广东省江门市2015-2016学年高二下学期期末调研数学文试题

江门市2015-2016学年普通高中高二下学期期末调研测试
数
学（文科）
本试卷共4页，24题，考生作答22题，满分150分，测试用时120分钟．
注意事项：
⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不在指定位置作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：独立性检验观测值计算公式，．
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
独立性检验临界值表
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A．
B．
C．
D．
2．复数（是虚数单位）的虚部是
A．
B．
C．
D．
3．设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是
A．身高为解释变量，体重为预报变量
B．与具有正的线性相关关系
C．回归直线过样本点的中心
D．若该大学某女生身高为170，则她的体重必为58.79
4．阅读如图所示的程序框图，若输入的，则输出的
A．15
B．16
C．31
D．32
5．平面直角坐标系中，与直线平行的一个向量是
A．
B．
C．
D．
6．一个棱长为的正方体，它的顶点都在球面上，这个球的体积是
A．
B．
C．
D．
7．给出下面三个类比推理：
①实数、，有；类比向量有
②实数、，若，则；类比复数、，若，则
③向量，有；类比复数，有
类比所得到的命题中，真命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
8．小赵，小钱，小孙，小李四位同学被问到谁去过长城时，
小赵说：我没去过；
小钱说：小李去过；
小孙说；小钱去过；
小李说：我没去过．
假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是
A．小李
B．小孙
C．小钱
D．小赵
9．已知，若的导数，则
A．
B．
C．
D．
10．经过点且斜率为的直线与抛物线只有一个公共点，则的取值范围为
A．
B．
C．
D．
11．是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A．
B．
C．
D．
12．以下数表源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”
1
2
3
4
5
…
2013
2014
2015
2016
3
5
7
9
…………
4027
4029
4031
8
12
16
………………
8056
8060
20
28
……………………
16116
…………………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．、，是虚数单位，若，则
．
14．若样本点为、、、、，则样本点的中心为
．
15．若，则
．
16．在等差数列中，若，则有（，）．类比上述性质，在等比数列中，若，则有
．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）
是复平面内的平行四边形，、、三点对应的复数分别是、、．
（Ⅰ）求点对应的复数；
（Ⅱ）求的边上的高．
18．（本小题满分12分）
为考察某药物预防疾病的效果，用小白鼠进行动物试验，得到如下的列联表：
患病
未患病
总计
服用药
21
30
51
没服用药
8
26
34
总计
29
56
85
（Ⅰ）根据上表数据，能否以90%的把握认为药物有效？
（Ⅱ）用分层抽样方法从“服用药”和“没服
( http: / / www.21cnjy.com )用药”两类小白鼠中随机抽取一个容量为5的样本，再从该样本中任取2只，求其中恰有1只小白鼠服用药物的概率．
19．（本小题满分12分）
已知，且、（）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的值．
20．（本小题满分12分）
如图，椭圆（）与轴、轴的正半轴相交于、，过椭圆上一点作轴的垂线，垂足恰为左焦点，．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）线段的垂直平分线与轴相交于，
若，求．
21．（本小题满分12分）
已知，是常数．
（Ⅰ）时，求函数在区间上的值域；
（Ⅱ）若曲线有且仅有一条平行于直线的切线，求．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答题请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆与圆交于、两点，以为切点作两圆的切线分别交圆、圆于、两点，延长、分别交圆、圆于、．已知、．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求证：．
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23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于、，且．求直线的倾斜角．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对一切实数均成立，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
ABDA
BCBC
CDAB
二、填空题
⒔；
⒕(每个坐标2分，格式1分)；
⒖；
⒗……3分；，……2分
三、解答题
17.解：（Ⅰ）复平面内、、对应点的坐标分别为，，……1分，设的坐标为，由于，……2分
……3分，解得……4分
故……5分，则点对应的复数为：……6分
（Ⅱ），则直线的方程为：……8分
到直线的距离……11分（列式2分，化简1分）
故边上的高为……12分
18.解：（Ⅰ）=
能以90%的把握认为药物有效……5分（上式每个“等号”各1分；判断1分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法在总体中抽取一个容量为5的样本，则应抽取服用药的小白鼠数为（只），设为a，b，c；应抽取没服用药的小白鼠数为（只），设为m，n……7分
从该样本中任取2只，基本事件为ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn，总数有10个……9分
设其中恰有1只小白鼠服用药物为事件A，则A包含的基本事件为am，an，bm，bn，cm，cn，共有6个……10分
……11分
答：其中恰有1只小白鼠服用药物的概率为……12分
19．证明与求解：（Ⅰ）依题意，……1分，
……3分，……4分，
……6分
（Ⅱ）取，由（Ⅰ）得……8分
所以……10分
因为，所以……12分
20．解：（Ⅰ）依题意，设（是椭圆的半焦距）……1分，
解得，（负值舍去）……2分
由得，……3分，化简得……4分
所以，……5分
（Ⅱ）由得……6分
由得……8分
由（Ⅰ）得，从而……10分
即……11分，解得，……12分
21．解：（Ⅰ）……1分
令，解得……2分
－
0
+
↘
极小值
↗
……3分
，，，所求值域为……4分
（Ⅱ）“曲线有且仅有一条平行于直线的切线”，有两种情况：其一，曲线有且仅有一条斜率为的切线，且这条切线不是直线；其二，曲线有两条斜率为的切线，且其中一条为直线。
①若仅有一个实根，则……5分，解得……6分，此时由得，斜率为的切线为，符合题意……7分
②若是曲线的一条切线，设切点为，则……8分，解得或……9分
当时，，曲线的斜率为的切线是与，符合题意……11分
当时，，曲线的斜率为的切线是与，符合题意。
综上所述，或的取值范围为……12分
22、求解与证明：（Ⅰ）根据弦切角定理，∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB……1分
∴△ABC∽△DBA……2分，则……3分，
故……4分，……5分
（Ⅱ）根据切割线定理，知CA2=CB CF，DA2=DB DE……6分
两式相除，得（
）……7分
由△ABC∽△DBA，得……9分
又，由（
）得，……10分
23、解：（Ⅰ）由得……2分
曲线的直角坐标方程为……4分
（Ⅱ）将代入圆的方程得……5分
设、两点对应的参数分别为、,则……6分
……8分
，……9分，又，……10分
24、解：（Ⅰ）由得……2分
由得……4分
由得……5分（上述三步，对任何两个每个2分）
综上所述，原不等式的解集为……6分
（Ⅱ）令
……8分
等号当且仅当，即或时成立……9分
的取值范围为……10分．