综合·融通(一) 动力学中的三类典型问题
(融会课—主题串知综合应用)
主题(一) 连接体问题
连接体问题、动力学图像问题、临界极值问题是动力学的三类典型问题。其中解决连接体问题的关键是整体法和隔离法的灵活应用，而解决临界极值问题的关键是需要对临界状态和临界条件的正确判断，学习时应注意领会和把握。
1．连接体
多个相互关联的物体连接(叠放，并排或由绳子、细杆联系)在一起的物体组称为连接体。
2．常见连接体模型
3．连接体问题的处理方法
(1)整体法：把整个系统作为一个研究对象，不必考虑系统的内力，只需分析系统受到的外力，然后依据牛顿第二定律列方程求解。
(2)隔离法：把系统中的一部分作为研究对象，此时系统的内力就有可能成为该研究对象所受的外力，在分析时应加以注意，一般隔离受力较少的物体。
4．整体法与隔离法的选择
(1)整体法的研究对象少、受力少、方程少，所以连接体问题优先采用整体法。
(2)涉及物体间相互作用的内力时，必须采用隔离法。
(3)若连接体内各物体具有相同的加速度且需要求解物体间的相互作用力，就可以先用整体法求出加速度，再用隔离法分析其中一个物体的受力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
(4)若已知某个物体的受力情况，可先隔离该物体求出加速度，再以整体为研究对象求解外力。
类型1 加速度相同的连接体
[例1] 如图甲所示，A、B两木块的质量分别为mA、mB，A、B之间用水平细绳相连，在水平拉力F作用下沿水平面向右加速运动，重力加速度为g。
(1)若水平地面光滑，则A、B间绳的拉力为多大？
(2)若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ，则A、B间绳的拉力为多大？
(3)如图乙所示，若把两木块放在固定斜面上，两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ，在方向平行于斜面的拉力F作用下沿斜面向上加速，A、B间绳的拉力为多大？
尝试解答：
“串接式”连接体中弹力的“分配协议”
如图所示，对于一起做加速运动的物体系统，m1和m2间的弹力F12或中间绳的拉力FT的大小遵守以下力的“分配协议”：
(1)若外力F作用于m1上，则F12＝FT＝；
(2)若外力F作用于m2上，则F12＝FT＝。
注意：①此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同)；
②此“协议”与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关；
③物体系统处于水平面、斜面或竖直方向上一起加速运动时此“协议”都成立。
类型2 加速度不同的连接体
[例2] 如图所示，A、B、C三个物体以轻质细绳1、2相连，mA＝2 kg，mB＝3 kg，mC＝1 kg，A、C与水平桌面间的动摩擦因数均为μ＝0.25，不计绳2与滑轮间的摩擦，取g＝10 m/s2，求：
(1)系统的加速度大小；
(2)绳1和绳2中的张力大小。
尝试解答：
[题点全练清]
1．(多选)如图所示，两滑块上下底面平行叠放在一起，置于固定的、倾角为θ的斜面上，滑块A、B的质量分别为mA、mB，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A间的动摩擦因数为μ2，当地重力加速度为g。已知两滑块由静止开始以相同的加速度从斜面顶端滑下，滑块B受到的摩擦力( )
A．方向沿斜面向上
B．大小等于μ1mAgcos θ
C．大小等于μ1mBgcos θ
D．大小等于μ2mBgcos θ
2.如图所示，物体A重20 N，物体B重5 N，不计一切摩擦和绳的重力，当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为(g取10 m/s2)( )
A．6 m/s2,8 N B．10 m/s2,8 N
C．8 m/s2,6 N D．6 m/s2,9 N
3．(多选)如图所示，质量为M、倾角为30°的斜面体置于水平地面上，一轻绳绕过两个轻质滑轮连接着固定点P和物体B，两滑轮之间的轻绳始终与斜面平行，物体A、B的质量分别为m、2m，A与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，将A、B由静止释放，在B下降的过程中(物体A未碰到滑轮)，斜面体静止不动。下列说法正确的是( )
A．轻绳对P点的拉力大小为mg
B．物体A的加速度大小为g
C．地面对斜面体的摩擦力大小为mg
D．地面对斜面体的支持力大小为g
主题(二) 动力学图像问题
[知能融会通]
1．图像的类型
在动力学问题中，常见的图像是v t图像、F t图像、a F图像等，这些图像反映的是物体的运动规律、受力规律，而不是代表物体的运动轨迹。
2．图像的应用
(1)已知物体在一过程中所受的某个力随时间变化的图线，分析物体的运动情况。
(2)已知物体在一运动过程中速度、加速度随时间变化的图线，分析物体的受力情况。
(3)通过图像对物体的受力与运动情况进行分析。
3．解题策略
(1)分清图像的横、纵坐标所代表的物理量及单位，并且注意坐标原点是否从0开始，明确其物理意义。
(2)明确图线斜率、面积的物理意义，如v t图线的斜率表示加速度，面积表示位移。注意图线中一些特殊点所表示的物理意义：图线与横、纵坐标的交点，图线的转折点，两图线的交点等。
(3)明确能从图像中获得哪些信息，把图像与具体的题意、情境结合，并结合斜率、特殊点等的物理意义，找出图像中隐藏的有用信息(如v t图线所围面积表示位移等)，并结合牛顿运动定律求解。
(4)利用横、纵坐标所代表的物理量间的函数关系对图像进行分析。
[典例] 如图甲所示，质量为m＝2 kg的物体在水平面上向右做直线运动。过a点时给物体作用一个水平向左的恒力F并开始计时，选水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，所得v t图像如图乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)力F的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ；
(2)10 s末物体离a点的距离。
尝试解答：
[题点全练清]
1．一列复兴号动车在平直的铁道上由静止开始加速运动。已知动车受到的牵引力恒定，受到的阻力与其速率成正比，动车能达到的最大速度为vm。下列图像能大致描述动车加速阶段的速度变化规律的是( )
2．放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系图像和物块的速度v与时间t的关系图像如图甲、乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2，由此两图像可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数μ分别为( )
A．0.5 kg,0.4 B．1.5 kg，
C．0.5 kg,0.2 D．1 kg,0.2
主题(三) 临界极值问题
[知能融会通]
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态。
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
3．临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力FN＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力FT＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为0
[典例] 如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)。
(1)当滑块以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？
(2)当滑块以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力刚好等于零？
(3)当滑块以2g的加速度向左加速运动时，线上的拉力为多大？(不计空气阻力)
尝试解答：
[题点全练清]
1．(2023·北京高考)如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为( )
A．1 N B．2 N
C．4 N D．5 N
2.如图所示，质量为M的长木板位于光滑水平面上，质量为m的物块静止在长木板上，两者之间的动摩擦因数为μ。现对物块施加水平向右的恒力F，若恒力F超过某一临界数值，长木板与物块将发生相对滑动。重力加速度大小为g，物块与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力，则恒力F的临界值为( )
A．μmg B．μMg
C．μmg D．μmg
综合·融通(一) 动力学中的三类典型问题
主题(一)
[例1] 解析：(1)若地面光滑，以A、B整体为研究对象，有F＝(mA＋mB)a，然后隔离出B为研究对象，有FT1＝mBa，联立解得FT1＝F。
(2)若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ，以A、B整体为研究对象，有F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a1，然后隔离出B为研究对象，有FT2－μmBg＝mBa1，联立解得FT2＝F。
(3)在题图乙中，以A、B整体为研究对象，设斜面的倾角为θ，F－(mA＋mB)gsin θ－μ(mA＋mB)gcos θ＝(mA＋mB)a2，以B为研究对象，FT3－mBgsin θ－μmBgcos θ＝mBa2，联立解得FT3＝F。
答案：(1)F (2)F (3)F
[例2] 解析：设系统的加速度大小为a，绳1的张力大小为F1，绳2的张力大小为F2。
对C由牛顿第二定律得F1－μmCg＝mCa
对A、C整体由牛顿第二定律得
F2－μ(mA＋mC)g＝(mA＋mC)a
对B由牛顿第二定律得mBg－F2＝mBa
解得：a＝3.75 m/s2，F1＝6.25 N，F2＝18.75 N。
答案：(1)3.75 m/s2 (2)6.25 N 18.75 N
[题点全练清]
1．选AC 以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得加速度为a＝g(sin θ－μ1cos θ)，设A对B的摩擦力方向沿斜面向下，大小为Ff，则有mBgsin θ＋Ff＝mBa，得到Ff＝mBa－mBgsin θ＝－μ1mBgcos θ，负号表示摩擦力方向沿斜面向上，故A、C正确，B、D错误。
2．选A 静止释放后，物体A将加速下降，物体B将加速上升，二者加速度大小相等，由牛顿第二定律，对A有mAg－FT＝mAa，对B有FT－mBg＝mBa，代入数据解得a＝6 m/s2，FT＝8 N，A正确。
3．选AC 由于相同时间内物体B通过的位移大小是物体A通过的位移大小的两倍，则物体B的加速度大小是物体A的加速度大小的两倍；设物体A的加速度大小为a，则B的加速度大小为2a；设物体A、B释放瞬间，轻绳的拉力大小为T，根据牛顿第二定律得2T－mgsin 30°－μmgcos 30°＝ma,2mg－T＝2m·2a，代入数据，联立解得T＝mg，a＝g，A正确，B错误；物体B下降过程中，对斜面体、A、B整体，水平方向根据牛顿第二定律得Tcos 30°－f＝macos 30°，解得地面对斜面体的摩擦力为f＝mg，C正确；物体B下降过程中，对斜面体、A、B整体，在竖直方向根据牛顿第二定律得(M＋3m)g－FN－Tsin 30°＝2m·2a－masin 30°，解得地面对斜面体的支持力为FN＝g，D错误。
主题(二)
[典例] 解析：(1)设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，则由v t图像得
a1＝m/s2＝2 m/s2
根据牛顿第二定律，有F＋μmg＝ma1
设物体向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由v t图像得a2＝ m/s2＝1 m/s2
根据牛顿第二定律，有F－μmg＝ma2
联立解得F＝3 N，μ＝0.05。
(2)设10 s末物体离a点的位移为d，
d应为v t图像与横轴所围的面积，则
d＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，负号表示物体在a点左边。
答案：(1)3 N 0.05 (2)2 m
[题点全练清]
1．选C 根据牛顿第二定律可得a＝，动车受到的牵引力F恒定，受到的阻力f随着速度的增大而增大，则动车做加速度减小的加速运动；当阻力增大到等于牵引力时，动车开始做匀速直线运动。由v t图线的斜率表示加速度的大小可知，v t图线的斜率逐渐减小为0。故选C。
2．选A 由题图得，在4～6 s内物块做匀速直线运动，可知Ff＝2 N，在2～4 s内物块做匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2，根据牛顿第二定律有：F－Ff＝ma，解得：m＝0.5 kg，又Ff＝μmg，解得：μ＝0.4，故A项正确。
主题(三)
[典例] 解析：(1)当FT＝0时，小球受重力mg和斜面支持力FN作用，如图甲所示。由牛顿第二定律得FNcos 45°＝mg，FNsin 45°＝ma1，解得a1＝g。故当滑块向右运动的加速度为g时线对小球的拉力刚好为0。
(2)由牛顿第三定律知，小球对滑块压力刚好为零时，滑块对小球支持力也为零。当FN＝0时，小球受重力和拉力，F合＝，由牛顿第二定律得F合＝ma2，则a2＝＝g。
(3)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和球的重力的作用，如图乙所示，此时对小球受力分析，由牛顿第二定律得FT′cos α＝ma′，FT′sin α＝mg，解得FT′＝m＝mg。
答案：(1)g (2)g (3)mg
[题点全练清]
1．选C 拉力F最大时，对两物块整体受力分析有F＝2ma，再对后面的物块受力分析有FTmax＝ma，FTmax＝2 N，联立解得F＝4 N。
2．选C 物块与长木板恰好不发生相对滑动时，对整体有F＝(M＋m)a，对长木板有μmg＝Ma，解得F＝μmg，C正确。
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动力学中的三类典型问题
(融会课—主题串知综合应用)
综合 融通(一)
连接体问题、动力学图像问题、临界极值问题是动力学的三类典型问题。其中解决连接体问题的关键是整体法和隔离法的灵活应用，而解决临界极值问题的关键是需要对临界状态和临界条件的正确判断，学习时应注意领会和把握。
1
主题(一) 连接体问题
2
主题(二) 动力学图像问题
3
逐点清(三) 临界极值问题
4
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一) 连接体问题
1．连接体
多个相互关联的物体连接(叠放，并排或由绳子、细杆联系)在一起的物体组称为连接体。
知能融会通
2．常见连接体模型
3．连接体问题的处理方法
(1)整体法：把整个系统作为一个研究对象，不必考虑系统的内力，只需分析系统受到的外力，然后依据牛顿第二定律列方程求解。
(2)隔离法：把系统中的一部分作为研究对象，此时系统的内力就有可能成为该研究对象所受的外力，在分析时应加以注意，一般隔离受力较少的物体。
4．整体法与隔离法的选择
(1)整体法的研究对象少、受力少、方程少，所以连接体问题优先采用整体法。
(2)涉及物体间相互作用的内力时，必须采用隔离法。
(3)若连接体内各物体具有相同的加速度且需要求解物体间的相互作用力，就可以先用整体法求出加速度，再用隔离法分析其中一个物体的受力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
(4)若已知某个物体的受力情况，可先隔离该物体求出加速度，再以整体为研究对象求解外力。
类型1 加速度相同的连接体
[例1] 如图甲所示，A、B两木块的质量分别为mA、mB，A、B之间用水平细绳相连，在水平拉力F作用下沿水平面向右加速运动，重力加速度为g。
(1)若水平地面光滑，则A、B间绳的拉力为多大？
(2)若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ，则A、B间绳的拉力为多大？
(3)如图乙所示，若把两木块放在固定斜面上，两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ，在方向平行于斜面的拉力F作用下沿斜面向上加速，A、B间绳的拉力为多大？
[思维建模]
“串接式”连接体中弹力的“分配协议”
如图所示，对于一起做加速运动的物体系统，m1和m2间的弹力F12或中间绳的拉力FT的大小遵守以下力的“分配协议”：
②此“协议”与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关；
③物体系统处于水平面、斜面或竖直方向上一起加速运动时此“协议”都成立。
类型2 加速度不同的连接体
[例2] 如图所示，A、B、C三个物体以轻质细绳
1、2相连，mA＝2 kg，mB＝3 kg，mC＝1 kg，A、C
与水平桌面间的动摩擦因数均为μ＝0.25，不计绳2与
滑轮间的摩擦，取g＝10 m/s2，求：
(1)系统的加速度大小；
(2)绳1和绳2中的张力大小。
[答案] (1)3.75 m/s2
(2)6.25 N 18.75 N
[解析] 设系统的加速度大小为a，绳1的张力大小为F1，绳2的张力大小为F2。
对C由牛顿第二定律得F1－μmCg＝mCa
对A、C整体由牛顿第二定律得
F2－μ(mA＋mC)g＝(mA＋mC)a
对B由牛顿第二定律得mBg－F2＝mBa
解得：a＝3.75 m/s2，F1＝6.25 N，F2＝18.75 N。
1.(多选)如图所示，两滑块上下底面平行叠放在
一起，置于固定的、倾角为θ的斜面上，滑块A、B的
质量分别为mA、mB，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A间的动摩擦因数为μ2，当地重力加速度为g。已知两滑块由静止开始以相同的加速度从斜面顶端滑下，滑块B受到的摩擦力( )
A．方向沿斜面向上 B．大小等于μ1mAgcos θ
C．大小等于μ1mBgcos θ D．大小等于μ2mBgcos θ
题点全练清
√
√
解析：以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得加速度为a＝g(sin θ－μ1cos θ)，设A对B的摩擦力方向沿斜面向下，大小为Ff，则有mBgsin θ＋Ff＝mBa，得到Ff＝mBa－mBgsin θ＝－μ1mBgcos θ，负号表示摩擦力方向沿斜面向上，故A、C正确，B、D错误。
2.如图所示，物体A重20 N，物体B重5 N，不计一切摩擦和绳的重力，当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为(g取10 m/s2)( )
A．6 m/s2,8 N B．10 m/s2,8 N
C．8 m/s2,6 N D．6 m/s2,9 N
√
解析：静止释放后，物体A将加速下降，物体B将加速上升，二者加速度大小相等，由牛顿第二定律，对A有mAg－FT＝mAa，对B有FT－mBg＝mBa，代入数据解得a＝6 m/s2，FT＝8 N，A正确。
√
√
主题(二) 动力学图像问题
1．图像的类型
在动力学问题中，常见的图像是v-t图像、F-t图像、a-F图像等，这些图像反映的是物体的运动规律、受力规律，而不是代表物体的运动轨迹。
知能融会通
2．图像的应用
(1)已知物体在一过程中所受的某个力随时间变化的图线，分析物体的运动情况。
(2)已知物体在一运动过程中速度、加速度随时间变化的图线，分析物体的受力情况。
(3)通过图像对物体的受力与运动情况进行分析。
3．解题策略
(1)分清图像的横、纵坐标所代表的物理量及单位，并且注意坐标原点是否从0开始，明确其物理意义。
(2)明确图线斜率、面积的物理意义，如v-t图线的斜率表示加速度，面积表示位移。注意图线中一些特殊点所表示的物理意义：图线与横、纵坐标的交点，图线的转折点，两图线的交点等。
(3)明确能从图像中获得哪些信息，把图像与具体的题意、情境结合，并结合斜率、特殊点等的物理意义，找出图像中隐藏的有用信息(如v-t图线所围面积表示位移等)，并结合牛顿运动定律求解。
(4)利用横、纵坐标所代表的物理量间的函数关系对图像进行分析。
[典例] 如图甲所示，质量为m＝2 kg的物体在水平面上向右做直线运动。过a点时给物体作用一个水平向左的恒力F并开始计时，选水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，所得v-t图像如图乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)力F的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ；
[答案] 3 N 0.05
(2)10 s末物体离a点的距离。
[答案] 2 m
1．一列复兴号动车在平直的铁道上由静止开始加速运动。已知动车受到的牵引力恒定，受到的阻力与其速率成正比，动车能达到的最大速度为vm。下列图像能大致描述动车加速阶段的速度变化规律的是( )
题点全练清
√
2．放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系图像和物块的速度v与时间t的关系图像如图甲、乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2，由此两图像可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数μ分别为( )
解析：由题图得，在4～6 s内物块做匀速直线运动，可知Ff＝2 N，在2～4 s内物块做匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2，根据牛顿第二定律有：F－Ff＝ma，解得：m＝0.5 kg，又Ff＝μmg，解得：μ＝0.4，故A项正确。
√
主题(三) 临界极值问题
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态。
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
知能融会通
3．临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力FN＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力FT＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为0
续表
[典例] 如图所示，细线的一端固定在倾角为45°
的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质
量为m的小球(重力加速度为g)。
(1)当滑块以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？
[答案] g
[解析] 当FT＝0时，小球受重力mg和斜面支持力
FN作用，如图甲所示。由牛顿第二定律得
FNcos 45°＝mg，FNsin 45°＝ma1，解得a1＝g。
故当滑块向右运动的加速度为g时线对小球的拉力刚好为0。
(2)当滑块以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力刚好等于零？
[答案] g
(3)当滑块以2g的加速度向左加速运动时，线上的拉力为多大？(不计空气阻力)
1．(2023·北京高考)如图所示，在光滑水平
地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量
均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为( )
A．1 N B．2 N
C．4 N D．5 N
题点全练清
√
解析：拉力F最大时，对两物块整体受力分析有F＝2ma，再对后面的物块受力分析有FTmax＝ma，FTmax＝2 N，联立解得F＝4 N。
2.如图所示，质量为M的长木板位于光滑水平
面上，质量为m的物块静止在长木板上，两者之间的动摩擦因数为μ。现对物块施加水平向右的恒力F，若恒力F超过某一临界数值，长木板与物块将发生相对滑动。重力加速度大小为g，物块与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力，则恒力F的临界值为( )
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课时跟踪检测
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(选择题1～10小题，每小题5分。本检测卷满分80分)
1．(2024·厦门高一检测)A、B两物体中间连接一劲度系数为k＝200 N/m的轻弹簧，静止置于光滑水平面上，此时弹簧的长度为10 cm，两物体质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg，现用F＝6 N、水平向右的力拉物体A。则稳定后( )
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A．A物体的加速度为3 m/s2
B．弹簧的弹力为3 N
C．弹簧的长度为13 cm
D．弹簧的长度为11 cm
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3．一物块静止在粗糙的水平桌面上，从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用。假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以a表示物块的加速度大小，F表示水平拉力的大小，能正确描述F与a之间的关系的图像是( )
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解析：设物块所受滑动摩擦力的大小为f，在水平拉力F作用下，物块做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得，F－f＝ma即F＝ma＋f，所以能正确描述F与a之间关系的图像是C。
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5.如图所示，木板A与木块B叠放在光滑的水平面
上，两者间的动摩擦因数为0.8，A的质量是B的质量
的2倍，水平拉力F作用在木块B上，两者一起做匀加速直线运动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当B相对A刚要滑动时，F与B的重力的比值为( )
A．0.6 B．1
C．1.2 D．1.5
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解析：设B的质量为m，则A的质量为2m，对A、B整体应用牛顿第二定律有F＝3ma，当B相对A刚要滑动时，B对A摩擦力大小为0.8mg，对A应用牛顿第二定律有0.8mg＝2ma，联立解得F＝1.2mg，即拉力F是B的重力的1.2倍，C项正确。
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6．大质量钢卷是公路运输中的危险物品，如图符合规范的装载支架是安全运输的保障，运输过程中必须要求“缓加速慢减速”。若已知支架斜面均与水平面成α＝30°，重力加速度为g，则运输车刹车时加速度不能超过( )
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7.如图所示，一可视为质点的小物块先后沿两光滑斜面Ⅰ和Ⅱ从顶端由静止滑下，到达底端的时间分别为t1和t2，斜面Ⅰ与水平面的夹角为30°，斜面Ⅱ与水平面的夹角为45°(未标出)，则( )
A．t1>t2 B．t1＝t2
C．t1
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8.如图所示，四只猴子水中捞月，它们将一颗又直
又高的树压弯，竖直倒挂在树梢上，从上到下依次为1、
2、3、4号猴子。正当4号打算伸手捞“月亮”时，3号
突然两手一滑没抓稳，4号扑通一声掉进了水里。假设3号手滑前四只猴子都处于静止状态，四只猴子的质量都相等且为m，重力加速度为g，那么在3号猴子手滑后的一瞬间( )
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9．(多选)吊桶灭火是利用直升机外挂吊桶载水，从空中直接将水喷洒在火源上，进而扑灭火灾的方法。在一次灭火演练中，直升机取水后在空中直线上升，其上升过程的v-t图像如图乙所示，已知水与吊桶总质量为4 000 kg，吊桶的直径为1.8 m，如图甲所示，四根长度均为4.1 m的轻绳等间距的系在吊桶边缘，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
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A．2～4 s内轻绳的拉力大小大于0～2 s内轻绳的拉力大小
B．2～4 s内轻绳的拉力大小小于0～2 s内轻绳的拉力大小
C．4～8 s内每根轻绳的拉力大小均为5 125 N
D．4～8 s内每根轻绳的拉力大小均为5 250 N
解析：由v-t图像可知，2～4 s内吊桶匀速上升，拉力大小等于重力大小，在0～2 s内吊桶加速上升，则轻绳的拉力大小大于重力大小，可知2～4 s内轻绳的拉力大小小于0～2 s内轻绳的拉力大小，A错误，B正确；
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10.如图所示，静止在水平面上的小车内有一质量m＝1 kg的物体通过两根细绳悬挂在车顶，AC绳与水平面成53°，BC绳与水平面成37°，g取10 m/s2。若小车在水平面上向右做直线运动，下列说法正确的是 (sin 37°＝0.6)( )
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11.(12分)如图所示，质量为4 kg的小球用细绳拴着
吊在行驶的汽车后壁上，绳与竖直方向的夹角为37°。
已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)当汽车以a1＝2 m/s2的加速度向右匀减速行驶时，细绳对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小；
答案：50 N 22 N
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解析：(1)当汽车向右匀减速行驶时，设小球所受车
后壁弹力为0时(临界状态)的加速度为a0，受力分析如图
甲所示。
由牛顿第二定律和平衡条件得：FTsin 37°＝ma0，
FTcos 37°＝mg，
联立并代入数据得：
a0＝7.5 m/s2。
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当汽车以加速度a1＝2 m/s2由牛顿第二定律和平衡条件得：
FT1sin 37°－FN1＝ma1，
FT1cos 37°＝mg，
联立并代入数据得：FT1＝50 N，FN1＝22 N，
由牛顿第三定律知，小球对车后壁的压力大小为22 N。
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(2)当汽车以a2＝10 m/s2的加速度向右匀减速行驶时，细绳对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小。
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12．(18分)如图甲所示，重物A和滑块B用细线跨过定滑轮相连，重物A的质量为m＝0.5 kg，滑块B的质量为M＝1.5 kg。t＝0时刻，A、B速度为零，绳处于绷紧状态，重物A距地面的高度为1.4 m，此时对滑块B施加一个水平向右的拉力F，拉力F的大小随时间的变化规律如图乙所示。桌面和B之间、细线与定滑轮之间的摩擦力很小，可忽略不计。若重物A距定滑轮的高度足够，求：(取g＝10 m/s2)
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(1)滑块B前2 s的加速度的大小；
答案：0.5 m/s2
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解析：在0～2 s内，由牛顿第二定律可得
对B：F－T＝Ma1
对A：T－mg＝ma1，联立解得a1＝0.5 m/s2。
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(2)4 s内重物A上升的高度；
答案：1 m
解析：在2～4 s内，由牛顿第二定律可得
对B：T′－F′＝Ma2
对A：mg－T′＝ma2，解得a2＝1 m/s2
0～2 s内，设A的位移为h1,2 s末速度为v1，
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(3)若4 s末绳子由于磨损断裂，重物A又经过多长时间落回地面。
答案：0.6 s
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4课时跟踪检测(二十三) 动力学中的三类典型问题
(选择题1～10小题，每小题5分。本检测卷满分80分)
1．(2024·厦门高一检测)A、B两物体中间连接一劲度系数为k＝200 N/m的轻弹簧，静止置于光滑水平面上，此时弹簧的长度为10 cm，两物体质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg，现用F＝6 N、水平向右的力拉物体A。则稳定后( )
A．A物体的加速度为3 m/s2 B．弹簧的弹力为3 N
C．弹簧的长度为13 cm D．弹簧的长度为11 cm
2.如图所示，并排放在光滑水平面上的两物体的质量分别为m1和m2，且m1＝2m2。当用水平推力F向右推m1时，两物体间的相互作用力的大小为FN，则( )
A．FN＝F B．FN＝F
C．FN＝F D．FN＝F
3．一物块静止在粗糙的水平桌面上，从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用。假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以a表示物块的加速度大小，F表示水平拉力的大小，能正确描述F与a之间的关系的图像是( )
4.如图所示，固定的光滑斜面倾角为30°，斜面顶端固定一小定滑轮，两个小物块P和Q用细线绕过定滑轮相连，细线平行于斜面，P、Q的质量分别为3m和m，在手的作用下保持静止。现松手释放该系统，则细线的拉力为( )
A．mg B.mg C.mg D.mg
5.如图所示，木板A与木块B叠放在光滑的水平面上，两者间的动摩擦因数为0.8，A的质量是B的质量的2倍，水平拉力F作用在木块B上，两者一起做匀加速直线运动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当B相对A刚要滑动时，F与B的重力的比值为( )
A．0.6 B．1
C．1.2 D．1.5
6．大质量钢卷是公路运输中的危险物品，如图符合规范的装载支架是安全运输的保障，运输过程中必须要求“缓加速慢减速”。若已知支架斜面均与水平面成α＝30°，重力加速度为g，则运输车刹车时加速度不能超过( )
A．0.5g B.g C.g D.g
7.如图所示，一可视为质点的小物块先后沿两光滑斜面Ⅰ和Ⅱ从顶端由静止滑下，到达底端的时间分别为t1和t2，斜面Ⅰ与水平面的夹角为30°，斜面Ⅱ与水平面的夹角为45°(未标出)，则( )
A．t1>t2 B．t1＝t2
C．t18.如图所示，四只猴子水中捞月，它们将一颗又直又高的树压弯，竖直倒挂在树梢上，从上到下依次为1、2、3、4号猴子。正当4号打算伸手捞“月亮”时，3号突然两手一滑没抓稳，4号扑通一声掉进了水里。假设3号手滑前四只猴子都处于静止状态，四只猴子的质量都相等且为m，重力加速度为g，那么在3号猴子手滑后的一瞬间( )
A．4号猴子的加速度和速度都等于0
B．3号猴子的加速度大小为g，方向竖直向上
C．2号猴子对3号猴子的作用力大小为
D．1号猴子对2号猴子的作用力大小为
9．(多选)吊桶灭火是利用直升机外挂吊桶载水，从空中直接将水喷洒在火源上，进而扑灭火灾的方法。在一次灭火演练中，直升机取水后在空中直线上升，其上升过程的v t图像如图乙所示，已知水与吊桶总质量为4 000 kg，吊桶的直径为1.8 m，如图甲所示，四根长度均为4.1 m的轻绳等间距的系在吊桶边缘，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．2～4 s内轻绳的拉力大小大于0～2 s内轻绳的拉力大小
B．2～4 s内轻绳的拉力大小小于0～2 s内轻绳的拉力大小
C．4～8 s内每根轻绳的拉力大小均为5 125 N
D．4～8 s内每根轻绳的拉力大小均为5 250 N
10.如图所示，静止在水平面上的小车内有一质量m＝1 kg的物体通过两根细绳悬挂在车顶，AC绳与水平面成53°，BC绳与水平面成37°，g取10 m/s2。若小车在水平面上向右做直线运动，下列说法正确的是(sin 37°＝0.6)( )
A．若小车做匀速直线运动，则AC绳拉力为6 N
B．若小车做加速度a＝7.5 m/s2的匀加速运动，则BC绳拉力为 N
C．若小车做加速度a＝ m/s2的匀加速运动，则AC绳拉力为0
D．若小车做加速度a＝15 m/s2的匀加速运动，则BC绳拉力为18.75 N
11.(12分)如图所示，质量为4 kg的小球用细绳拴着吊在行驶的汽车后壁上，绳与竖直方向的夹角为37°。已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)当汽车以a1＝2 m/s2的加速度向右匀减速行驶时，细绳对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小；
(2)当汽车以a2＝10 m/s2的加速度向右匀减速行驶时，细绳对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小。
12. (18分)如图甲所示，重物A和滑块B用细线跨过定滑轮相连，重物A的质量为m＝0.5 kg，滑块B的质量为M＝1.5 kg。t＝0时刻，A、B速度为零，绳处于绷紧状态，重物A距地面的高度为1.4 m，此时对滑块B施加一个水平向右的拉力F，拉力F的大小随时间的变化规律如图乙所示。桌面和B之间、细线与定滑轮之间的摩擦力很小，可忽略不计。若重物A距定滑轮的高度足够，求：(取g＝10 m/s2)
(1)滑块B前2 s的加速度的大小；
(2)4 s内重物A上升的高度；
(3)若4 s末绳子由于磨损断裂，重物A又经过多长时间落回地面。
课时跟踪检测(二十三)
1．选D 稳定后，物体A、B以相同的加速度运动，则a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A错误；以物体B为分析对象，根据牛顿第二定律可得F弹＝mBa＝2 N，故B错误；根据胡克定律，弹簧的形变量为Δl＝＝＝0.01 m＝1 cm，所以弹簧的长度为l＝l0＋Δl＝11 cm，故C错误，D正确。
2．选C 当用F向右推m1时，对两物体整体研究，由牛顿第二定律可得F＝(m1＋m2)a，对质量为m2的物体研究，有FN＝m2a＝F，因m1＝2m2，得FN＝。故选项C正确。
3．选C 设物块所受滑动摩擦力的大小为f，在水平拉力F作用下，物块做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得，F－f＝ma即F＝ma＋f，所以能正确描述F与a之间关系的图像是C。
4．选D P的重力沿斜面向下的分力为F＝3mgsin 30°＝mg，整个系统沿细线的合外力为F合＝mg－mg＝mg，则系统的加速度大小为a＝＝g，对Q由牛顿第二定律得T－mg＝m·g，解得T＝mg，故选D。
5．选C 设B的质量为m，则A的质量为2m，对A、B整体应用牛顿第二定律有F＝3ma，当B相对A刚要滑动时，B对A摩擦力大小为0.8mg，对A应用牛顿第二定律有0.8mg＝2ma，联立解得F＝1.2mg，即拉力F是B的重力的1.2倍，C项正确。
6．选B 对钢卷受力分析，可知临界时，后支架斜面与钢卷间无作用力，前支架斜面与钢卷间有支持力N，由牛顿第二定律得Ncos α＝mg，Nsin α＝ma，解得a＝gtan α＝gtan 30°＝g，运输车刹车时加速度不能超过g。故选B。
7．选A 设斜面的底边长为L，斜面的倾角为θ ，则斜边的长度x＝，根据牛顿第二定律得mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ，根据x＝at2，解得t＝，将θ ＝30°、45°代入可得t28．选C 在3号猴子手滑后的一瞬间，4号猴子只受重力作用，其加速度等于重力加速度，速度等于0，A错误；在3号猴子手滑后的一瞬间，1号、2号、3号猴子的加速度a相同，由牛顿第二定律有mg＝3ma，解得a＝g，加速度的方向竖直向上，B错误；设2号猴子对3号猴子的作用力大小为F23，则有23－mg＝ma，解得F23＝，C正确；设1号猴子对2号猴子的作用力大小为F12，则有F12－2mg＝2ma，解得F12＝，D错误。
9．选BC 由v t图像可知，2～4 s内吊桶匀速上升，拉力大小等于重力大小，在0～2 s内吊桶加速上升，则轻绳的拉力大小大于重力大小，可知2～4 s内轻绳的拉力大小小于0～2 s内轻绳的拉力大小，A错误，B正确；4～8 s内吊桶减速上升，加速度大小为a＝ m/s2＝5 m/s2，四根轻绳的合力为T＝mg－ma＝20 000 N，设每根轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有cos θ＝＝，则4T1cos θ＝T，解得每根轻绳的拉力大小均为T1＝5 125 N，C正确，D错误。
10．选C 若小车做匀速直线运动，对物体进行受力分析，有TAC＝mgsin 53°＝8 N，故A错误；若小车做加速度为7.5 m/s2的匀加速运动，对物体分析有TBC1cos 37°－TAC1cos 53°＝ma1，TBC1sin 37°＋TAC1sin 53°＝mg，解得TBC1＝12 N，故B错误；若小车做加速度为 m/s2的匀加速运动，对物体分析有TBC2cos 37°－TAC2cos 53°＝ma2，TBC2sin 37°＋TAC2sin 53°＝mg，解得TAC2＝0，故C正确；若小车做加速度为15 m/s2的匀加速运动，由于15 m/s2> m/s2，结合上述可知，此时AC绳弹力为0，BC绳稳定后，对物体分析有TBC3＝，解得TBC3＝5 N ≈18.03 N，故D错误。
11．解析：(1)当汽车向右匀减速行驶时，设小球所受车后壁弹力为0时(临界状态)的加速度为a0，受力分析如图甲所示。
由牛顿第二定律和平衡条件得：FTsin 37°＝ma0，
FTcos 37°＝mg，
联立并代入数据得：a0＝7.5 m/s2。
当汽车以加速度a1＝2 m/s2由牛顿第二定律和平衡条件得：
FT1sin 37°－FN1＝ma1，
FT1cos 37°＝mg，
联立并代入数据得：FT1＝50 N，FN1＝22 N，
由牛顿第三定律知，小球对车后壁的压力大小为22 N。
(2)因为a2＝10 m/s2>a0，所以小球会飞起来，FN2＝0，故小球对车后壁的压力为0，细绳对小球的拉力为FT2＝＝40 N。
答案：(1)50 N 22 N (2)40 N 0
12．解析：(1)在0～2 s内，由牛顿第二定律可得
对B：F－T＝Ma1
对A：T－mg＝ma1，联立解得a1＝0.5 m/s2。
(2)在2～4 s内，由牛顿第二定律可得
对B：T′－F′＝Ma2
对A：mg－T′＝ma2，解得a2＝1 m/s2
0～2 s内，设A的位移为h1,2 s末速度为v1，
则h1＝a1t2＝1 m，v1＝a1t＝1 m/s
2～4 s内，A的位移h2＝v1t－a2t2＝0
4 s内A上升的高度h＝h1＋h2＝1 m。
(3)重物A在4 s末的速度v2＝v1－a2t＝－1 m/s
此时A距地面高度：H＝h＋1.4 m＝2.4 m
根据H＝－v2T＋gT2
解得T＝0.6 s。
答案：(1)0.5 m/s2 (2)1 m (3)0.6 s
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