16.3.1 平方差公式 学案（含答案）2025-2026学年数学人教版八年级上册

16.3　乘法公式
16.3.1　平方差公式
学习目标
1．理解平方差公式，能运用公式进行计算；
2.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想.
自主探索
问题:有一个狡猾的地主,把一边长为a米的正方形土地租给王大爷种植．第二年他对王大爷说:“我把这块地的一边增加1米, 另一边减少1米,继续租给你,你看如何？”王大爷没细想就答应了．回到家中,就把这件事和邻居讲了,邻居说:“王大爷您明年租的土地面积变小了.”王大爷非常吃惊．同学们,你能告诉 王大爷这是为什么吗？
任务一　探究平方差公式
活动1　思考 为什么邻居觉得王大爷租的土地面积变小了？
活动2 计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗
(1)(x+1)(x-1)= ;
(2)(m+2)(m-2)= ;
(3)(2x+1)(2x-1)= .
问题1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？
问题2 等式的右边有什么特点？
问题3 你从以上3个等式发现了什么规律？能否用字母来表示？
问题4 你能对发现的规律进行推导吗？
方法一：从代数角度用多项式乘法推导
方法二　借助几何图形推导
题5 这个式子称为平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？
归纳总结：
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的 .
(a+b)(a-b)= .
【例1】运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2); (2)(-x+2y)(-x-2y).
【即时测评】
利用平方差公式填表
(a+b)(a-b) a b a2-b2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
【例2】计算:
(1)(x-1)(x+1)(x2+1);
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);　　
(3)102×98.
【即时测评】
计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
当堂达标
1.下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A.(m-n)(-m-n) B.(x3-y3)(y3+x3)
C.(-m+n)(m-n) D.(2x-3)(3+2x)
2.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )
A.(x+1)(1+x) B.( 0.1a+b)(b- 0.1 a)
C.(-a+b)(a-b) D.(x2-y)(x+y2)
3.用平方差公式计算(a+2)(a-2)(a2+4)的结果正确的是( )
A.a4-16 B.a4+16 C.(a-1)4 D.(a+1)4
4.对于任意整数m,能整除代数式(m+3)(m-3)-(m-2)(m+2)的整数是( )
A.4 B.3 C.5 D.2
5.用平方差公式计算:
(1)(3a+2b)(3a-2b);
(2)(-3x-5y)(-3x+5y);
(3)101×99;
(4)(a-b)(a+b)(a2+b2).
6.先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
课堂小结
1.通过本节课的学习,你有那些收获
2.有什么体会和感悟
3.你还有哪些疑问
参考答案
当堂达标
1.C 2.B 3.A 4.C
5.解:(1)(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2.
(2)(-3x-5y)(-3x+5y)=(-3x)2-(5y)2=9x2-25y2.
(3)101×99=(100+1)(100-1)=1002-1
=10000-1=9999.
(4)(a-b)(a+b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4.
6.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22–1=7.