16.1.2 幂的乘方与积的乘方 学案（含答案）2025-2026学年数学人教版八年级上册

16.1.2　幂的乘方与积的乘方
学习目标
1.理解幂的乘方运算法则，能运用法则进行幂的乘方运算；
2.理解积的乘方运算法则，能运用法则进行积的乘方运算；
3. 经历法则的探究过程，体会特殊到一般、转化、类比的数学思想.
自主探索
1.计算：（结果用幂的形式表示）
(1)102·104；
(2)32·32·32·32；
(3)(x+y)2·(x+y)3.
2.思考
(1)同底数幂运算法则.
(2)上题计算(2)的结果38还有其它的表示形式吗？
任务一　探究幂的乘方法则
活动1　1.现在我们就一起来探究形如(32)4结构的运算，同学们可以给这个运算起个名字吗？
2.思考：
(1)学习今天新的法则之前，大家先猜一猜，一般的，(am)n的结果是什么？
(2)我们上节课是如何推导同底数幂相乘法则的？研究方法是什么？
3.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空(其中m,n为正整数):
(1)(32)3=32×32×32=3（ ）;
(2)(a2)3=a2·a2·a2=a（ ）;
(3)(am)3=am·am·am=a（ ）.
观察计算结果,你能发现什么规律
4.归纳并猜想：(am)n= .
5.验证和证明:
归纳总结：幂的乘方运算法则：
(am)n= ,其中 a 为任意底数，m，n 为任意正整数.
文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
【例1】计算：
（1）（103）5；（2）（a2）4；（3）（am）2；
（4）-（x4）3；(5)[(x+y)2]3；(6)[(﹣x)4]3.
思考1 同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么区别？
思考2 想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？
[(a2)3]4= .
根据以上计算你能说出幂的乘方法则的拓展用法吗？
总结：[(am)n]p (m,n,p为正整数).
思考3 想一想：amn=( )n=（ ）m.
根据以上计算你能说出幂的乘方法则有什么性质吗？
【即时测评】
已知am＝2，an＝3，求a2m＋3n的值.
任务二 探究积的乘方法则
活动1 1.当正方形边长为2a时，面积是多少？当正方体棱长为2a时，体积为多少？
2.填空,看看运算过程用到哪些运算律 运算结果有什么规律
(1)(ab)2=(ab) (ab)=(a a) (b b)=a( )b ( );
(2) (ab)3= _______ = ____________ =a ( )b( ).
问题1 以上计算每一步的依据是什么？
问题2 根据以上计算结果，猜想（ab）n的结果是什么？
3.你能证明你的猜想结果吗？
归纳总结：(ab)n= (n是正整数).
文字语言：积的乘方,等于把积的每一个因式 ,再把所得的幂 .
三个或三个以上的积的乘方等于什么？你能用字母表示出来吗？
(abc)n= (n是正整数).
【例2】计算:
(1)(2a)3;(2)(-5b)3;(3)(xy2)2;(4)(-2x3)4.
【即时测评】
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
(1)(3cd)3=9c3d3;
(2)(-3a3)2= -9a6;
(3)(-2x3y)3= -8x6y3;
(4)(-ab2)2= a2b4.
【例3】用简便方法计算：
(1)0.254×(－4)4；(2)0.1252025×(－82025)．
当堂达标
1. 计算 (-x2y)2的结果是（　　）
A．x4y2 B．-x4y2 C．x2y2 D．-x2y2
2.下列运算正确的是（ ）
A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2 C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
3.计算：
(1)(102)8；(2)(xm)2；(3)[(－a)3]5；(4)－(x2)m；
(5)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(6)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9.
4.计算：
(1)(-3x3y)4;
(2)(-5a2b4c)3;
(3)(-8x3)2-[(2x)2]3;
(4)（-2xy2）6+（-3x2y4）3.
5.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.
课堂小结
1.通过本节课的学习,你有那些收获
2.有什么体会和感悟
3.你还有哪些疑问
参考答案
当堂达标
1.A 2.C
3.解：(1)(102)8＝1016.
(2)(xm)2＝x2m.
(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
(4)－(x2)m＝－x2m.
(5)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.
(6)原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0.
4.解：(1)(-3x3y)4=(-3)4 (x3)4 y4=81x12y4.
(2)(-5a2b4c)3=(-5)3 (a2)3 (b4)3 c3=-125a6b12c3.
(3)(-8x3)2-[(2x)2]3
=64x6-(4x2)3.
=64x6-64x6
=0.
(4)（-2xy2）6+（-3x2y4）3
=64x6y12-27x6y12
=37x6y12.
5.解:∵3x+4y-5=0,
∴3x+4y=5,
∴27x·81y=(33)x·(34)y =33x·34y=33x+4y=35=243.