2025届上海七宝中学高一下学期数学月考试卷（2025.06）（含答案）

七宝中学2024-2025学年第二学期高一年级数学月考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．1945和1949的等差中项为________．
2．已知复数满足，则的虚部为________．
3．计算：________．
4．已知，，，则________．
5．已知等比数列的前项和为，若公比，，则________．
6．已知点，点，且，则点的坐标为________．
7．在平行四边形中，点，满足，，若，，则________．（用、表示）
8．若函数在时取到最大值，则________．
9．已知点，，不重合，且，，若平面内一点满足，则的取值范围是________．
10．已知，分别为等差数列，的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为________．
11．等腰梯形中，，，，底边的中点为，动点，分别在腰，（包含端点）上，且．若其中，，则的取值范围是________．
12．已知复数，满足且，则对于任意的复数，的最小值为________.
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
15．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．无数个
16．已知向量，且，若且，下列说法中正确的
是（ ）
①对于任意的，总存在，使得成立；
②对于任意满足的，总存在，使得成立
A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确
C．①正确，②也正确 D．①不正确，②也不正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
已知是关于的方程的一个根，其中，为实数．
（1）求的值；
（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量，，．
（1）若，所成角为钝角，求的取值范围；
（2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某企业2015年的纯利润为500万元，因为设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，①若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．②如果进行技术改造，2015年初该企业需一次性投入资金400万元，扣除技术改造资金后，2015年的纯利润为100万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．
设从2015年起的第年（以2015年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后的年純利润为万元；
（1）证明：是等比数列；
（2）请问：到2025年初（不包含2025年的利润），该企业进行技术改造的累计纯利润是否超过不进行技术改造的累计纯利润？
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在数列中，若以相邻三项，，为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为且这三边所对的角分别为，，．
（1）在中，以，，为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由；
（2）在中，，，成等差数列，且是等比数列，判断的形状，并证明；
（3）若是等差数列，，公差，且存在正整数，使得的一个内角为，求公差的值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小满分6分，第3小题满分8分）
设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，，，．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）已知对任意的，，，求证：当时，数列不是等差数列；
（3）当时，数列是否可能为无穷等比数列？若可能，求出所有可能的公比组成的集合；若不可能，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．等腰梯形中，，，，底边的中点为，动点，分别在腰，（包含端点）上，且．若其中，，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】如图，过分别作的垂线，
交的垂线，交分别于四点，
由，故
又
当点从点移动到点的过程中，点从点移动到点．
故此时不断减少，不断增大，故
故．故答案为：．
二、选择题
13.C 14.D 15.C 16.D
15．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．无数个
【答案】C
【解析】
其中，所以，即，
当时，
①，所以，因为，所以或；
②，所以，
因为，所以或；
当时，
①，，即，因为，所以，
②，即,
因为，所以，，
综上：一共有11个．故选：．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略（2）会超过；不改造累计纯利润为4100万元，改造后约为4200.78万元
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在数列中，若以相邻三项，，为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为且这三边所对的角分别为，，．
（1）在中，以，，为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由；
（2）在中，，，成等差数列，且是等比数列，判断的形状，并证明；
（3）若是等差数列，，公差，且存在正整数，使得的一个内角为，求公差的值．
【答案】（1）能，理由见解析 （2）是等边三角形，证明见解析
（3）的值为或2．
【解析】（1）能．由正弦定理，可得，
所以，因为是的三边，
所以为边长的三角形与相似．
故以为线段长度，能构成一个三角形．
（2）证明：经判断，是等边三角形．
证明如下：由题意可得，又，所以，
又因为是等比数列，所以．
由余弦定理，可得
即即所以．
又因为，所以三角形是等边三角形．
（3）因为，
由余弦定理得，
即
化简得，即．
因为，故解得，
当时，；当时，；当时，，舍去．
验证：当时，三边为，符合题意．当时，三边为，符合题意．
综上，的值为或2．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小满分6分，第3小题满分8分）
设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，，，．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）已知对任意的，，，求证：当时，数列不是等差数列；
（3）当时，数列是否可能为无穷等比数列？若可能，求出所有可能的公比组成的集合；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）奇函数． （2）证明见解析 （3）不可能
【解析】（1）任取，都有
所以函数是奇函数．
（2）反证法：假设数列是等差数列，公差为，
由数列是严格增数列可知．
因为，所以，即非零常数，
因为，所以（其中是正整数）.
因为，所以．方程无解，矛盾．
假设不成立，即当时，数列不是等差数列．