| 名称 | （通用）2026高考数学重难点讲练（附解析） | | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 5.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-07 17:40:19 | ||
p D.p=r>q
5已知,则 （ ）
A． B． C． D．
6.已知实数a，b，c
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100
7．若a,b,c为实数，判断下列命题的真假
（１）若a>b, 则ac2>bc2； （２）若a
8．若实数试确定的大小关系。
9.已知,则下列不等式中:
①②③④恒成立的不等式的个数是 .
10．设由小到大的排列顺序是
11．已知,且，，比较和的大小.
12．设x>0且x≠1，比较1+logx3与2logx2的大小。
13、已知，试比较 的大小。
14.已知关于的不等式的解集为
(1)求实数的值;
(2)求的最大值.
15、已知
【参考答案与解析】
1．【答案】C
【解析】A中，若，，则，，故A 不成立；
B中，若，，满足，得到，故B不成立；
C中，因为是非零实数即，且，所以，即成立；
D中，若，，则，，所以不成立。
2.【答案】C
【解析】A：由x>y>0，得 ，即，A不正确；
B：由x>y>0及正弦函数y=sinx的单调性，可知sinx-siny>0不一定成立；
C：由，x>y>0，得，故，C正确；
D：由x>y>0，得xy>0，不一定大于1，故ln x+ln y>0不一定成立，故选C.
3、【答案】C
【解析】用淘汰法。
(A)中若m=0不成立；(B)中若c<0，不成立；(C)中a3-b3>0(a-b)(a2+ab+b2)>0。
∵a2+ab+b2>0恒成立，故a-b>0。
∴a>b，又∵ab>0，∴<
(D)中a2>b2(a+b)(a-b)>0，不能说明a>b，故本题应选(C)。
4.【答案】B
【解析】由题意可得:
,故选B.
5、【答案】D
【解析】,,,
故选答案D.
6.【答案】D
【解析】举反例排除法：
A：令a= b =10，c =-110，排除；
B：令a=10，b= -100，c=0，排除；
C：令a=100，b=-100，c=0，排除，故选D。
7、【解析】
（１）∵c2≥0，当c=0时ac2=bc2=0，故原命题为假命题。
（２）举特例-2<-1<0但->-1，故原命题为假命题。
（３）由于a
（４）∵a
（５）∵c>a>b>0，∴，∴c-b>c-a>0，∴＞＞0，
又∵a>b>0 ，∴＞，故原命题为真命题．
8．【解析】由已知，
∴
综上所述，
9.【答案】2
【解析】①取,则所以①不恒成立;
②取,则所以②不恒成立;
③考察函数在上单调递增,当时, 所以③成立;
④所以③成立
综上可得:恒成立的不等式有两个.
10．【解析】特殊值法：对a、b、m、n分别取特殊值，
比如：a=4,b=3,m=2,n=1,代入比较即得.
11．【解析】,
当时，， ， ，即.
当时， ，，即
综上
12．【解析】作差：
(1) 当， 即0
(3) 当
, 此时，其中时取等号。
(4) 当 即时，，此时
综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1＋logx3＞2logx2；
当1＜x＜时，1＋logx3＜2logx2；
当x＝时，1＋logx3＝2logx2。
13、【解析】作差：
∵
∴ 上式>0 ，即
14.【解析】(1)的解集为
解得: ,
(2)由(1)可得
(柯西不等式)
当且仅当即时取等号,所以所求最大值为4.
15、【解析】令
∴
∵∴
∴
即
不等式与不等关系
不等式的性质
基本性质的应用
实际背景
PAGE
第4页 共7页导数的概念和运算
【考纲要求】
1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2.掌握常函数y=C，幂函数y=xn（n为有理数），三角函数y=sinx，y=cosx，指数函数y=ex，y=ax，对数函数y=lnx，y=logax的导数公式；
3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题。
4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数。
【知识网络】
【考点梳理】
考点一：导数的概念：
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）
要点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
要点诠释：
函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：
（1）曲线的切线
曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即：。
(2)导数的几何意义：
函数在点x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。
要点诠释：
①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。
②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴平行。
(3)曲线的切线方程
如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：
。
考点二：常见基本函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
考点三：函数四则运算求导法则
设，均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
考点四：复合函数的求导法则
或
即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
要点诠释：
选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】
类型一：导数概念的应用
例1、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。
【解析】∵
∴
∴。
举一反三：
【变式】已知函数
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线上一点处的切线方程。
【答案】
（1）
，
（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，
∴所求切线的斜率为。
∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。
例2、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
【解析】设.
由f(1)=3，故切点为（1，3），
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
举一反三：
【变式】过点，曲线的切线方程为 。
【答案】设所求切线的切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为
则所求切线方程为，又因为切线过点，代入，
或
所以切线方程为或
类型三：利用公式及运算法则求导数
例3．求下列函数的导数：
（1）； （2）
（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4
【解析】
（1）.
（2）.
（3）∵，∴.
（4）
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
（1）；
（2）
（3）y=6x3―4x2+9x―6
【答案】
（1）.
（2）
∴.
（3）
例4．求下列各函数的导函数
（1）；（2）y=x2sinx;
（３）y=； （４）y=
【解析】
（1）法一：去掉括号后求导.
法二：利用两个函数乘积的求导法则
=2x(2x－3)+(x2+1)×2
=6x2－6x+2
（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx ( http: / / www. / wxc / )
（３）= ( http: / / www. / wxc / )
（4）
=
= ( http: / / www. / wxc / )
举一反三：
【变式1】下列函数的导数
（1）； （2）
【答案】
（1）法一：
∴
法二：
=+
（2）
∴
【变式2】求下列函数的导数.
（1）； （2）；（3）.
【答案】
（1），∴.
（2），
∴.
（3）∵，
∴
.
类型四：复合函数的求导问题
例5．求下列函数导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【解析】
（1），.
.
（2），
∴
（3），.
∴
（4），，
∴
.
举一反三：
【变式1】求下列函数的导数：
(1)； （2） ( http: / / www. / wxc / )
（3）y=ln（x＋）； （4）
【答案】
(1)令,,
（2）令
（3）=＝ ( http: / / www. / wxc / )
（4）
类型五：曲线的切线方程求解问题
例6．已知为偶函数，当 QUOTE 时， QUOTE ，则曲线在点处的切线方程是_______________．
【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
例7．如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+5，则f（3）+ f′(3)= .
【解析】，
【答案】 1
举一反三：
【变式】（2014碑林区校级一模）若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值.
【解析】设直线与曲线的切点坐标为，则解得：或，则切线的斜率或，
若，此时切线的方程为
由，消去，可得，其中，即
解得：
若，且切线方程为，
由，消去可得又由可得
解得： 故.
例8．(2015 临沂一模)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
【解析】(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
举一反三：
【变式】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.
【答案】由题意知，
∴曲线在（0，1）处的切线的斜率
∴该切线方程为
设的方程为，
则，
解得，或.
当时，的方程为；
当时，的方程为
综上可知，的方程为或.
【巩固练习】
1．在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为( )
A. B. C. D.
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．和 D．和
4．与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ）
A． B．为常数函数
C． D．为常数函数
5．函数的导函数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A．e B．-e
C. D．
7．函数的导数为( )
A. B.
C. D.
8．函数的图像在处的切线在x轴上的截距为________________。
9．已知函数为的导函数，则的值为__________.
10.．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
11．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
12．已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值。
13．求下列函数的导数：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
14一质点运动的方程为
(1)求质点在这段时间内的平均速度;
(2)求质点在时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）.
15．已知是关于x的多项式函数
（1）若，求
（2）若且，解不等式
（3）若，求解析式.
【参考答案与解析】
1．C
2．D
3．C 设切点为，，
把，代入到得；
把，代入到得，
所以和
4．B ,的常数项可以任意
5．A；
6．C
【解析】y＝ln x的定义域为(0，＋)，设切点为(x0，y0)，则k=f′(x0)＝，∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，∴k＝f′(x0)＝＝.
7．B
8．
9．3 【解析】
10．
【解析】∵，∴，
∴切线方程为y＝ (x－1)，
∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.
11．
【解析】对于函数求导得，对求导得，设直线与函数相切与点，与函数相切于，则，，则点在切线上得，，由在切线上得，，这两条直线表示同一条直线，所以，解得：，所以，所以
12．解：
。
13．解：
（1）法一：
法二：
法三：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
14. 【解析】由题意可知：(1)
，
质点在这段时间内的平均速度为：
(2)定义法：质点在时的瞬时速度为.
求导法：质点在t时刻的瞬时速度
当时，.
（2）
( http: / / www. / wxc / )
15．解：
（1），
，
∴
（2）设
由
∴，解出a=1，b=－3，c=0
∴
由，∴x3―3x2+4＞0
∴(x+1)(x－2)2＞0 ，∴x＞－1且x≠2
∴x∈(－1，2)∪(2，+∞)
（3）设是关于x的n次多项式，则是关于x的n―1次多项式.
、是关于x的2n―1次多项式，
是关于x的n次或3次多项式
当n≥3时，由已知等式可得 2n―1=n，n=1与假设矛盾.
当n＜3时，由已知等式可得 2n―1=3，n=2.
可设，
∴(2ax+b)(ax2+bx+c)=(2ax+b)+(ax2+bx+c)+2x3+2x2－1
整理得2a2x3+3abx2+(b2+2ac)x+bc=2x3+(a2+2)x2+(2a+b)x+(b+c－1)
∴，解出
∴.
导数的概念
导数的概念和运算
初等函数的求导公式
导数的运算法则
导数的运算
复合函数求导
PAGE
第10页 共10页导数的综合应用
【考纲要求】
1.了解复合函数的求导法则 ( http: / / www. / wxc / ) 会求某些简单函数的导数 ( http: / / www. / wxc / )；
2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；
3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；
4．提高应用知识解决实际问题的能力。
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、求切线方程的一般方法
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数；
③在定义域内解不等式；
④确定f(x)的单调区间。
要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。
考点三、函数的极值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。
考点四、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
要点诠释：①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。
【典型例题】
类型一：函数的切线问题
例1.求曲线的分别满足下列条件的切线：
（1）在点的切线；（2）过点的切线；
【解析】
（1）时，在点的切线的切线的斜率，
∴在点的切线为，即.
（2）当切点为点时，切线为
当切点不是点时，设切点为，
则， 解得或（舍去）
∴切点为的切线为，即，
故过点的切线为或.
举一反三：
【变式1】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。
【解析】∵， 令，得x=4,
将x=4代入中得y=5
∴切点坐标是(4,5)， ∴切线方程为：.
即：x-2y+6=0。
【变式2】设函数的图象与直线相切于点（1，－11）,求a，b的值.
【解析】
∵的图象与直线相切于点（1，－11）.
∴，即
解之得a=1，b=－3.
类型二：函数单调性问题
例2．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求的单调区间.
【解析】 （I）
∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，
∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为
即对恒成立
∴在上单调递增，无减区间.
举一反三：
【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【解析】
（1）当时，则恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：；
减区间为：，.
【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x), 试问：是否存在实数，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【解析】假设存在实数满足题设.
F(x)=g(x)-f(x)=(x4+2x2+2)-(x2+1)=x4-(-2)x2+(2-),
F(x)=4x3-2(-2)x,
令4x3-2(-2)x=0,
（1）若≤2，则x=0.
当x∈(-∞,0)时，F(x)<0；当x∈(0,+∞)时，F(x)>0.
∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.
（2）若>2，则x=0或，
当时，F(x)<0；当时，F(x)>0；
当时，F(x)<0；当时，F(x)>0.
∴F(x)的单调增区间是，，
单调减区间是，.
要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，
则，即=4.
故存在实数=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
类型三：函数的极值问题
例3. 设函数
（1）若f(x)在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（2）若f(x)在[3,+∞）上为减函数，求a的取值范围。
【解析】(1)对f(x)求导得
因为f(x)在x=0处取得极值，所以f＇(0)=0，即a=0.
当a=0时，，故，从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为，化简得3x－ey=0
（2）由（1）得，，
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a
由g(x)=0，解得.
当x＜x1时，g(x)＜0，故f(x)为减函数；
当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，故f(x)为增函数；
当x＞x2时，g(x)＜0，故f(x)为减函数；
由f(x)在[3，+∞）上为减函数，知，解得
故a的取值范围为.
【总结升华】利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.
举一反三：
【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.
【解析】
依题意得方程组
解得.
当a=-3,b=3时，
令得x=1.
x (-∞,1) 1 (1,+∞)
+ 0 +
↗ 无极值 ↗
显然a=-3, b=3不合题意，舍去.
当a=4, b=-11时，f (x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)
令得或 x=1.
x 1 （1，+∞）
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
f(x)在x=1处有极小值10，合题意，
∴a=4, b=-11.
【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.
（1）求常数的值；
（2）求的极值.
【解析】，令得方程
∵在处取得极值
∴或为上述方程的根，
∴，即
∴
①当时，（不符合题意）
②当时，当x变化时，与的变化情况如下表：
1 (1，+∞)
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴在处取得极大值，在处取得极小值.
由题意得， 整理得，又
联立，解得，
∴
由表知道：，
③当时，当x变化时，与的变化情况如下表：
当x变化时，与的变化情况如下表：
1 (1，+∞)
- 0 + 0 -
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
由题意得， 整理得，又
联立，解得，
∴
，
综上可得：
（１），或，
（２）当，时，，
当，时，，
类型四：函数的最值问题
例4.已知函数
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。
【解析】（1），
由题意：
（2）令
令
令
令
+ 0 - 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以函数的单调增区间是，
单调减区间是
结合函数单调性的草图知：
当即时，
在上单调增，
当即时，
在上单调增，在上单调减，
当即时，
由题意得，则
综上，当时，
当时，.
举一反三：
【变式1】求函数在[0，2]上的最大值和最小值.
【解析】，
令，化简为x2+x－2=0.
解得x=－2（舍去）或x=1.
，又因为，，
，
所以为函数在[0，2]上的最小值，
为函数在[0，2]上的最大值.
【变式2】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（a为实数）．
（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在两不等实根x1，x2∈[，e]，使方程g（x）=2exf（x）成立，求实数a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）ex，g（1）=e．
g′（x）=（﹣x2+3x+2）ex，故切线的斜率为g′（1）=4e
∴切线方程为：y﹣e=4e（x﹣1），即y=4ex﹣3e；
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，
x
f'（x） ﹣ 0 +
f（x） 单调递减 极小值（最小值） 单调递增
①当时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，
∴f（x）min=f（t）=tlnt；
②当时，在区间上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，
∴；
（Ⅲ） 由g（x）=2exf（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，
，
令，．
x 1 （1，e）
h′（x） ﹣ 0 +
h（x） 单调递减 极小值（最小值） 单调递增
h（1）=4，h（e）=．
．
∴使方程g（x）=2exf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为．
【巩固练习】
1.已知二函数，，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切线斜率为（ ）
A. 0 B. 12 C.0或12 D.4或1
2．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
3．已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个
B．个
C．个
D．个
7．若函数在处有极大值，则常数的值为_________；
8已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为 .
9．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是____________。
10．设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 。
11．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是
12.设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函数的极值.
13.设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间及极值；
（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．
14．设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
15．已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.
16.已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.
【参考答案与解析】
1.【答案】C
【解析】设公共点为，则在函数中，
则在点出的切线方程为即
化简得：
在函数中，则则在点出的切线方程为
即：化简得：
又两个函数在公共点出的切线重合
或
切线斜率为0或12.
2．A
【解析】对称轴，直线过第一、三、四象限
3．B
【解析】在恒成立，
4．C
【解析】当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有
得
5．A
【解析】与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为，而，所以在处导数为，此点的切线为
6．A
【解析】极小值点应有先减后增的特点，即
7．
【解析】，时取极小值
8.【答案】
【解析】由函数图像可知的解集为: ，
的解集为：.
由得：
①或②
解①得：或，解②得：
所以不等式的解集为：
9．
【解析】当时，，则.又因为为偶函数，所以
，所以，则切线斜率为，所以切线方程
为，即.
故答案为.
10．
【解析】时，
11．
【解析】 ，
令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和
12. 【解析】(1)因,故
由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即,
从而,解得
(2)由(1)知,
令,解得(因不在定义域内,舍去),
当时,,故在上为减函数;
当时,,故在上为增函数;
故在处取得极小值.
13.【解析】（1）∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 单调递减? 2（1﹣ln2+a） 单调递增?
故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．
（2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，
于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2﹣1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，
故ex＞x2﹣2ax+1．
14．【解析】（I）由题意，
①当时，，，在上单调递减.
②当时，，由，得
当时，；
当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
（II）原不等式等价于在上恒成立.
一方面，令，
只需在上恒大于0即可.
又∵，故在处必大于等于0.
令，，可得.
另一方面，
当时，
∵故，又，故在时恒大于0.
∴当时，在单调递增.
∴，故也在单调递增.
∴，即在上恒大于0.
综上，.
15．【解析】设
∵在上是减函数，在上是增函数
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验，时，满足题设的两个条件.
16. 【解析】(1)
令得:
得:
在上单调递增
得:的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)
得
①当时,
在上单调递增
时,与矛盾
②当时,
得:当时,
令;则
当时,
当时,的最大值为.
导数的应用
极值与最值问题
函数的单调性问题
切线斜率、方程
PAGE
第4页 共11页导数的综合应用
【考纲要求】
1.了解复合函数的求导法则 ( http: / / www. / wxc / ) 会求某些简单函数的导数 ( http: / / www. / wxc / )；
2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；
3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；
4．提高应用知识解决实际问题的能力。
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、求切线方程的一般方法
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数；
③在定义域内解不等式；
④确定f(x)的单调区间。
要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。
考点三、函数的极值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。
考点四、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
要点诠释：①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。
【典型例题】
类型一：函数的切线问题
例1.求曲线的分别满足下列条件的切线：
（1）在点的切线；（2）过点的切线；
【解析】
（1）时，在点的切线的切线的斜率，
∴在点的切线为，即.
（2）当切点为点时，切线为
当切点不是点时，设切点为，
则， 解得或（舍去）
∴切点为的切线为，即，
故过点的切线为或.
举一反三：
【变式1】设函数的图象与直线相切于点（1，－11）,求a，b的值.
【解析】
∵的图象与直线相切于点（1，－11）.
∴，即
解之得a=1，b=－3.
类型二：函数单调性问题
例2． 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求的单调区间.
【解析】 （I）
∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，
∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为
即对恒成立
∴在上单调递增，无减区间.
举一反三：
【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【解析】
（1）当时，则恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：；
减区间为：，.
【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x), 试问：是否存在实数，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【解析】假设存在实数满足题设.
F(x)=g(x)-f(x)=(x4+2x2+2)-(x2+1)=x4-(-2)x2+(2-),
F(x)=4x3-2(-2)x,
令4x3-2(-2)x=0,
（1）若≤2，则x=0.
当x∈(-∞,0)时，F(x)<0；当x∈(0,+∞)时，F(x)>0.
∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.
（2）若>2，则x=0或，
当时，F(x)<0；当时，F(x)>0；
当时，F(x)<0；当时，F(x)>0.
∴F(x)的单调增区间是，，
单调减区间是，.
要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，
则，即=4.
故存在实数=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
类型三：函数的极值问题
例3. 已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值.
【解析】
依题意，，
即
∴，
令，得x=-1或x=1，
当x变化时，与的变化情况如下表：
1 (1，+∞)
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴在处取得极大值，在处取得极小值.
【总结升华】利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.
举一反三：
【变式1】已知函数，其中a∈R.
（1）当a=1时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数的单调区间与极值.
【解析】（1）当a=1时，，，
又，.
所以，曲线在点处的切线方程为，
即6x+25y－32=0.
（2）.
由于a≠0，令，得到x1=a，，
以下分两种情况讨论.
①当a＜0时，当x变化时，，的变化情况如下表：
x （－∞，a） a
＋ 0 － 0 ＋
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以在区间（－∞，a），内为增函数，在区间内为减函数.
函数在处取得极小值且.
函数在x=a处取得极大值，且.
②当a>0时，当x变化时，，的变化情况如下表：
x ）
－ 0 ＋ 0 －
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数.
函数在处取得极小值且.
函数在x=a处取得极大值，且.
类型四：函数的最值问题
例4.已知函数
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。
【解析】（1），
由题意：
（2）令
令
令
令
+ 0 - 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以函数的单调增区间是，
单调减区间是
结合函数单调性的草图知：
当即时，
在上单调增，
当即时，
在上单调增，在上单调减，
当即时，
由题意得，则
综上，当时，
当时，.
举一反三：
【变式1】设函数求的最小值;
【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）
令
当时，, ∴在区间是减函数；
当时，, ∴在区间是增函数.
∴在时取得最小值且最小值为
【变式2】求函数在[0，2]上的最大值和最小值.
【解析】，
令，化简为x2+x－2=0.
解得x=－2（舍去）或x=1.
，又因为，，
，
所以为函数在[0，2]上的最小值，
为函数在[0，2]上的最大值.
例5）. 已知函数 其中 ．
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)如果对于任意 ，，且 ，都有 ，求 的取值范围．
【解析】 (1) 由题意，得： 时，，
所以 ．
又因为 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ．
(2) 先考察函数 ， 的图象，
配方得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ．
因为对于任意 ，，且 ，都有 成立，
所以 ．
以下考察函数 ， 的图象：
令 ，解得 ．
随着 的变化， 和 的变化情况如下：
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ．
因为对于任意 ，，且 ，都有 成立，
所以 ．
因为 （即 ），
所以 的取值范围为 ．
举一反三：
【变式】【2014 海淀一模】已知曲线 ．
(1)若曲线 在点 处的切线为 ，求实数 和 的值；
(2)对任意实数 ，曲线 总在直线 的上方，求实数 的取值范围．
【解析】 (1) ，因为曲线 在点 处的切线为 ，所以
解得
(2)对于任意实数 ，曲线 总在直线 的上方，等价于 ，都有 ，即 ， 恒成立．令 ，
① 若 ，则
所以实数 的取值范围是 ；
② 若 ，，由 得 ，， 随 变化而变化的情况如下：
所以 的最小值为 ，所以实数 的取值范围是 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
例6．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
【解一】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]．
【解二】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立
即为g(x)≥g(0)成立
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．
举一反三：
【变式1】已知函数f(x)=x3-ax2-3x
（1）若f(x)在x∈[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值.
【解析】（1）f′(x)=3x2-2ax-3.
∵f(x)在x∈[1，+∞)上是增函数，
∴x∈[1，+∞)时，f′(x)=3x2-2ax-3≥0恒成立，
即对x∈[1，+∞)恒成立，
当x≥1时，.
∴为所求。
（2）f′(3)=0，即27-6a-3=0，∴a=4.
∴f(x)=x3-4x2-3x，f′(x)=3x2-8x-3.
令f′(x)＝0得（舍去）或x=3.
∵f(3)=-18，f(1)=-6，f(4)=-12
∴f(x)在x∈[1，a]上的最小值是f(3)=-18，最大值是f(1)=-6。
【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
函数f（x）的单调区间如下表：
x （－，－） － （－，1） 1 （1，＋）
f（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 极大值 极小值
所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，
当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，
解得c－1或c2。
【巩固练习】
1.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A. 3 B. 2 C.1 D.
2．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
3．已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
5．设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是（ ）
6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个
B．个
C．个
D．个
7．若函数在处有极大值，则常数的值为_________；
８.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数.当时，，且，则不等式的解集是 .
9．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是____________。
10．设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 。
11．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是
12.设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函数的极值.
13.已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．
14．设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
15．已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.
16.已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.
【参考答案与解析】
1.【答案】A
【解析】设切点的横坐标为
曲线的一条切线斜率为
解得或(舍去)，即切点的横坐标为3.故选Ａ．
2．A
【解析】对称轴，直线过第一、三、四象限
3．B
【解析】在恒成立，
4．C
【解析】当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有
得
5．A
【解析】由题设知：不妨设，点的坐标分别为：
，其中，
由于，分别是点，处的切线，而，
得：的斜率为，的斜率为；
又与垂直，且，可得：
，
写出与的方程分别为： ①
②
此时点的坐标为，的坐标为，
由此可得：
①、②两式联立可解得交点的横坐标为
的面积为：
，
当且仅当即时等号成立，而，所以.
故选A.
6．A
【解析】极小值点应有先减后增的特点，即
7．
【解析】，时取极小值
8.【答案】
【解析】令，依题意在上位奇函数.
①当时，，在上单调递增
即
②当时，由为奇函数可知在上单调递增.且
的解集为
不等式的解集为
9．
【解析】当时，，则.又因为为偶函数，所以
，所以，则切线斜率为，所以切线方程
为，即.
故答案为.
10．
【解析】时，
11．
【解析】 ，
令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和
12. 【解析】(1)因,故
由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即,
从而,解得
(2)由(1)知,
令,解得(因不在定义域内,舍去),
当时,,故在上为减函数;
当时,,故在上为增函数;
故在处取得极小值.
13.【解析】由题得：．
（Ⅰ）由已知，得且，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2．
（Ⅱ）当0＜a≤2时，∵，∴，
∴当时，．又，
∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函数．
（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为，
于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式恒成立．
记，（1＜a＜2）
则，
当m=0时，，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，
由于a2﹣1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴．
若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故，
这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，
∴，即，
所以，实数m的取值范围为．
14．【解析】（I）由题意，
①当时，，，在上单调递减.
②当时，，由，得
当时，；
当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
（II）原不等式等价于在上恒成立.
一方面，令，
只需在上恒大于0即可.
又∵，故在处必大于等于0.
令，，可得.
另一方面，
当时，
∵故，又，故在时恒大于0.
∴当时，在单调递增.
∴，故也在单调递增.
∴，即在上恒大于0.
综上，.
15．【解析】设
∵在上是减函数，在上是增函数
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验，时，满足题设的两个条件.
16. 【解析】(1)
令得:
得:
在上单调递增
得:的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)
得
①当时,
在上单调递增
时,与矛盾
②当时,
得:当时,
令;则
当时,
当时,的最大值为.
导数的应用
极值与最值问题
函数的单调性问题
切线斜率、方程
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第3页 共12页高考冲刺：导数与函数的综合
【高考展望】
1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；
2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则 ( http: / / www. / wxc / )要熟记并应用，
5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；
6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；
7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；
8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;
9．分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。
【知识升华】
考点一、求切线方程的一般方法，可分两步：
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：
求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：
①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数；
(3) 在定义域内解不等式；
(4) 确定f(x)的单调区间。
考点三、求函数的极值与最值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
考点四、求函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
考点四、定积分计算、微积分基本定理
1.定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
2.微积分基本定理：.
【典型例题】
类型一：导数的几何意义
例1．已知曲线C：y=x2，点M(1,1)在C上
(1)求M点处切线的斜率及切线方程；
(2)求过点P(2,2)与曲线y=x2相切的直线方程。
【思路点拨】点M在C上，而点P不在曲线C上。
【解析】(1)由y=x2y'x=2xy'|x=1=2k=2
又点M为切点，M在曲线上，
则过点贩C的切线方程为：y-1=2(x-1) 即2x-y-1=0
(2)设切点为，则切线斜率为
又，则，
所求切线方程为：
【总结升华】
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线在点的切线，即在曲线上，且曲线在该点的切线的斜率就是函数在P点的导数。因此切线方程为（点斜式）：.
（2）关于曲线过某一点的切线
求曲线过点的切线，可以分两种情况：
①切点为时，方法同（1）
②切点不为时，可以设切点为，然后列出方程及，解得切点为后方法同（1）；
举一反三：
【变式1】曲线在点处的切线方程是_________。
【答案】3x-4y+4=0.
【变式2】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。
【解析】∵， 令，得x=4,
将x=4代入中得y=5
∴切点坐标是(4,5)， ∴切线方程为：.
即：x-2y+6=0。
类型二：函数的单调区间
例2．是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，∞）上递增，若存在，求出这样的k值；
【解析】
由题意，当时，当时，
∴由函数的连续性可知，即
整理得，，解得或
验证：
（Ⅰ）当时，
∴若，则；若， 则， 符合题意；
（Ⅱ）当时，
，
显然不合题意。
综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，∞）上递增。
举一反三：
【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
【解析】
①若恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为(-∞，+∞)，不合题意；
②若
综上，a<0时有三个单调区间，
增区间为：
减区间为：。
【变式2】当x>0时，证明不等式：
【证明】设
上单调减函数
成立
类型三：函数的极值
例3．求函数的极值。
【解析】，令,得
列表：
x
y＇ - 0 +
y ↘ 极小值 ↗
∴y极小.
举一反三：
【变式】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。
【解析】
令，解得x1=-1，x2=3
由于x<-1时，；
-1
∴f(x)极大值=f(-1)=10；f(x)极小值=f(3)=-22
例4（2015 山东高考）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．
【解析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．
=．
令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．
（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．
①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．
∵x1+x2=，
∴，．
由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．
∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此函数f（x）有两个极值点．
（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．
∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
因此函数f（x）有一个极值点．
综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；
当0≤a时，函数f（x）无极值点；
当a时，函数f（x）有两个极值点．
（II）由（I）可知：
（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
又f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，
∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．
又f（0）=0，
∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；
（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，
可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，
当x＞时，
ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．
综上所述，a的取值范围为[0，1]．
举一反三：
【变式1】（2015 重庆高考）设函数f（x）=（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．
【解析】（I）f′（x）==，
∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．
当a=0时，f（x）=，f′（x）=，
∴f（1）=，f′（1）=，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，
由g（x）=0，解得x1=，x2=．
当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．
由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．
因此a的取值范围为：．
解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，
可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=，u′（x）=＜0，
∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，
∴a≥u（3）=﹣．
因此a的取值范围为：．
【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.
（1）求常数的值；
（2）求的极值。
【解析】（1），令得方程
∵在处取得极值
∴或为方程的根，
故有
∴，即 ①
∴
又∵仅当时取得极值，
∴方程的根只有或，
∴方程无实根，
∴ 即
而当时，恒成立，
∴的正负情况只取决于的取值情况
当x变化时，与的变化情况如下表：
1 (1，+∞)
+ 0 — 0 +
极大值 极小值
∴在处取得极大值，在处取得极小值。
由题意得,整理得 ②
于是将①，②联立，解得
（2）由（1）知，
类型四：函数的最值
例5．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对，，都有，求的取值范围。
【解析】(1) 的定义域为
显然，由得
当时，，
在，上单调增，在上单调减
当时，，
在，上单调减，在上单调增.
(2)由（1）知，
当时，在上单调减，上单调增，
且时，所以没有最大值.
当时，在上单调增，上单调减，
解得
综上，的取值范围
举一反三：
【变式1】设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。
【解析】， 令得
解得
当在上变化时，与的变化情况如下表：
-1 (-1,0) 0 1
+ 0 — 0 +
极大值 极小值
∴当时，取得极大值；当时，取得极小值。
由上述表格中展示的的单调性知
∴最大值在与之中，的最小值在和之中，
考察差式，
即，故的最大值为
由此得
考察差式
，，即，
∴的最小值为
由此得，解得
于是综合以上所述得到所求。
例6．已知的最大值为3，最小值为-29，求的值；
【解析】这里，不然与题设矛盾
令，解得或x=4（舍去）
（Ⅰ）若，则当时，，在内递增；
当时，，在内递减
又连续，故当时，取得最大值
∴由已知得
而
∴此时的最小值为
∴由得
（Ⅱ）若，则运用类似的方法可得
当时有最小值，故有；
又
∴当时，有最大值，
∴由已知得
于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求或
举一反三：
【变式1】设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12
(Ⅰ)求a,b,c的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。
【解析】(Ⅰ)∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，∴c=0
∵的最小值为-12，∴b=-12
又直线x-6y-7=0的斜率为
因此，∴a=2,
∴a=2,b=-12,c=0
(Ⅱ)f(x)=2x3-12x，，
列表如下：
x
+ 0 - 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以函数f(x)的单调增区间是
∵f(-1)=10， ， f(3)=18
∴f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是
类型五：定积分计算、微积分基本定理
例7.求下列定积分
（1）；
（2） ，求函数在区间上的积分；
【思路点拨】利用定积分的性质求解
【解析】（1）∵是奇函数，∴，
∵是偶函数。∴
∴
（2）
.
【总结升华】
当被积式为分段函数时，应分段积分；利用函数的奇偶性等。
举一反三：
【变式1】求定积分：
【解析】
【变式2】求定积分：
【解析】∵是偶函数，
∴
.
例8．求直线与抛物线所围成的图形面积.
【思路点拨】先画出符合题意的图形，由图形可以看出所求的面积一个梯形与曲边梯形之差，进而可以用定积分求解。为了确定定积分的上下限，要求出两条曲线的交点的横坐标。
【解析】如图，由得，交点，，
所求面积：
.
【总结升华】
求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：
（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；
（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；
（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；
（5）计算各个定积分，求出所求的面积.
举一反三：
【变式1】求抛物线与直线所围成的图形的面积.
【解析】解方程组得或
即交点.
＝
＝
＝.
需要指出的是，积分变量不一定是，有时根据平面图形的特点，也可选作为积分变量，以简化计算.但要注意积分上限、下限的确定.
若选为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
＝.
【变式2】求由曲线围成的平面图形的面积.
【解析】由 得； 由 得.
所求面积：
【巩固练习】
1．曲线在点(-1,-1)处的切线方程是（ ）。
A、x+y=2 B、 C、x-y+2=0 D、x+y+2=0
2．函数f(x)=lnx-ax(a>0)，则它的单调递增区间是（ ）。
A、 B、 C、（0，+） D、（0，a）
3.若函数f（x）=（x2﹣cx+5）ex在区间[，4]上单调递增，则实数c的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，8] D．[﹣2，4]
4．函数f(x)=x3-3ax-a在（0，1）内有最小值，则a的取值范围是（ ）。
A、0
5．若函数f(x)=x3+x2+mx+1在R上是单调函数，则实数m的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
6. 设a，b都是正数，且满足+=cosxdx，则使a+b＞c恒成立的实数c的取值范围是 ．
7．求函数，的单调区间和极值、最值.
8.设在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调递增区间 .
9．设函数f(x)=ln(2x+3)+x2；
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)求f(x)在区间的最小值。
10.过点（1，-5）与曲线相切的直线方程为 ；
11.已知函数在R上是减函数，则实数a的取值范围 ；
12． 已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x(a≠0)，求f(x)的极大值与极小值。
13. 已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．
14．已知函数,其中a , b , c是以d为公差的等差数列且a＞0,d＞0.设上，处取得最大值，在，将点依次记为A， B， C
(I)求的值；
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值。
15. 设函数．
（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
【参考答案与解析】
1．D； 2．A； 3.【答案】B
【解析】若函数f（x）=（x2﹣cx+5）ex在区间[，4]上单调递增，
则f′（x）=[x2+（2﹣c）x+（5﹣c）]ex≥0在区间[，4]上恒成立，
即x2+（2﹣c）x+（5﹣c）≥0在区间[，4]上恒成立，
即c≤在区间[，4]上恒成立，
令g（x）=，则g′（x）=，
令g′（x）=0，则x=1，或﹣3，
当x∈[，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈（1，4]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
故当x=1时，g（x）取最小值4，
故c∈（﹣∞，4]，故选B.
4．A； 5．A；
6.【答案】（﹣∞，9）．
【解析】：∵cosxdx=sinx|=1，
∴+=1，
∵a，b均为正数，
∴a+b=（a+b）（+）=5++≥5+2=9．当且仅当a=3，b=6时取等号．
∴a+b＞c恒成立的实数c的取值范围是c＜9．
7．【解析】，由，得或，
由，得或
列表：
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
所以由表知：函数f（x）的递增区间是与，递减区间是；
又，，，
∴，
，.
8. 【解析】由题意知：，
有，解得
∴，
由得或
由得或
故f（x）的单调递增区间为：，。
9．【答案】
（I）在区间单调递增，在区间单调递减，
(Ⅱ) 最小值为ln2+0.25；最大值为
10. 或； 11.
12．【答案】
若a>0，则当x=-a时，f(x)的极大值为5a3。
当a=3a时，f(x)的极小值为-27a3.
若a<0，则当x=3a时，f(x)的极大值为-27a3，
当x=-a时，f(x)的极小值为5a3
13.【解析】（I）因为，
当a=1，，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） ﹣ 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（II）因为，且a≠0，
令f'（x）=0，得到，
若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．
（1）当，
即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，得，即
（2）当，即a＞0时，
①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）
②若，即1＞时，则有
x
f'（x） ﹣ 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，
得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；
当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，
可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．
综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．
14．【解析】
(I)
令,得
当时, ；当时,
所以f(x)在x=-1处取得极小值即；
(II) ，
的图像的开口向上,对称轴方程为
由知
在上的最大值为，即，
又由
当时, 取得最小值为
，
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得.
解法二:
又c>0知在上的最大值为，即
又由
当时, 取得最小值为
，
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得.
15. 【解析】（Ⅰ）．
故当时，，时，．
所以在单调递增，在单调递减．
由此知在的极大值为，没有极小值．
（Ⅱ）（ⅰ）当时，
由于，
故关于的不等式的解集为．
（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，
且有．
又时，，
且．
取整数满足，，且，
则，
即当时，关于的不等式的解集不是．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，
且的取值范围为.
PAGE高考冲刺：导数与函数的综合
【高考展望】
1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；
2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则 ( http: / / www. / wxc / )要熟记并应用，
5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；
6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；
7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；
8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;
9．分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。
【知识升华】
考点一、求切线方程的一般方法，可分两步：
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：
求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：
①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数；
(3) 在定义域内解不等式；
(4) 确定f(x)的单调区间。
考点三、求函数的极值与最值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
考点四、求函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
考点四、定积分计算、微积分基本定理
1.定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
2.微积分基本定理：.
【典型例题】
类型一：导数的几何意义和物理意义
举一反三：
例1．在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。
【思路点拨】注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。
【解析】（1）
∴当时，取得最小值-13
又当时，
∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；
（2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为
且有 ①
∴将代入的解析式得
，
∴点坐标为方程的解
∴
举一反三：
【变式1】已知曲线，其中，且均为可导函数，
求证：两曲线在公共点处相切。
【证明】注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，
设上述两曲线的公共点为，则有
，，∴ ，
∴，∴，
∴
于是，对于有； ①
对于，有 ②
∴由①得，
由②得
∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，
∴两曲线在公共点处的切线重合，∴两曲线在公共点处相切。
【变式2】求曲线的分别满足下列条件的切线：
（1）在点的切线；（2）过点的切线；
【解析】
（1）时，在点的切线的切线的斜率，
∴在点的切线为，即.
（2）当切点为点时，切线为
当切点不是点时，设切点为，
则，
解得或（舍去）
∴切点为的切线为，即，
故过点的切线为或.
【变式3】运动曲线的方程为：，求t=3时的速度，加速度。
【解析】运动曲线的速度为：
t=3时的速度：
运动曲线的加速度为：
t=3时的加速度：
类型二：函数的单调区间
例2．是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，∞）上递增，若存在，求出这样的k值；
【解析】
由题意，当时，当时，
∴由函数的连续性可知，即
整理得，，解得或
验证：
（Ⅰ）当时，
∴若，则；若， 则， 符合题意；
（Ⅱ）当时，
，
显然不合题意。
综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，∞）上递增。
举一反三：
【变式1】当x>0时，证明不等式：
【证明】设
上单调减函数
成立
例3（2015 淮安模拟）已知函数f（x）=x3﹣x2+mx+2，若对任意x1，x2∈R，均满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数m的取值范围是 ．
【答案】[，+∞）
【解析】对任意x1，x2∈R，均满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，
即函数f（x）在R上为增函数，
即有f′（x）≥0在R上恒成立．
由f（x）=x3﹣x2+mx+2的导数为f′（x）=3x2﹣2x+m，
由3x2﹣2x+m≥0恒成立，
可得判别式△=4﹣12m≤0，
解得m≥，则所求m的范围是[，+∞）．
举一反三：
【变式1】已知a＞0，函数f（x）=lnx+在[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是 ．
【答案】[1，+∞）
【解析】f′（x）=﹣=，若函数f（x）=lnx+在[1，+∞）上是增函数，（a＞0），
则ax﹣1≥0在[1，+∞）恒成立，即：a≥=1，
类型三：函数的极值
例4．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。
(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程。
【解析】(1)
依题意，，
即
∴，
令，得x=-1，x=1，
若x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，则，
故f(x)在(-∞，-1)上是增函数，f(x)在(1，+∞)上是增函数
若x∈(-1,1)，则，故f(x)在(-1,1)上是减函数
所以，f(-1)=2是极大值；f(1)=-2是极小值；
(2)曲线方程为y=x3-3x，点A(0,16)不在曲线上
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足
，
故切线的方程为
注意到点A(0,16)在切线上，有，
,解得x0=-2
所以切点M(-2，-2)，切线方程为9x-y+16=0
举一反三：
【变式1】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.
（1）求常数的值；
（2）求的极值。
【解析】（1），令得方程
∵在处取得极值
∴或为方程的根，
故有
∴，即 ①
∴
又∵仅当时取得极值，
∴方程的根只有或，
∴方程无实根，
∴ 即
而当时，恒成立，
∴的正负情况只取决于的取值情况
当x变化时，与的变化情况如下表：
1 (1，+∞)
+ 0 — 0 +
极大值 极小值
∴在处取得极大值，在处取得极小值。
由题意得,整理得 ②
于是将①，②联立，解得
（2）由（1）知，
例5．已知函数在与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x[－1，2]，不等式恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1），
由，得
，b＝－2
∴，
函数f（x）的单调区间如下表：
x － 1
＋ 0 － 0 ＋
f（x） 极大值 极小值
所以函数f（x）的递增区间是与；
递减区间是
（2），x[－1，2]，
当时，为极大值，
而，则为最大值
要使（x[－1，2]）恒成立，
只需,解得.
举一反三：
【变式1】设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）,
由，得 ，即得，
令，得或，
由于x＝3是极值点，所以，
当，即时，
在区间上，， 为减函数；
在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数。
当，即时，
在区间上，， 为减函数；
在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
所以f (x)在区间[0，4]上的值域是
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是，
由于，
所以只需且，解得<.
故a的取值范围是（0，）。
类型四：函数的最值
例6．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对，，都有，求的取值范围。
【解析】(1) 的定义域为
显然，由得
当时，，
在，上单调增，在上单调减
当时，，
在，上单调减，在上单调增.
(2)由（1）知，
当时，在上单调减，上单调增，
且时，所以没有最大值.
当时，在上单调增，上单调减，
解得
综上，的取值范围
举一反三：
【变式1】设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。
【解析】， 令得
解得
当在上变化时，与的变化情况如下表：
-1 (-1,0) 0 1
+ 0 — 0 +
极大值 极小值
∴当时，取得极大值；当时，取得极小值。
由上述表格中展示的的单调性知
∴最大值在与之中，的最小值在和之中，
考察差式，
即，故的最大值为
由此得
考察差式
，，即，
∴的最小值为
由此得，解得
于是综合以上所述得到所求。
例7．已知的最大值为3，最小值为-29，求的值；
【解析】这里，不然与题设矛盾
令，解得或x=4（舍去）
（Ⅰ）若，则当时，，在内递增；
当时，，在内递减
又连续，故当时，取得最大值
∴由已知得
而
∴此时的最小值为
∴由得
（Ⅱ）若，则运用类似的方法可得
当时有最小值，故有；
又
∴当时，有最大值，
∴由已知得
于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求或
举一反三：
【变式1】设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12
(Ⅰ)求a,b,c的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。
【解析】(Ⅰ)∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，∴c=0
∵的最小值为-12，∴b=-12
又直线x-6y-7=0的斜率为
因此，∴a=2,
∴a=2,b=-12,c=0
(Ⅱ)f(x)=2x3-12x，，
列表如下：
x
+ 0 - 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以函数f(x)的单调增区间是
∵f(-1)=10， ， f(3)=18
∴f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是
类型五：导数的实际应用
例8．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。
【解析】设点B的坐标为(x,0)且0
∴|BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2.
∴矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3
y＇=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)
令y＇=0解得，
∵0
答：这个矩形面积的最大值为。
举一反三：
【变式1】一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？
【解析】如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km,
设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，
∵，
由A到C的时间T，则（0≤x≤15）
（0≤x≤15）
令T＇=0，解得x=3，在x=3附近，T＇由负到正，
因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。
【变式2】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【解析】（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得
令，得
当时，，是减函数；当时，，是增函数.
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
类型五：定积分计算、微积分基本定理
例9.已知函数，计算.
【思路点拨】分段函数的定积分也需要分段求.
【解析】＝＋
＝＋＝＋
＝.
【总结升华】
当被积式为分段函数时，应分段积分；利用函数的奇偶性等。
举一反三：
【变式1】求定积分：
【解析】∵是偶函数，
∴
.
【变式2】求定积分：；
【解析】＝＋
＝ ＋＝
＝
例10．求直线与抛物线所围成的图形面积.
【思路点拨】先画出符合题意的图形，由图形可以看出所求的面积一个梯形与曲边梯形之差，进而可以用定积分求解。为了确定定积分的上下限，要求出两条曲线的交点的横坐标。
【解析】如图，由得，交点，，
所求面积：
.
【总结升华】
求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：
（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；
（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；
（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；
（5）计算各个定积分，求出所求的面积.
举一反三：
【变式1】求抛物线与直线所围成的图形的面积.
【解析】解方程组得或
即交点.
＝
＝
＝.
需要指出的是，积分变量不一定是，有时根据平面图形的特点，也可选作为积分变量，以简化计算.但要注意积分上限、下限的确定.
若选为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
＝.
【变式2】求由曲线围成的平面图形的面积.
【解析】由 得； 由 得.
所求面积：
【巩固练习】
1．当x>0时，f(x)=x+的单调递减区间是（ ）。
A、(2, +) B、(0,2) C、 D、
2．设函数f(x)=(x3-1)2+1，下列结论中正确的是（ ）。
A、x=1是函数f(x)的极小值点，x=0是极大值点
B、x=1及x=0均是f(x)的极大值点
C、函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值
D、x=1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值点
3．函数y=x4-2x2+5, x∈[-2,2]的最大值和最小值分别为（ ）。B
A、13，-4 B、13，4 C、-13，-4 D、-13，4
4．若函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）。
A、a>0 B、a<0 C、a≥0 D、a≤0
5.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0， f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜1，且x≠0}
6. （2015 滕州市校级模拟）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为 ．
7. 已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣＜f（x1）＜﹣1．
8. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。
(Ⅰ)求a、b的值；
(Ⅱ)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)
10．已知f(x)=x3-3bx+36在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是______；
11．设a>0，求函数的单调区间。
12．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
13．已知函数,其中a , b , c是以d为公差的等差数列且a＞0,d＞0.设上，处取得最大值，在，将点依次记为A， B， C
(I)求的值；
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值。
14.已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
15.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
【参考答案与解析】
1．D； 2．D； 3．B 4．B； 5.【答案】B
【解析】设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x）
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）==0
∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得
不等式f（x）＞0 x g（x）＞0 或
0＜x＜1或x＜﹣1故选B
6.【答案】（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解析】设F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣
∵f′（x）＜，∴F′（x）=f′（x）﹣＜0
即函数F（x）在R上单调递减
而f（x2）＜即f（x2）﹣＜f（1）﹣
∴F（x2）＜F（1）而函数F（x）在R上单调递减
∴x2＞1即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
7.【解析】（Ⅰ）解：a=1时，f（x）=x2﹣ex，
f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，
令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此时函数f′（x）单调递增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此时函数f′（x）单调递减．
∴当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，
∴函数f（x）在R上单调递减．
（Ⅱ）证明：f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），
由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．
f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．
又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，
∴0＜x1＜1＜ln2a，
由f′（x1）==0，可得，
f（x1）===（0＜x1＜1）．
∴可知：x1是f（x）的极小值点，
∴f（x1）＜f（0）=﹣1．
∴f（x1）＞＞．
8. 【答案】
（I）a=-3，b=4； (Ⅱ) c的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞)
9．【解析】设高为h,底边长为a,则所用材料为S=a2+4ah,
而a2h=256 ,a∈(0,+∞),
∴, a∈(0,+∞),
令S＇(a)=, ∴a=8.
显然当0
因此当a=8时，S最小，此时h=4.
10．【答案】(0，1)
11．【解析】
当a>0，x>0时，令
则
(1)当△=4-4a<0即a>1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
(2)当△=4-4a=0即a=1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
(3)当△=4-4a>0即0
故上单调递增，
在上单调递减。
12．【解析】设容器底面短边为xm，则另一边长为(x+0.5)m,
高为。
由3.2-2x>0且x>0，得0
当x∈(0,1)时， y>0；当x∈(1,1.6)时，y<0。
∴函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1)上单调递增，在[1，1.6]上单调递减。
因此，当x=1时，ymax=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2。
故容器的高为1.2m时容器最大，最大容积为1.8m3.
13．【解析】(I)
令,得
当时, ；当时,
所以f(x)在x=-1处取得极小值即；
(II) ，
的图像的开口向上,对称轴方程为
由知
在上的最大值为，即，
又由
当时, 取得最小值为
，
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,
所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得.
解法二:
又c>0知在上的最大值为，即
又由
当时, 取得最小值为
，
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,
所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得.
14.【解析】（Ⅰ）当时，，，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．
当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极小值 极大值
所以在区间，内为减函数，
在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，
当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
15.【解析】（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，
由题意，．
即，
由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．
于是当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，
即当时，．
PAGE等比数列
【考纲要求】
1．理解等比数列的概念，等比数列的通项公式.
2．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
3．了解等比数列与指数函数的关系.
4．灵活应用等比数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一：等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.
考点二、等比数列的通项公式
要点诠释：
①方程观点：知二求一；
②函数观点：函数的图象上一群孤立的点；
③当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；
当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；
当时，等比数列是摆动数列；
当时，等比数列是非零常数列。
考点三、等比数列通项公式的主要性质：
（1）等比中项：成等比数列，则；
（2）通项公式的推广：；
（3）若，则；
（4）等比数列中，若.
要点诠释：（1）方程思想的具体运用；（2）两式相乘除化简。
【典型例题】
类型一：等比数列的概念、公式
例1.若数列为等比数列，, , 求.
思路分析：求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的通项公式。
解析：法一：令数列的首项为,公比为q，则有
即 ，
(2)÷(1)有, ∴.
∴.
法二：∵为等比数列，
∴ 即,
∴.
∴.
法三：∵为等比数列，
∴、、、,…也为等比数列，
∴, ∴
又∵.
∴
点评：熟悉等比数列的概念，基本公式及性质，要依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
举一反三：
【变式】已知等比数列，若，，求。
法一：∵，∴，∴
从而解之得，或，
当时，；当时，。
故或。
法二：由等比数列的定义知，
代入已知得
将代入（1）得，
解得或
由（2）得或 ，以下同方法一。
类型二、等比数列的性质
例2.（1）等比数列中，，，，则 ( )
A． B．
C． D．
(2)设为等比数列的前n项和，已知,则公比q＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：A B
解析：（1），所以
又因为，则
所以，则
（2），两式相减：
所以
举一反三
【变式1】等比数列中，若,求.
解析：∵是等比数列，∴
∴
例3. (2015 福建高考)若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．故选D．
举一反三
【变式】（2014 天津高考）设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】D
【解析】∵{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，
∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，
由S1，S2，S4成等比数列，得：，
即，解得：．故选D．
类型三：等比数列的判断与证明
例4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？
解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+),
∴a1=S1=51-1=4,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1
而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,
∴n∈N+时，an=4×5n-1
由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.
举一反三：
【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。
解析：p=2或p=3；
∵{Cn+1-pCn}是等比数列，
∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)
∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]
即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]
整理得：,解得：p=2或p=3,
显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.
【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.
证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q
为证{Cn}不是等比数列，只需证.
∵,
∴,
又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,
∴即
∴数列{Cn}不是等比数列.
【变式3】判断正误：
(1){an}为等比数列a7=a3a4；
(2)若b2=ac，则a，b，c为等比数列；
(3){an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}为等比数列；
(4){an}是公比为q的等比数列，则、仍为等比数列；
(5)若a，b，c成等比，则logma，logmb，logmc成等差.
答案：
(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2·a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；
(2)错；反例：02=0×0，不能说0，0，0成等比；
(3)对；{anbn}首项为a1b1，公比为q1q2；
(4)对；；
(5)错；反例：-2，-4，-8成等比，但logm(-2)无意义.
类型四：等比数列的其他类型
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路分析：结合数列的性质设未知数。
解析：
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.
∴
由(2)得a=...........(3)
由(1)得32a=d2+32d ..........(4)
(3)代(4)消a，解得或d=8.
∴当时,；当d=8时,a=10
∴原来三个数为,,或2,10,50.
法二：设原来三个数为a, aq, aq2，则a, aq,aq2-32成等差数列，a, aq-4, aq2-32成等比数列
∴
由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13
当q=5时a=2；当q=13时.
∴原来三个数为2，10，50或，,.
总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。
举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
解析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；
则 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；
解得a=2，q=3或，q=-5；
故所求的等比数列为2，6，18或.
例6．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
思路分析：如果充分考虑到等比数列的性质来设未知数，会使求解过程简单些。
解析：设这三个数分别为，
由已知得
得，所以或，
即或
故所求三个数为：1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。
总结升华：方程的思想在解决数列问题中的应用。
举一反三：
【变式】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
解析：设四个数分别是x,y,12-y,16-x
∴
由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)
∴144-24y+y2=-3y2+28y, ∴4y2-52y+144=0,
∴y2-13y+36=0, ∴ y=4或9，
∴ x=0或15，
∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
例7.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 .
【答案】64
【解析】设等比数列的公比为q(q≠0)，由a1+a3=10，a2+a4=5得，a1（1+q2）=10，
a1q（1+q2）=5，解得a1=8，。所以a1a2an=，于是当n=3或n=4时，a1a2an取得最大值26=64.
【巩固练习】
1．等比数列中，，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则( )
A.， B. ，
C. ， D.，
3. 在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A．13 B．11 C．10 D．10
4.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
5. 已知为等比数列，下面结论种正确的是 （ ）。
A a1+a3≥2a2 B
C 若a1=a3，则a1=a2 D 若a3＞a1，则a4＞a2
6. 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .
7．在等比数列{an}中，
（1）已知：a1=2,S3=26,求q与a3;
（2）已知：an>0且a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5;
（3）已知：a4=3, 求a1a2a3……a7；
（4）已知：对任意自然数n都有a1+a2+……+an=2n-1，求+……+.
8．有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个数.
9．已知{an}为等比数列，
(1)若a1a4a10a13-a5a9-6=0，求a2a12.
(2)若a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=8，求a1+a2+a3+…+a3m-2+a3m-1+a3m.
10.已知数列的前n项和，其中．
（I）证明是等比数列，并求其通项公式；
（II）若 ，求．
11．若a1=1,q≠1的等比数列前n项和为S，则原等比数列各项的倒数组成的数列的前n项和T是多少？
12．一个等比数列{an}共有2n项，其中偶数项的和是所有项和的，且S3=64，求此等比数列通项.
13．已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0.
(1)若a,b,c成公差d≠0的等差数列，证明 x,y,z成等比数列；
(2)若x,y,z成公比q≠1的等比数列，证明a,b,c成等差数列.
14．数列{an}是等比数列，项数为偶数，各项为正，它所有项的和等于偶数项和的4倍，且第2项与第4项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项的和最大？
15．已知数列前n项和Sn=(p-2)+pan，nN*，p＞1且p≠2
(1)证明：{an}是等比数列；
(2)对一切自然数n，当an+1＞an或an+1＜an时，分别确定p的取值范围.
16．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，{an}中部分项组成的数列恰为等比数列，且知k1=1, k2=5,k3=17.
（1）求kn；
（2）证明： k1+k2+……+kn=3n-n-1.
【参考答案与解析】
1．C
2.【答案】B
【解析】，，成等比数列，
即解得：
又
3．B；
4.【解析】等比数列{an}中，因为a3=2S2+1，a4=2S3+1，得a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）
=2（S3﹣S2）=2a3，即a4=3a3，解得q=3，故选C．
5.B
6.【答案】
【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和
.
7．解析：
（1）2(1+q+q2)=26, 解得q=3或q=-4.当q=3时a3=18；当q=-4时, a3=32.
（2）(a3+a5)2=+2a3a5+=a2a4+2a3a5+a4a6=25, 又an>0, ∴a3+a5=5.
（3）∵a1a7=a2a6=a3a5=,∴a1a2a3……a7==37=2187.
（4）依题意Sn=2n-1,易求得an=2n-1, a1=1且公比为2，可知，，……成等比数列，公比为4.
∴++……+==.
8．解析：
依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d，
∵后三个数和为12，∴(x-d)+x+(x+d)=12，解得x=12.
又前三个数成等比且和为19，
∴, 解得或，
∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18.
9．解析：
(1)原式=(a2a12)2-a2a12-6=0a2a12=3或a2a12=-2（舍去）；
(2)
∴，
由A1=a1+a2+a3=2a1(1+q+q2)=2，A2=a4+a5+a6=a1q3(1+q+q2)，
A3=a1q6(1+q+q2)，A1，A2，A3成等比数列，且首项为A1公比为q3，
由前面得q3=±2，
则或.
10. 【解析】（I）由题意得
由
由
所以
因此是首项为，公比为的等比数列，于是
（II）由（I）得
解得
11．解析：
∵S=a1+a2+a3+……+an=,
∴T==.
12．解析：
∵S偶=Sn,∴ =×,∴, ∴,
又S3=64，∴，∴,
∴×9×()n-1=×()n-3.
13．证明：
(1)由已知有-dlogmx+2dlogmy-dlogmz==0,∴xz=y2,∴x,y,z成等比数列.
(2)∵y=xq, z=xq2, ∴(b-c)logmx+(c-a)logmx+(c-a)logmq+(a-b)logmx+2(a-b)logmq=0,
即logmq(c-a+2a-2b)=0,又q≠1,∴logmq≠0, ∴c+a-2b=0,
∴2b=a+c,∴a,b,c成等差数列.
14．解析：
由题意可知q≠1且，即，∴
又a1q·a1q3=9(a1q2+a1q3)，∴a1=22·33 ，∴
∴lgan=2lg2-(n-4)lg3
当n≥2时，lgan-lgan-1=2lg2-(n-4)lg3-[2lg2-(n-5)lg3]=-lg3＜0
∴数列{lgan}是递减的等差数列，且lga1=lg(22×33)＞0
设数列{lgan}的前n项和最大，则有
∴n=5 ∴数列{lgan}的前5项和最大.
15．证明：
(1)∵Sn=(p-2)+pan ，Sn+1=(p-2)+pan+1，∴Sn+1-Sn=an+1=pan+1-pan(n≥1)
∴(p-1)an+1=pan ,∵p＞1，p-1＞0，∴
∴{an}是以为公比的等比数列.
(2)∵a1=S1=p-2+pa1 ，∴，∴
∴
∵p＞1，∴
若an+1＞an，只需2-p＞0，∴1＜p＜2
若an+1＜an，只需2-p＜0，∴p＞2.
16．解析：
依题意：=a1, =a5=a1+4d, =a17=a1+16d，而，，为等比数列.
故有(a1+4d)2=a1(a1+16d),解得a1=2d.
因而{}的公比q====3.
而在等差数列{an}中是第kn项，
∴=a1+(kn-1)d,即=(kn+1)d……(1)
又在等比数列{}中是第n项，
∴=a1·qn-1即=2d·3n-1……(2)
联立(1)(2)，解得kn=2·3n-1-1.
（2）k1+k2+……+kn=(2·30-1)+(2·31-1)+……+(2·3n-1-1)=2(30+31+……+3n-1)-n
=。
等比数列
等比中项
通项公式及相关性质
等比数列与函数的关系
PAGE
第7页 共7页等差、等比数列的前n项和
【考纲要求】
1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；
2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；
3．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式。
【知识网络】
【考点梳理】
知识点一：数列的前项和的相关公式
1.等差数列的前项和公式：
（为常数）
当时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；
当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.
2.等比数列的前项和公式：
当时，，，
当时，
3.任意数列的第项与前项和之间的关系式：
【典型例题】
类型一：等差数列的前n项和公式及其性质
例1.等差数列的前30项之和为50，前50项之和为30，求。
【思路分析】根据等差数列前n项公式，整体代入，或者应用公式。
【解析】法一: ∵为等差数列， ∴,
∴
(2)-(1)有， 即
∴ 。
法二: ∵为等差数列， ∴,
∴ 即
∴ (2)-(1)有：
即, ∴,
∴。
法三:∵为等差数列， ∴，,
∵,,…, 也为等差数列，
∴ ,
∴ ,
∴ .
【总结升华】法一、二均可用方程思想求出A、B、、d来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。
举一反三：
【变式】设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
【解析】法一：依据已知有：即
解得，所以。
法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列
、、成等差数列，
所以，
有，故选B
例2.（2016 桂林模拟）等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前n项和的比值的问题。
【解析】∵等差数列{an}、{bn}，
∴，，
∴
又
∴
经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，
则使得为整数的正整数的n的个数是5．
故选C．
【总结升华】由于等差数列中，所以已知等差数列、的前n项和分别为和，则(1) ，(2) 。
举一反三：
【变式1】等差数列中，若, 则_________.
【解析】由，得.
【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .
【解析】.
类型二：等差数列求和公式的应用
例3．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．
【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。
证明：由得，所以
整理得，又得
相减并整理得:
所以数列是个等差数列
举一反三：
【变式1】设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.
证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),
当n≥2时，
=-
=
= =
= (常数)
∴{bn}是等差数列.
证法二:等差数列{an}的前n项和,
∴bn=
∴{bn}是等差数列.
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;
(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.
【变式2】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列；
【答案】an+1 = Sn+1–Sn,
∴8an+1 =,
∴,
∴，
∵an∈N*，∴，
∴，即，
∴数列{an}是等差数列.
例4．等差数列的前n项和为 ,若,,.
（1）求公差d的取值范围；
（2）n为何值时，Sn最大，并说明理由。
【解析】
（1）由
又由得代入不等式组
∴， 解出
（2）方法一：由（1）知：且
∴数列是递减数列，
由得
∴ 即，
∴中最后一个正数项是，开始为负数项
∴当n=6时，最大.
方法二：由（1）知：且
∴数列是递减数列，
若要最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.
由 ∴即, ∴
由 ， ∴, 即, ∴, ∴
∴中最后一个正数项是，开始为负数项
∴当n=6时，最大.
方法三：
∵ d<0, ∴当最小时有最大值，
当时，
∴当n=6时最小，即最大，
方法四：是等差数列，故设，如图所示
∵,，
∴抛物线与x轴的另一个交点在n=12与n=13之间。
∴对称轴l的位置在6与6.5之间，
易知n=6对应的A点与对称轴的距离比n=7对应的点B与对称轴的距离要近，
故A为最高点，最大。
举一反三：
【变式】在等差数列中，，，求当为何值时，最小。
【解析】法一：∵，∴
∵，∴，
∵，∴
∴均为负数，，而以及以后各项都为正数，
∴当或时，有最小值为。
法二：设数列的公差为，则
由，得，
即，
∵，∴，
∴，
∴当或时，有最小值为。
类型三、等比数列的前n项和公式及其性质
例5.设为等比数列的前n项和，已知,则公比q＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B
解析：，两式相减：
所以
举一反三
【变式】等比数列中，若,求.
解析：∵是等比数列，∴
∴
类型四：等比数列求和公式的应用
例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？
【思路分析】判断一个数列是什么类型的数列，应该从等差、等比数列的概念出发。
解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+),
∴a1=S1=51-1=4,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1
而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,
∴n∈N+时，an=4×5n-1
由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.
举一反三：
【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。
解析：p=2或p=3；
∵{Cn+1-pCn}是等比数列，
∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)
∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]
即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]
整理得：,解得：p=2或p=3,
显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.
【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.
证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q
为证{Cn}不是等比数列，只需证.
∵,
∴,
又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,
∴即
∴数列{Cn}不是等比数列.
例7已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．
由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，
当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，
，整理得：，
∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因此
，
两式作差得：，
（n∈N*）．
【举一反三】
【变式】Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．
解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，
即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，
∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=﹣1（舍）或a1=3，
则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，
∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：
（Ⅱ）∵an=2n+1，
∴bn===（﹣），
∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．
【巩固练习】
1．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，若，且，则为（ ）
A． B． C． D．或或
3. 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
4．已知等差数列项和为等于（ ）
A． B． C． D．
5．数列的通项公式，则该数列的前（ ）项之和等于。
A． B． C． D．
6．等差数列,的前项和分别为,,若,则=（ ）
A． B． C． D．
7.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .
8．已知数列的前n项和，则=_____________。
9. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．
10．在等差数列中，公差，前项的和，则=_____________。
11．若等差数列中，则
12．一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比为_______________。
13.在数列中，，．
（Ⅰ）设，证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
14.一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数。
15. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
16.已知是等比数列，前n项和为，且.
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
【参考答案与解析】
1.A 而成等差数列
即
2.D
，当时，；
当时，；
当时，；
3.【答案】B
【解析】 由a1＝3，得a1＋a3＋a5＝3(1＋q2＋q4)＝21，所以1＋q2＋q4＝7，
即(q2＋3)(q2－2)＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42，故选B.
4.C
5.B
6.B
7.【答案】1，121
【解析】a1 + a2 =4，a2=2 a1 +1 a1 =1， a2 =3，再由an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2），得an+1- an= 2an，即an+1 =3an，又a2 =3a1，所以an+1 =3an（n≥1），故{an}为公比为3的等比数列，S5==121.
8.
9．【答案】3n-1
【解析】 设等比数列{an}的公比为q.由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，所以3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn-1＝3n-1.
10.
11.
12. 设
13.解：（1），，，
则为等差数列，，
∴，．
（2）
两式相减，得 ．
14.解：设此数列的公比为，项数为，
则
∴项数为
15．【解析】(1)因为2Sn＝3n＋3，
所以2a1＝3＋3，故a1＝3.
当n>1时，2Sn－1＝3n-1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n-1＝2×3n-1，即an＝3n-1，
所以
(2)因为anbn＝log3an，所以 ，
当n>1时，bn＝31-nlog33n-1＝(n－1)·31-n，
所以；
当n>1时，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3-1＋2×3-2＋…＋(n－1)×31-n]，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3-1＋…＋(n－1)×32-n]，
两式相减，得
2Tn＝＋(30＋3-1＋3-2＋…＋32-n)－(n－1)×31-n
＝＋－(n－1)×31-n
＝－，
所以.
经检验，n＝1时也适合．
综上可得.
16. 【解析】（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知有，解之可得，又由知，所以，解之得，所以.
（Ⅱ）解：由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.
设数列的前项和为，则
等差、等比数列的前n项和
等比数列的求和公式
等差数列的求和公式
PAGE
第2页 共8页等差数列
【考纲要求】
1．理解等差数列概念.
2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
3．了解等差数列与一次函数的关系.
4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.
5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；
6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
要点诠释：
(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d为常数）
(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为
(3)证数列{}是等差数列的方法：
① (n≥2) （ d为常数）；
② 为和的等差中项。
考点二、通项公式
(归纳法和迭加法)
要点诠释：
①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n)
②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。
④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，
当k=d>0时，{}为递增数列；
当k=d<0时，{}为递减数列；
当k=d=0时，{}为常数列。
考点三、通项公式的性质：
（1）等差中项：、、成等差数列，则；
（2）通项公式的推广：
（3）若，则；
特别，若，则
（4）等差数列中，若.
【典型例题】
类型一：等差数列的概念、公式、项的性质
例1. （1）－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.
【解析】（1）由题意可知：,，
∴此数列的通项公式为：,
令,解得，
所以－20不是这个数列的项.
（2）根据题意可得：,.
∴此数列通项公式为：（,）.
令,解得：,
∴100是这个数列的第15项.
【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式.
2.要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三：
【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项
【解析】由，，∴.
【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和
【解析】∵， ∴，
∵，∴中有14个元素符合条件，
又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，
即，，，
∴.
例2中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．
【思路点拨】利用中位数性质建立关系式.
【答案】5
【解析】设该等差数列的首项为a，
由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2
解得：a=5
【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。
举一反三：
【变式】（2015 北京高考）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【答案】C
【解析】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选C
例3．已知等差数列{an}的公差d＞0，a3=－3，a2a4=5，则an=__________。
【答案】2n-9
【解析】法一：令数列的首项为，公差为d，则
（d＞0）即 （d＞0）
解之有：，
∴.
法二： ,
由已知得
又d>0,得d=2
所以.
【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
举一反三：
【变式】若数列为等差数列，, ,且公差 求；
【解析】∵为等差数列 ∴
又∵
∴、是方程的根
∴或（舍去）
令数列的首项为，公差为d，则
即
解之有：，
∴.
类型二：等差数列的判断与证明
例4．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．
【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。
证明：由得，所以
整理得，又得
相减并整理得:
所以数列是个等差数列
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;
(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.
举一反三：
【变式】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列；
【答案】an+1 = Sn+1–Sn,
∴8an+1 =,
∴,
∴，
∵an∈N*，∴，
∴，即，
∴数列{an}是等差数列.
例5．设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.
【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。
证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),
当n≥2时，
=-
=
= =
= (常数)
∴{bn}是等差数列.
证法二:等差数列{an}的前n项和,
∴bn=
∴{bn}是等差数列.
【巩固练习】
1.等差数列{an}前n项和为Sn，且﹣=3，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知等差数列的前3项依次为，，，则通项公式（ ）.
A. B. C. D.
3．已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）
A． B． C． D．
4．设是等差数列的前n项和，若（ ）
A． B． C． D．
5.如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，，，（）.若
A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列
6.已知等差数列{an}满足：a3a7=-12，a4+a6=-4，则通项公式an=________.
7.已知等差数列中，，，且，则__________.
8.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为 ．
9.等差数列中，，，则_________.
10．首项为21的等差数列，从第10项开始为负数，则公差的取值范围是__________.
11．等差数列中, 则_________。
12．等差数列中,若则=_______。
13．已知数列是等差数列，若,且,则_________。
14. 已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
15.等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【参考答案与解析】
1.【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
∵﹣=3，∴﹣=3，
化简可得2d﹣d=3，解得d=2故选：B．
2.B 3.B
4.A
5.【答案】A
【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
6．an=2n-12或an=-2n+8； 7.0；
8.【答案】9
【解析】由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，
设m3的“分裂”数中第一个数为am，
则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，
a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，
…am﹣am﹣1=2（m﹣1），
以上m﹣2个式子相加可得am﹣a2==（m+1）（m﹣2），
∴am=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，
∴当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个
9．27； 10.
11.
12． 该二次函数经过，即
13．
14.【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d．
∵a4﹣a3=2，所以d=2
∵a1+a2=10，所以2a1+d=10
∴a1=4，
∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）
（II）设等比数列{bn}的公比为q，
∵b2=a3=8，b3=a7=16，
∴
∴q=2，b1=4
∴=128，而128=2n+2
∴n=63
∴b6与数列{an}中的第63项相等
15.【解析】(Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有，解得，
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
当1,2,3时，；
当4,5时，；
当6,7,8时，；
当9,10时，，
所以数列的前10项和为.
等差数列
等差中项
等差数列的通项公式及应用
等差数列定义
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第3页 共5页数学高考总复习：集合的概念和运算
【考纲要求】
理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；
掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；
学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
【知识网络】
【考点梳理】
1、集合的概念：
集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
集合的分类：
按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；
集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。
2、两类关系：
元素与集合的关系，用或表示；
（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。
3、集合运算
（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；
运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），
CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。
【典型例题】
类型一：集合的概念、性质与运算
例1.（2015 陕西高考）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】 ,所以故选A.
举一反三：
【变式】（2015福建高考）若集合 （是虚数单位）， ，则 等于 ( )
A． B． C． D．
答案：C
【解析】因为, 所以故选C.
类型二：集合的两种关系
例2、已知集合，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围。
解析：，
（1）因为，所以
（2）
因为，所以，或，所以，或
点评：数形结合是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面。
举一反三：
【变式】设2011∈{x，，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．8
【答案】由题意得x＝－2011或x＝－，所以集合{－2011，－}的真子集有22－1＝3个．选A。
例3．（2016 全国II高考）已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
解析：集合，而，所以，故选C.
点评：
1.本题主要考察集合的交、并、补综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种表示语言要熟悉。
2. 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行计算.
3. 对元素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法，而对不等式解集的运算一般用数轴法较为简捷.
举一反三：
【变式1】若集合A＝{y|y＝3x＋1}，B＝{x|}，则A∩B＝( )
A． B．[－1,0)
C．(0,1] D．[－1,1]
【答案】C
【变式2】设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S T C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①②
类型三：分类讨论的集合问题
例4.设函数的定义域为D。（1），求使的概率；（2），求使的概率.
解析：（1） 的所有可能为：（1，1），（1，2），
（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），
（4，3）共计12种。
而
那么满足D=R的的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，2），（3，3），（4，3）共计9种，∴其概率
（2）∴所有的点构成的区域的面积=12
而
满足构成的区域的面积为7，故所求概率．
点评：在一定条件约束下求参数的问题，体现了分类讨论的数学思想。另外本题稍微涉及到一点概率知识。
举一反三：
【变式】（2016 天津高考）已知集合则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】选D.
【巩固练习】
一.选择题
1.设集合M =，N =， 则 ( )
A.M=N B.MN C.MN D.MN=
2.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.（2016 山东高考）设集合 则=
（A） （B） （C） （D）
4.设集合，Z为整数集，则中元素的个数是
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5.已知集合，集合为整数集，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知集合M=｛a2, a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a2+1｝, 若M∩N=｛-3｝, 则a的值是 ( )
A -1 B 0 C 1 D 2
7.对任意实数, 若不等式恒成立, 则实数的取值范围是 ( )
A k≥1 B k >1 C k≤1 D k <1
8.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：
（ ）
A． B． C． D．
9.设命题甲:的解集是实数集R;命题乙:,则命题甲是命题乙成立的 ( )
A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
10.函数f(x)=其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P}，f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断：
①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=； ②若P∩M≠，则f(P)∩f(M) ≠；
③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)=R； ④若P∪M≠R，则f(P) ∪f(M)≠R.
其中正确判断有 ( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 4个
二.填空题
11.已知集合 则________________.
12.抛物线的对称轴方程是 .
13.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.
14.设二次函数，若（其中），则等于 _____.
三.解答题
15.用反证法证明：已知，且，则中至少有一个大于1。
16.设全集U=R, 集合A=｛x| x2- x-6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y∈A｝, 求CUB,
A∩B, A∪B, A∪(CUB), A∩(CUB), CU(A∪B), (CUA)∩(CUB).
17.若不等式的解集为，求的值
18.已知集合A，B，且，求实数的值组成的集合。
【参考答案与解析】
1.B
解析：当 k=2m (为偶数)时, N = =
当 k=2m-1 (为奇数)时,N = ==M
2．C
解析：,即
, 故选C.
3.C
解析：
4.C
5.A
解析：因为所以故选A.
6.A
解析：M∩N=｛-3｝ N=｛a-3, 2a-1, a2+1｝
若a-3=-3, 则a=0,此时M={0,1,- 3} ,N={- 3,- 1,1} 则 M∩N=｛-3,1｝故不适合
若2a-1=-3,则a= - 1,此时M={1, 0,- 3}, N={- 4,- 3, 2}
若a2+1=-3,此方程无实数解
7.D
解析：对任意实数, 若不等式恒成立
等价于
而=1
故k<1
8. D
解析：一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是,即
而的一个充分不必要条件是
9.B.
解析：的解集是实数集
①a=0, 则1>0恒成立
②a≠0,则,故0
10.C
解析：②④对
若P={1}, M={- 1}则f(P)={1},f(M)={1} 则f(P)∩f(M) ≠故①错
若P={非负实数},M={负实数}则f(P)={ 非负实数},f(M)={ 正实数} 则f(P) ∪f(M)≠R.
故③错
11.
12. ,
解析：=
13.5
解析：则集合中元素的个数为5个.
14. .
解析：若,则对称轴为直线,故=
15. 假设均不大于1，即，这与已知条件矛盾
中至少有一个大于1
16.解:A=(-2,3), ∵-2
A∩B=(-2,0)∪(0,3),
A∪B=(-5,5),
A∪(CUB)=∪(-2,3)∪, A∩(CUB)=｛0｝,
CU(A∪B)=( CUA)∩(CUB)=∪
17.由题意知方程的两根为，
又，即，解得，
18.
① ；
② 时，由。
所以适合题意的的集合为
集 合
集
合
表
示
法
集
合
的
关
系
集
合
的
运
算
描
述
法
图
示
法
列
举
法
相
等
包
含
交
集
并
集
补
集
子集、真子集
PAGE
