1.1 集合的含义及其表示同步练习（含答案）

集合的含义及其表示
同步练习
《1.1.1集合的含义》同步练习
1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)
①著名的科学家；
②留长发的女生；
③2010年广州亚运会比赛项目；
④视力差的男生．
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)
①0∈A；②a A；③a∈A；④a＝A.
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是_______
(填序号)
①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．
4．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)
①1；②－2；③6；④2.
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．
6．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有________个元素．
7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0，1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“ ”填空
－______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1，0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A
(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
答案
1．③
解析　①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．
2．③
解析　由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．
3．④
解析　集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．
4．③
解析　因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③.
5．3
解析　由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0，3，2}，符合题意．
6．2
解析　因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
7．①④
解析　①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析　当x＝0，1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.
9．∈　∈　 　
10．解　(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．
11．解　由－3∈A，
可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
12．解　∵当a＝0时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为1，2，6；
当a＝2时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为3，4，8；
当a＝5时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为6，7，11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．
13．证明　(1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，
∴A不可能为单元素集．
《1.1.2集合的表示》同步练习
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为___________________________________．
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示________．(填序号)
①方程y＝2x－1；
②点(x，y)；
③平面直角坐标系中的所有点组成的集合；
④函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．
3．将集合表示成列举法为______________．
4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为________．
5．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有________．(填序号)
①－1∈A；②0∈A；③∈A；④2∈A.
6．方程组的解集不可表示为________．
①{(x，y)|}；②{(x，y)|}；
③{1，2}；④{(1，2)}．
7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________________________.
8．下列各组集合中，满足P＝Q的为________．(填序号)
①P＝{(1，2)}，Q＝{(2，1)}；
②P＝{1，2，3}，Q＝{3，1，2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141
59}；
②M＝{2，3}，N＝{(2，3)}；
③M＝{x|－1④M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}．
10．用适当的方法表示下列集合
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1
000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．
①{x|x＝1}；②{y|(y－1)2＝0}；③{x＝1}；④{1}．
13．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是____________________________________________________．
答案
1．{1，2，3，4}
解析　{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1，2，3，4}．
2．④
解析　集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合．
3．{(2，3)}
解析　解方程组得
所以答案为{(2，3)}．
4．{1}
解析　方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1，
故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．
5．②
6．③
解析　方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合．
7．{5，4，2，－2}
解析　∵x∈Z，∈N，
∴6－x＝1，2，4，8.
此时x＝5，4，2，－2，即A＝{5，4，2，－2}．
8．②
解析　①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
9．④
解析　只有④中M和N的元素相等，故答案为④.
10．解　①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1
000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1，2，3，4，5，6}．
11．解　因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，
满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，
所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．③
解析　由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}
＝{1}，
而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合．
13．x0∈N
解析　M＝{x|x＝，k∈Z}，
N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N.