的意志品质。3、认识到数学在解决实际问题中的作用，增强应用数学的意识。（二）教学重点、难点重点1、勾股定理的内容及其应用（已知两边求第三边）。2、勾股定理的逆定理及其应用（根据三边关系判定直角三角形）。3、理解定理的证明思路（尤其是面积法）。难点1、对勾股定理及其逆定理条件的准确理解和区分（何时用定理，何时用逆定理）。2、理解不同证明方法（尤其是面积法）的原理和步骤，特别是如何通过图形的割补、拼接来证明a + b = c 。3、将实际问题抽象转化为直角三角形模型，并灵活运用勾股定理解决。4、对于无理数（如√2, √3等）在边长计算中的出现和接受。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理111.2探索勾股定理211.3一定是直角三角形吗11.4勾股定理的运用11.5问题解决的策略11.6回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.在探究过程中，渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。环节一：复习旧知环节二：问题情景引入环节三：探索勾股定理环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升探索勾股定理21.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.1、回顾知识，思考问题，2、完成填空题。3、用4张完全一样的直角三角形拼图。4、用拼图（等面积、两算法）验证勾股定理。5、追溯历史，阅读教材第6-7页《漫画勾股世界》6、小组活动课本第6页，利用等面积两算法探究满足勾股定理的条件。7、自学例题（课本第5页）8、学生完成必做题，教师指导完成选做题和综合拓展作业。9、学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获。环节一：复习旧知环节二：探索勾股定理验证的方法环节三：探索勾股定理使用条件环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。1、回顾勾股定理的定义。2、独立完成第2题。3、思考判断一个三角形是否是直角三角形的方法。4.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边符合a2+b2=c2，这样的三角形是直角三角形。5、探究勾股数的特点。6、小结勾股定理的逆定理7、自学课本第9页例题8、学生完成课堂练习环节一：通过复习唤醒记忆，为新授奠基环节二：提出问题引入新课。环节三：探索判断一个直角三角形的条件环节四：探索勾股数环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：总结提升勾股定理的运用准确运用勾股定理及逆定理。经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 完成检测题。2、小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。3、实施方案。4、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。5、完成例题的学习，提出质疑。6、学生完成课堂练习。7、学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。环节一：完成课前测试题。环节二：提出问题引入新课。环节三：尝试与思考环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升问题解决的策略 反思1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题1、完成练习题。2、回顾圆柱体的展开图。3、学生思考已知条件和所求问题，明晰目标。4、小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。5、分别计算每种线路的长度6、小组交流讨论线路3中的n中情况，不用计算可否判断线路的长短。7、探究小结8、自学例题19、小组讨论例题2。10、学生完成课堂练习。11、学生谈收获及解决问题的方法和注意事项。环节一：知识回顾。环节二：提出问题引入新课。环节三：合作探究环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升回顾与思考1、掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图.梳理知识。利用面积关系验证勾股定理。4、学生对五种不同题型题目尝试解答。对有困难的学生教师适当点拨。解答过程注意；（1）一线三直角的两个三角形全等的证明。（2）长方体中蚂蚁爬行的线路最短问题，需要分三种情况分别计算，然后找出最短路径。5、学生独立求完成课堂练习。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：验证勾股定理环节四：中考链接环节五：课堂练习环节六：总结提升
《勾股定理》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：情景问题导入
活动三：探索勾股定理
勾股定理
任务一：探索勾股定理1
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：探索勾股定理验证方法
活动三：探索勾股定理使用条件
任务二：探索勾股定理2
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探索判断一个直角三角形的条件
任务三：一定是直角三角形吗
活动四：探索勾股数
活动五：典例精析
勾股定理
活动六：课堂练习
活动七：总结提升
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：尝试与思考
活动四：典例精析
任务四：勾股定理的运用
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：知识回顾
活动二：问题引入
活动三：合作探究
任务五：问题解决的策略
反思
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
勾股定理
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
活动三：验证勾股定理
活动四：中考链接
任务六：回顾与思考
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
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