16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 学案（含答案）2025-2026学年数学人教版八年级上册

16.3.2　完全平方公式
第1课时 完全平方公式
学习目标
1．理解完全平方公式，能用公式进行计算.
2．在探索完全平方公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证完全平方公式的过程中，感知数形结合思想．
自主探索
问题 1 运用平方差公式计算：
(1)(2a+3b)(2a-3b);
(2)101×99.
问题 2 你能迅速算出1022的结果吗？992呢？
任务一　探究完全平方公式
活动1　计算下列多项式的积.
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ;
(2)(m+2)2=( )( )= ;
(3)(p-1)2=( )( )= ;
(4)(m-2)2=( )( )= .
思考：比较式子等号的左右两边，你发现什么规律了吗？
猜想：根据你发现的规律，能直接写出（a+b）2的计算结果吗？（a-b）2呢？你是怎么想的？
归纳总结：
(1)完全平方公式:
两个数的和(或差)的平方,等于它们的 ,加上(或减去)它们的积的 .
(a+b)2= ,(a-b)2= .
活动2 你能验证完全平方公式吗？有哪些验证方法？
(1)用多项式乘法证明
(2)借助几何图形推导完全平方公式
图(1) 图(2)
【即时测评】
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2+y2；
(2)(x–y)2=x2–y2；
(3)(–x+y)2=x2+2xy+y2；
(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2.
【例1】运用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2; (2).
【即时测评】
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
【例2】运用完全平方公式计算:
(1)1022; (2)992.
思考
（1）（a+b）2=(-a-b)2相等吗？
（2）（a-b）2=(b-a)2相等吗？
当堂达标
1.计算(2x-y)2等于( )
A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2 C.4x2-y2 D.4x2+y2
2.将1052变形正确的是（ ）
A.1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5)
C.1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
3.若(3x-a)2=9x2-bx+16,则a+b的值为( )
A.28 B.-28 C.24或-24 D.28或-28
4.下列变形中:①(b-4c)2=b2-16c2;②(a-2bc)2=a2+4abc+4b2c2;③(x+y)2=x2+xy+y2;④(4m-n)2=16m2-8mn+n2.错误的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
5.计算:(1)(-2m-n)2;
(2)(2x+3y)(-2x-3y).
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
课堂小结
1.什么是完全平方公式？公式中的 a 、 b 是只表示一个数吗？
2.完全平方公式的特点是什么？在运用公式过程中要注意什么？
3.你在这节课还有什么收获？
参考答案
当堂达标
1.A 2.C 3.D 4.A
5.解:(1)(-2m-n)2=[-(2m+n)]2=(2m+n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2=4m2+4mn+n2.
(2)(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]=-(4x2+12xy+9y2)=-4x2-12xy-9y2.
6.解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.