中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册、第一章
课标要求 1、使学生理解并掌握勾股定理，并能运用它解决一些简单的实际问题。2、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。3、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣。
内容分析 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，也是八年级数学课程中的一个核心知识点。它不仅具有悠久的历史和广泛的应用，更在培养学生的逻辑思维、空间想象能力和数学应用意识方面扮演着重要角色。以下是对其教学内容的具体分析：承上启下： 勾股定理建立在学生已经掌握的线段、角、三角形（特别是直角三角形）以及实数等知识基础上。同时，它又为后续学习四边形、圆、解直角三角形、锐角三角函数以及高中立体几何等内容奠定了基础。可以说，它是连接平面几何基础与更复杂几何图形研究的重要桥梁。核心概念： 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是几何中第一个将“形”（直角）与“数”（边长）紧密结合的定理，体现了数形结合的思想。应用广泛： 勾股定理在实际生活中有大量应用，如测量距离、建筑、航海、工程等，是培养学生数学应用意识和解决实际问题能力的重要载体。探索： 让学生用不同大小的正方形卡片（或方格纸）拼出直角三角形，并计算以三边为边长的正方形面积，发现规律 a + b = c 。证明： 介绍几种经典的证明方法，如赵爽弦图（面积割补法）、欧几里得证明（利用相似三角形或面积）等。重点引导学生理解赵爽弦图的证明思路，因为它直观且蕴含了中国古代数学的智慧。可以通过动手操作、小组合作等方式加深理解。应用：基础应用： 讲解定理的直接应用，如已知直角三角形的两边求第三边。注意区分已知的是直角边还是斜边。逆定理应用： 讲解如何根据三边关系判定一个三角形是否为直角三角形。强调必须用最大边的平方与其他两边的平方和比较。综合应用： 设计一些需要添加辅助线构造直角三角形的问题（如折叠问题、最短路径问题等），培养学生灵活运用知识的能力。实际应用： 结合生活实例，如测量高度、距离等，让学生体会数学的实用性。拓展与提升：介绍勾股数（满足a + b = c 的整数组），让学生寻找或验证勾股数。简单介绍勾股定理在更高维度（如空间直角坐标系中两点距离公式）或其他学科（如物理学）中的应用。勾股定理的教学不仅是知识的传授，更是思维能力和应用能力的培养。教师需要精心设计教学环节，既要让学生掌握扎实的知识技能，也要引导他们体验数学探究的乐趣，感受数学文化的魅力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
学情分析 一、学生已有的知识基础图形认识： 学生已经学习过三角形、四边形等基本图形，对直角三角形有初步的认识，知道其有一个直角和两个锐角。面积计算： 学生掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形的面积计算方法，特别是正方形的面积等于边长的平方，这是理解勾股定理几何证明的基础。代数基础： 学生已经学习了整式的加减乘除运算，特别是平方运算，为理解代数形式打下了基础。简单的方程： 学生具备解简单一元一次方程的能力，这有助于他们在已知两边求第三边时建立方程并求解。二、学生可能遇到的困难与挑战：概念理解困难、斜边识别、定理适用范围、定理证明的理解、几何证明、代数证明、定理的应用、选择何时使用、计算错误、逆向应用、实际应用建模、三、 学生的学习兴趣与潜在优势：好奇心、实用性、成就感、形象思维
单元目标 （一）教学目标根据新课标要求，勾股定理的教学目标通常包括以下三个维度：知识与技能：1、理解并掌握勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。会用勾股定理进行计算，求直角三角形的未知边长。2、了解勾股定理的逆定理（如果三角形三边长a, b, c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形），并会运用其判定直角三角形。3、了解勾股定理的几种常见证明方法（如面积法、割补法等），体会证明的多样性。过程与方法：1、经历探索勾股定理及逆定理的过程，通过观察、猜想、验证、归纳等活动，培养学生的探究能力和推理能力。2、体会数形结合、转化与化归、从特殊到一般等数学思想方法。3、学习利用面积关系进行几何证明的方法。情感态度与价值观：1、通过了解勾股定理的历史（如中国的“勾三股四弦五”、毕达哥拉斯的故事等），感受数学文化的魅力，激发学习兴趣。2、在探索和解决问题的过程中，体验数学学习的乐趣，培养克服困难的意志品质。3、认识到数学在解决实际问题中的作用，增强应用数学的意识。（二）教学重点、难点重点1、勾股定理的内容及其应用（已知两边求第三边）。2、勾股定理的逆定理及其应用（根据三边关系判定直角三角形）。3、理解定理的证明思路（尤其是面积法）。难点1、对勾股定理及其逆定理条件的准确理解和区分（何时用定理，何时用逆定理）。2、理解不同证明方法（尤其是面积法）的原理和步骤，特别是如何通过图形的割补、拼接来证明a + b = c 。3、将实际问题抽象转化为直角三角形模型，并灵活运用勾股定理解决。4、对于无理数（如√2, √3等）在边长计算中的出现和接受。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理111.2探索勾股定理211.3一定是直角三角形吗11.4勾股定理的运用11.5问题解决的策略11.6回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.在探究过程中，渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。环节一：复习旧知环节二：问题情景引入环节三：探索勾股定理环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升探索勾股定理21.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.1、回顾知识，思考问题，2、完成填空题。3、用4张完全一样的直角三角形拼图。4、用拼图（等面积、两算法）验证勾股定理。5、追溯历史，阅读教材第6-7页《漫画勾股世界》6、小组活动课本第6页，利用等面积两算法探究满足勾股定理的条件。7、自学例题（课本第5页）8、学生完成必做题，教师指导完成选做题和综合拓展作业。9、学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获。环节一：复习旧知环节二：探索勾股定理验证的方法环节三：探索勾股定理使用条件环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。1、回顾勾股定理的定义。2、独立完成第2题。3、思考判断一个三角形是否是直角三角形的方法。4.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边符合a2+b2=c2，这样的三角形是直角三角形。5、探究勾股数的特点。6、小结勾股定理的逆定理7、自学课本第9页例题8、学生完成课堂练习环节一：通过复习唤醒记忆，为新授奠基环节二：提出问题引入新课。环节三：探索判断一个直角三角形的条件环节四：探索勾股数环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：总结提升勾股定理的运用准确运用勾股定理及逆定理。经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 完成检测题。2、小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。3、实施方案。4、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。5、完成例题的学习，提出质疑。6、学生完成课堂练习。7、学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。环节一：完成课前测试题。环节二：提出问题引入新课。环节三：尝试与思考环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升问题解决的策略 反思1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题1、完成练习题。2、回顾圆柱体的展开图。3、学生思考已知条件和所求问题，明晰目标。4、小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。5、分别计算每种线路的长度6、小组交流讨论线路3中的n中情况，不用计算可否判断线路的长短。7、探究小结8、自学例题19、小组讨论例题2。10、学生完成课堂练习。11、学生谈收获及解决问题的方法和注意事项。环节一：知识回顾。环节二：提出问题引入新课。环节三：合作探究环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升回顾与思考1、掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图.梳理知识。利用面积关系验证勾股定理。4、学生对五种不同题型题目尝试解答。对有困难的学生教师适当点拨。解答过程注意；（1）一线三直角的两个三角形全等的证明。（2）长方体中蚂蚁爬行的线路最短问题，需要分三种情况分别计算，然后找出最短路径。5、学生独立求完成课堂练习。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：验证勾股定理环节四：中考链接环节五：课堂练习环节六：总结提升
《勾股定理》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：情景问题导入
活动三：探索勾股定理
勾股定理
任务一：探索勾股定理1
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：探索勾股定理验证方法
活动三：探索勾股定理使用条件
任务二：探索勾股定理2
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探索判断一个直角三角形的条件
任务三：一定是直角三角形吗
活动四：探索勾股数
活动五：典例精析
勾股定理
活动六：课堂练习
活动七：总结提升
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：尝试与思考
活动四：典例精析
任务四：勾股定理的运用
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：知识回顾
活动二：问题引入
活动三：合作探究
任务五：问题解决的策略
反思
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
勾股定理
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
活动三：验证勾股定理
活动四：中考链接
任务六：回顾与思考
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
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第一章 勾股定理
1.3勾股定理的运用
01
教学目标
02
知识回顾
03
知识运用
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1．准确运用勾股定理及逆定理。
01
2．经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。
02
3．培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
03
02
知识回顾
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25B．14C．7D．7或25
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
3 . ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC的面积为
D
A
120
02
知识回顾
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
A
03
问题导入
装修师傅离叔叔要检测装饰板AD和CB是否分别垂直AB
(1)如果只带了一把圈尺，能替他完成任务吗？
（2）现测得AB长40cm,AD长30cm,B、D之间的距离50cm,AD垂直AB 吗？
（3）如果离叔叔只带了一把20cm的刻度尺，那么他能检测出AD和AB是否垂直？
03
问题导入
（1）可以完成。具体方法是分别测量AD、AB及BD的长度，若满足AD + AB = BD ，则AD垂直于AB；同理测量BC、AB及AC的长度，判断是否满足勾股定理。
（2）能。计算得：30 + 40 = 900 + 1600 = 2500，而50 = 2500，满足勾股定理，因此△ABD是直角三角形，A=90°，故AD垂直于AB。
（3）能。虽然刻度尺仅20cm。例如：AB上取一点E,使AE=12cm,在AD上取一点F,使AF=16cm，在量出EF之间的距离，如果EF=20cm,则AD垂直于AB,因为12 + 16 = 20 ，故AD垂直于AB
同理检测BC和AB是否垂直。
04
尝试与思考
如图1--17，正方形ABCD的边长是8厘米，E是AD边上的中点，将这张纸翻折使点C刚好落在E点，折痕交AB于G,交CD于F,能否求出DF的长？
04
尝试与思考
解：E是AD的中点，DE=4cm.
设DF=xcm，则CF=(8-x)cm
根据翻折的性质EF=CF=8-x
根据勾股定理
即
求得x=3
所以DE=3cm
05
典例精析
题目大意：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
05
典例精析
【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺
由勾股定理得x2+52=(x+1)2，
x2+25=x2+2x+1，
24=2x，
x＝12.
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2＋62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2＋6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（ ）
A．1500mB．1200mC．1000mD．800m
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
C
4．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上的点，连接CD、CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点A′落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B′落在CA′的延长线上，若AC＝15，BC＝20，则线段B′E的长为___．
4
解答提示:根据翻折性质AC=CA′,BC=CB′,AD=DA′, B′E=BE，∠ADC=90°，∠DCE=45°△CD是等腰直角三角形，CD=DE,在△ABC中用勾股定理求出AB=25,根据一面积两算法求出CD=15×20÷25=12，在△CDA中用勾股定理求出DA=9,,BE=AB-AD-DE=4,故B′E=4
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
6．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），
∵DA=8km，CB=6km，
∴x2+82=（14-x）2+62，解得：x=6， ∴AE=6km．
答：E站应建在距A站6千米处；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）DE和EC垂直，理由如下：
过D点作CE∥AB，交AD于E，连接DC
在△EDC中，∠CED=90°
即DE⊥EC．
证明DE⊥EC，也可用三角形全等来证明，∠AED+∠ BEC=90°因而DE、EC互相垂直
05
课堂小结
1、数学思想：建模思想、方程思想
2、注意：运用勾股定理解决实际问题时，
①、没有图的要按题意画好图并标上字母；
②、有时必须设好未知数，并根据勾股定理
列出相应的方程式才能做出答案。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
一座桥长12m,一艘小船自桥北岸出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南岸9m,则小船实际行驶了 m.
2.如图,在一次冰雪灾害中,一棵树在离地面3m处被折断,树的顶端落在离树干底部4m处,那么这棵树折断之前的高度是 m.
3.一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是（ ）
A. 3cm B. πcm C. 6cm D. 8cm
15
8
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）
A、11cm B、12cm C、13cm D、14cm
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.如图所示，在长方形ABCD中，AD=6,AB=10，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为( )
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
如图,某工厂大门的上面是半圆,下面是长方形.一辆装满货物的卡车,高2.5m,宽1.6m.这辆卡车能否通过厂门 请说明理由.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解:这辆卡车能通过厂门.理由如下:
如图,M,N为卡车的宽度,过点M,N作AB的垂线交半
圆于点C,D,过点O作OECD,垂足为E,连接OC,
则CD=MN=1.6m,AB=2m,
所以CE=DE=0.8m,OC=OA=AB÷2=1m.
在RtOCE中, ,所以OE=0.6m.
所以CM=2.3+0.6=2.9m>2.5m.
所以这辆卡车能通过厂门.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
7.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
(1)学校是否会受到影响？请说明理由．
(2)如果受到影响，则影响时间是多长？
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图，
∵PA=120m，∠QPN=30°，∴AB= PA
PA=60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，∴CB=BD，
在Rt△ABC中，AC=100m，AB=60m，
CB=80m，
∴CD=2BC=160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间=160÷5=32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
Thanks!
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北师大版（2024）第一章《勾股定理》1.3勾股定理的运用教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 勾股定理运用 课时 1
课标要求 课程标准要求学生不仅要掌握勾股定理本身及其逆定理的内容，更要经历定理的发现、证明和应用过程，在这个过程中发展数学思维能力，学会运用数学知识解决实际问题，并体会数学的文化价值和应用价值。
教材分析 本节是义务教育课程标准北师大版教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第三节．具体内容：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题；能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解；在解决实际问题的过程中，进一步培养从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养学生的转化、推理能力。
学情分析 学生已有知识基础（优势与起点）：图形认知基础；面积计算经验；代数初步知识；初步的逻辑思维能力。 可能存在的困难与挑战（学习难点）：定理适用条件的把握；定理的证明理解；计算能力的差异；实际应用与建模。
核心素养目标 准确运用勾股定理及逆定理。经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
教学重点 掌握勾股定理及其逆定理，应用“数形结合”的思想来解决
教学难点 正确运用勾股定理及其逆定理。
教学准备 课件及预习单
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 课前检测：1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ D ）A．25 B．14 C．7 D．7或252．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ A ）A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，153 . ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC的面积为 120 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ A ）A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 完成检测题 通过检测题帮助学生复习勾股定理及勾股定理的逆定理，激发学生学习兴趣；
二、引新 问题导入装修师傅离叔叔要检测装饰板AD和CB是否分别垂直AB(1)如果只带了一把圈尺，能替他完成任务吗？（2）现测得AB长40cm,AD长30cm,B、D之间的距离50cm,AD垂直AB 吗？
（3）如果离叔叔只带了一把20cm的刻度尺，那么他能检测出AD和AB是否垂直？解：（1）可以完成。具体方法是分别测量AD、AB及BD的长度，若满足AD + AB = BD ，则AD垂直于AB；同理测量BC、AB及AC的长度，判断是否满足勾股定理。（2）能。计算得：30 + 40 = 900 + 1600 = 2500，而50 = 2500，满足勾股定理，因此△ABD是直角三角形，A=90°，故AD垂直于AB。（3）能。虽然刻度尺仅20cm。例如：AB上取一点E,使AE=12cm,在AD上取一点F,使AF=16cm，在量出EF之间的距离，如果EF=20cm,则AD垂直于AB,因为12 + 16 = 20 ，故AD垂直于AB同理检测BC和AB是否垂直。 小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。实施方案。 通过小组讨论，明晰勾股定理逆定理的运用，体现数形结合思想。
三、探究 1尝试与思考如图1--17，正方形ABCD的边长是8厘米，E是AD边上的中点，将这张纸翻折使点C刚好落在E点，折痕交AB于G,交CD于F,能否求出DF的长？解：E是AD的中点，DE=4cm.设DF=xcm，则CF=(8-x)cm根据翻折的性质EF=CF=8-x根据勾股定理即求得x=3所以DE=3cm典例精析题目大意：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺由勾股定理得，24=2x，x＝12.答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 1、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。2、完成例题的学习，提出质疑。 通过尝试与思考、例题的学生，体会翻折的性质和用勾股定理、方程解决问题思想。培养学生分析问题解决问题的能力。
四、尝试 基础达标：1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ A ）A．x＋6＝（10﹣x） B．x﹣6＝（10﹣x）C．x＋6＝（10﹣x） D．x﹣6＝（10﹣x）2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ A ）A．5m B．6m C．3m D．7m 第2题 第3题3．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（ A ）A．1500m B．1200mC．1000mD．800m4．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ C ）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m能力提升：5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上的点，连接CD、CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点A′落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B′落在CA′的延长线上，若AC＝15，BC＝20，则线段B′E的长为 4解答提示:根据翻折性质AC=CA′,BC=CB′,AD=DA′, B′E=BE，∠ADC=90°，∠DCE=45°△CD是等腰直角三角形，CD=DE,在△ABC中用勾股定理求出AB=25,根据一面积两算法求出CD=15×20÷25=12，在△CDA中用勾股定理求出DA=9,,BE=AB-AD-DE=4,故B′E=4拓展迁移：6．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：（1）E站应建在距A站多少千米处？（2）DE和EC垂直吗？说明理由．解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴AE+AD=DE，BE+BC=EC，∴AE+AD=BE+BC，设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），∵DA=8km，CB=6km，∴x+8=（14-x）+6，解得：x=6， ∴AE=6km．答：E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由如下：过D点作CE∥AB，交AD于E，连接DC在△EDC中，∠CED=90°即DE⊥EC．【证明DE⊥EC，也可用三角形全等来证明，∠AED+∠ BEC=90°因而DE、EC互相垂直】 学生完成课堂练习。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸回顾这节课你学到了什么？1、数学思想：建模思想、方程思想2、注意：运用勾股定理解决实际问题时， ①、没有图的要按题意画好图并标上字母； ②、有时必须设好未知数，并根据勾股定理 列出相应的方程式才能做出答案。 学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 勾股定理的运用找到（或判断）直角三角形分清直角边和斜边建立方程求出未知数 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：一座桥长12m,一艘小船自桥北岸出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南岸9m,则小船实际行驶了 15 m.2.如图,在一次冰雪灾害中,一棵树在离地面3m处被折断,树的顶端落在离树干底部4m处,那么这棵树折断之前的高度是 8 m.3.一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是( D )A. 3cm B. πcm C. 6cm D. 8cm4如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ C ）A、11cm B、12cm C、13cm D、14cm 5.如图所示，在长方形ABCD中，AD=6,AB=10，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为( C )A. B. C. D. 能力提升：如图,某工厂大门的上面是半圆,下面是长方形.一辆装满货物的卡车,高2.5m,宽1.6m.这辆卡车能否通过厂门 请说明理由.解:这辆卡车能通过厂门.理由如下:如图,M,N为卡车的宽度,过点M,N作AB的垂线交半圆于点C,D,过点O作OECD,垂足为E,连接OC,则CD=MN=1.6m,AB=2m,所以CE=DE=0.8m,OC=OA=AB=1m.在RtOCE中,=-=-=,所以OE=0.6m.所以CM=2.3+0.6=2.9m>2.5m. 所以这辆卡车能通过厂门.拓展迁移：7.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．(1)学校是否会受到影响？请说明理由．(2)如果受到影响，则影响时间是多长？解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：作AB⊥MN于B，如图，∵PA=120m，∠QPN=30°，∴AB=PA=60m，而60m＜100m，∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，∵AB⊥CD，∴CB=BD，在Rt△ABC中，AC=100m，AB=60m，CB=80m，∴CD=2BC=160m，∵消防车的速度5m/s，∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间=160÷5=32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．
教学反思
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（2）
学习目标与重难点
学习目标：
准确运用勾股定理及逆定理。
经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。
培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
学习重点：掌握勾股定理及其逆定理，应用“数形结合”的思想来解决
学习难点：正确运用勾股定理及其逆定理。
预习自测
一、知识链接
勾股定理及逆定理的具体内容是什么？
自学自测
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
3 . ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC的面积为
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
教学过程
一、创设情境、导入新课
问题导入
装修师傅离叔叔要检测装饰板AD和CB是否分别垂直AB
(1)如果只带了一把圈尺，能替他完成任务吗？
（2）现测得AB长40cm,AD长30cm,B、D之间的距离50cm,AD垂直AB 吗？
（3）如果离叔叔只带了一把20cm的刻度尺，那么他能检测出AD和AB是否垂直？
二、合作交流、新知探究
教材第13页
1尝试与思考
如图1--17，正方形ABCD的边长是8厘米，E是AD边上的中点，将这张纸翻折使点C刚好落在E点，折痕交AB于G,交CD于F,能否求出DF的长？
典例精析
：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
【强调】：构建直角三角形，找准直角边和斜边，建立方程。
课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x＋6＝（10﹣x） B．x﹣6＝（10﹣x）
C．x＋6＝（10﹣x） D．x﹣6＝（10﹣x）
2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
第2题 第3题 第4题
3．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（ ）
A．1500m B．1200mC．1000mD．800m
4．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
能力提升：
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上的点，连接CD、CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点A′落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B′落在CA′的延长线上，若AC＝15，BC＝20，则线段B′E的长为 .
拓展迁移：
6．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1、数学思想：建模思想、方程思想
2、注意：运用勾股定理解决实际问题时，
①、没有图的要按题意画好图并标上字母；
②、有时必须设好未知数，并根据勾股定理列出相应的方程式才能做出答案。
五、【作业布置】
基础达标：
一座桥长12m,一艘小船自桥北岸出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南岸9m,则小船实际行驶了 m.
2.如图,在一次冰雪灾害中,一棵树在离地面3m处被折断,树的顶端落在离树干底部4m处,那么这棵树折断之前的高度是 m.
3.一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是( )
A. 3cm B. πcm C. 6cm D. 8cm
4如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下
的最长木棒长为（ ）
A、11cm B、12cm C、13cm D、14cm
5.如图所示，在长方形ABCD中，AD=6,AB=10，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为( )
A. B. C. D.
能力提升：
如图,某工厂大门的上面是半圆,下面是长方形.一辆装满货物的卡车,高2.5m,宽1.6m.这辆卡车能否通过厂门 请说明理由.
拓展迁移：
7.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
(1)学校是否会受到影响？请说明理由．
(2)如果受到影响，则影响时间是多长？
课堂练习参考答案：
A
A
A
C
4
解答提示:根据翻折性质AC=CA′,BC=CB′,AD=DA′, B′E=BE，∠ADC=90°，∠DCE=45°△CD是等腰直角三角形，CD=DE,在△ABC中用勾股定理求出AB=25,根据一面积两算法求出CD=15×20÷25=12，在△CDA中用勾股定理求出DA=9,,BE=AB-AD-DE=4,故B′E=4
解答提示：（1）设AE=X千米，利用勾股定理根据DE=EC建立方程求解。
过D点作CE∥AB，交AD于E，连接DC，求出DC,利用勾股定理逆定理证明DE⊥EC.
也可用△AED ≌△BCE来证明∠AED+∠ BEC=90°，因而说明DE⊥EC.
课外作业参考答案：
1、15
2、8
D
C
C
6、解:这辆卡车能通过厂门.
理由如下:
如图,M,N为卡车的宽度,过点M,N作AB的垂线交半圆于点C,D,过点O作OECD,垂足为E,连接OC,
则CD=MN=1.6m,AB=2m,
所以CE=DE=0.8m,OC=OA=AB=1m.
在RtOCE中,=-=-=,所以OE=0.6m.
所以CM=2.3+0.6=2.9m>2.5m.
所以这辆卡车能通过厂门.
7、解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图，
∵PA=120m，∠QPN=30°，∴AB=PA=60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受
到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB=BD，
在Rt△ABC中，AC=100m，AB=60m，
CB=80m，
∴CD=2BC=160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间=160÷5=32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
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