1.3.1正方形的性质
【教学目标】
知识与技能
1、理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．
2、掌握正方形的有关性质和判定方法．
3、能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题．
过程与方法
1、通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，发展学生的合情推理能力，进一步提高学生逻辑思维能力．
2、通过四边形从属关系的教学，渗透集合思想．
情感、态度与价值观
1、经历探索正方形有关性质和四边形成为正方形的条件过程，培养学生动手操作的能力、主动探究的习惯和合作交流的意识．
2、通过理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证观点
【教学重难点】
教学重点：正方形的定义和性质
教学难点：四边形成为正方形的条件
【导学过程】
【创设情景，引入新课】
我们已学习了矩形、菱形，它们都是特殊的平行四边形．
让学生根据所准备的模型分别叙述矩形、菱形的定义及其性质．
【自主探究】
平行四边形，矩形，菱形的内在联系．根据小学学过的正方形的知识，你能说出正方形的意义吗？
四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．
【课堂探究】
正方形与矩形、菱形、平行四边形间的关系如图．
正方形的性质
[交流]根据上述关系可知，正方形既是特殊
( http: / / www.21cnjy.com )的矩
形、又是特殊的菱形，更是的特殊的平行四边形，你能说出正方形的性质吗？
[点拨]从边、角、对角线等方面考虑．
边：对边平行、四条边都相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
[归纳]性质1：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
性质2：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
[问题]正方形是中心对称图形吗？如是，对称中心在哪里？
正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？
对称性：正方形是中心对称图形；同时还是轴对称图形，它有四条对称轴（两条对角线，两组对边的中垂线．），对称轴通过对称中心．如图
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
【当堂训练】
如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．
（1）一条对角线把它分成_______个全等的________
三角形；
（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；
图中一共有________个等腰直角三角形；
（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．
（4）AB:
AO:
AC=________．
1、正方形具有而菱形没有的性质是（
）
A、对角线互相平分 B、每条对角线平分一组对角 C、对角线相等 D、对边相等
3、正方形是轴对称图形，它的对称轴有（
）
A、
1条
B、
2条
C、
4条
D、
无数条
4、如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE，则∠AEB＝（
）
A、10°
B、15°
C、20°
D、12.5°
5、如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（
）
A、
45°
B、60°
C、70°
D、75°
6、正方形的对称轴有
条，它的对称中心是
.
7、正方形的边长为4cm，则周长为
，面积为
.
8、正方形的对角线与一边的夹角为
.
9、一个正方形的对角线长3cm，则它的面积为
.
10、若正方形的面积为4，则它的边长为
，对角线长为
.
11、如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝
.
12、以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可作
个.
第5题图1.3.2正方形的判定
【教学目标】
知识与技能
能进一步理解掌握正方形的判定定理．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
过程与方法
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．
情感、态度与价值观
1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性．
2．体会数学与生活的联系．
【教学重难点】
教学重点
特殊四边形——
正方形的判定定理的灵活应用．
教学难点
特殊四边形——
正方形的判定定理的灵活应用．
【导学过程】
【创设情景，引入新课】
回顾正方形有哪些性质
【自主探究】
：
自学，明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用
．
Ⅱ．解决问题：
下面大家来猜一猜，想一想
依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢 先猜一猜，再证明．
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依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．
∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．
∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．
∵∠A＝∠B＝90°，
AA1＝AD1，A1B=BB1，
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．
∴∠D1A1B1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
这个题是先证明了四边形A1B1C1D1
( http: / / www.21cnjy.com )的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．
【课堂探究】
已知:如图,点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AF=
BG=
CH=
DE。
求证：四边形EFGH是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵AF=
BG=
CH=
DE
，
∴AE＝DH＝CG＝BF
．
∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE．
∴EF＝FG＝GH=HE
，∠AEF=∠BFG．
∵∠AFE+
∠AEF
＝90°，
∴∠AFE+∠BFG
=
90°．
∴∠EFG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．
接下来我们来做一做：在下图中，ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度
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可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决．
解：∵△XAD是等边三角形，
∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°，
XA=AD=XD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝AD＝DC．
∴∠XAB=∠XDC＝150°，
XA=AB，XD＝CD．
∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°．
∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．
随堂练习1
2．
【当堂训练】
随堂练习1
2．
如图1、图2、图3，已知直线EF⊥MN，且与正方形ABCD的对边或其延长线分别交于E、F、M、N．
求证：EF＝MN，
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图3
证明：只给出图2情况下的证明，图1、图3情况下的证明同理．
过A作MN的平行线，交BC于点P，过B作EF的平行线，交CD于点Q．由平行四边形的性质，得AP＝MN，BQ＝EF．[
∵MN//AP，EF//BQ，MN⊥EF，
∴AP⊥BQ．
∴∠QBC+∠APB=90°．∠BAP+∠APB＝90°．
∴∠QDC=∠BAP．
又∵AB=BC，
∴Rt△APB≌Rt△BFC．
∴AP＝BQ，即MN＝EF．
这是正方形的一个重要的性质定理．
