北师大版（新课标）必修第二册第六章 立体几何初步 同步单元试卷（含详解）

北师大版（新课标）必修第二册《第六章立体几何初步》同步试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是( )
A. B. C. D.
2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为( )
A. B. C. D.
3.空间三条直线交于一点，则它们确定的平面数可为( )
A. B. 或或 C. 或 D. 或或或
4.正三棱台的上、下底边长分别为，，该正三棱台内部有一个内切球与上、下底面和三个侧面都相切，则正三棱台的高为( )
A. B. C. D.
5.如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.如图，四棱锥的底面是平行四边形，、分别为线段、上一点，若：：，且平面，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7.如图，在正方形中，、分别是、的中点，是的中点，现在沿、及把这个正方形折成一个空间图形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在这个空间图形中必有( )
A. 所在平面 B. 所在平面
C. 所在平面 D. 所在平面
8.榫卯结构是中国古建筑的一种结构方式，榫卯连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧图所示的木楔是榫卯结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图所示在几何体中，四边形为矩形，，，都与底面垂直，，，，直线到平面的距离为，则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
若，，则；若，，则；若，，，则；若，，，，，则．
其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是( )
A. 在平面内存在直线与平面平行
B. 在平面内存在直线与平面垂直
C. 平面平面
D. 直线与所成角为
11.在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论错误的是( )
A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面成的角为
C. 直线平面 D. 平面平面
12.在棱长为的正方体中，点是对角线上的点点与、不重合，则下列结论正确的个数为( )
存在点，使得平面平面； 存在点，使得平面；
若的面积为，则；
若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共5小题，共30分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.如图所示，在正方体 中，，分别为棱 ，的中点，其中正确的结论为( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线
C. 直线与是异面直线 D. 直线与所成的角为
14.某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则( )
A. B. C. D.
15.如图所示，在四棱锥中，是边长为的正三角形，点为正方形的中心，为线段的中点，，则下列结论正确的是( )
A. 直线与是异面直线
B. 线段与的长度不相等
C. 直线平面
D. 直线与平面所成角的正弦值为
16.如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，是线段上的动点含端点，则下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积为
B. 直三棱柱的外接球半径为
C. 的值可以为
D. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
17.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点下列说法正确的是( )
A. 存在某个位置，使
B. 存在某个位置，使
C. 当三棱锥体积取得最大值时，与平面成角的正切值为
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
18.如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则 ．
19.如图，在三棱锥中，，，过点作截面，分别交侧棱，于，两点，则周长的最小值为 ．
20.已知正方体是边长为的正方体，点为正方体棱上的一动点，则使得的点有 个。用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知长方体中，、分别为和的中点，求证：
，，，四点共面；
、、三线共点．
22.本小题分
在三棱锥中，，，两两垂直，，．
求三棱锥的表面积
求到平面的距离．
23.本小题分
在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计。灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性。现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同。
求灯笼总体积。
灯笼所需纸张的总表面积。备注：灯笼上下底不糊纸。
24.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为中点，为中点，为线段上一点．
若为中点，求证：平面；
设直线与底面所成角的大小为，二面角的大小为，若，求的长度．
25.本小题分
如图，在三棱柱中，已知侧面，，
求证：平面；
是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长；
若为的中点，求二面角平面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有符合．
故选：．
2.【答案】
【解析】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，
所以该平面图形的高为．
故选：．
3.【答案】
【解析】如图，若平面、、两两相交，有三条交线，设三条交线分别为、、，
则直线、、交于一点，此时三条直线确定个平面；

如图，若直线、、交于一点，且直线、、是平面的相交直线，
此时直线、、只能确定平面，三条直线确定个平面；
综上所述，空间三条直线交于一点，可能确定的平面有个或个．
故选C．
4.【答案】
【解析】由题可知上下底正三角形的高分别为，
由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为，
则有 ，解得，
所以正三棱台的高为．
故选：．
5.【答案】
【解析】取的中点，连接，，
，
就是与所成角，
设，则，，，
在中，．
故选A．
6.【答案】
【解析】如图，连接交于点，连接交于点，连接，
由平面，平面，平面平面，可得，
，
，
为的中点，
作交于点，
，
：：，
，
：：：，
故选：．
7.【答案】
【解析】根据折叠前、后，不变，
，
平面，B正确；
过只有一条直线与平面垂直，不正确；
根据题意可知，，，
，
平面，
平面，
平面平面，
是以为直角的直角三角形，
过作直线垂直于平面，一定在平面内，不正确；
不垂直于，
不垂直于平面，不正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】如图，作，，，分别在棱，上，连接，
则几何体被分割为四棱锥与直三棱柱．
点到平面的距离为，
四棱锥的高为，
又四边形的面积为，
．
，，都与底面垂直，
即为直三棱柱的高，而，
，
故几何体的体积为．
9.【答案】
【解析】因为，所以在内必存在一条直线，使得．
又因为，所以，因此，因此为真命题；
因为，则或，因此不是真命题；
因为，所以．
又因为，所以在内存在．
由得，所以，因此是真命题；
因为，由，，得在内必存在，，且与相交，
使得，．
又因为，，所以，，所以，因此是真命题．
故答案为．
10.【答案】
【解析】设，的交点为，与的交点为，连接，，
则是的中点，，
又平面，平面，
平面，故A正确；
在平面内过点作直线的垂线，则，
，易得，，、平面，
平面，又平面，
，，，
又，，平面，
故而平面，故B正确；
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又，、平面，
平面平面，故C正确；
，或其补角为直线与所成角，
又是等边三角形，故，
即直线与所成角为，故D错误．
故选D．
11.【答案】
【解析】如图，过作，则为中点，连接，，则，，
又，平面，
平面，平面，
则，即异面直线与所成的角为，故A正确；
设和的交点为，为等边三角形的重心，
由四面体为正四面体，易知平面，
所以与平面所成的角即，又，所以；故B错误；
正四面体中，点，分别是，的中点，，
不在平面上，平面，平面，故C正确；
平面，而平面，平面平面，故D正确．
结论错误的是．
故选：．
12.【答案】
【解析】连接，设平面与体对角线交于点，
由，，，
平面，
可得平面，即平面，
又平面，
平面平面，
存在点，使得平面平面，故对；
由，，由面面平行的判定容易得：平面平面，
设平面与交于点，可得平面，故对；
连接交于点，过作，在正方体中，平面，平面，
，
为异面直线与的公垂线，根据∽，则
，即，
的最小面积为，故错；
在点从的中点向着点运动过程中，从减少趋向于，即，从增大到趋向于，即，
在这过程中，必存在某个点使得，故对．
故选：．
13.【答案】
【解析】平面，平面，，
直线与直线异面，故A不正确，
同理可证：直线与直线异面，故B不正确；直线与直线异面，故C正确，
利用平移法，可得直线与所成的角即为和所成角，即为，故D正确，
故选CD．
14.【答案】
【解析】由图知，故A正确，B错误
易知包装盒的高为，故，又，
所以故C错误，D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】对于选项，连接，由正方形的性质可知，为的中点，
又为线段的中点，
所以，平面，故A错误；
对于选项，因为底面是正方形，
所以．
又因为，平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以，
因为是边长为的正三角形，底面是正方形，
所以，，
又、分别是等腰三角形的底边和腰上的中线，
所以线段与的长度不相等否则，是正三角形，故B正确；
对于选项，由选项的分析可知，，显然不在平面内，
所以直线不垂直于平面，故 C错误；
对于选项，取的中点，连接、．
因为是边长为的正三角形，
所以，且，
由选项的分析可知平面，且平面，
故平面平面，
而平面平面，平面，
因此平面，
因此是直线与平面所成的角．
在边长为的正方形中，．
在中，，
所以，故D正确；
故选BD．
16.【答案】
【解析】对于选项，如下图所示，连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，
又因为的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，
，故A正确；
对于选项，直三棱柱可以补形为棱长为的正方体，其外接球半径为，故B错误；
对于选项，将平面和平面延展为一个平面，如下图所示：
可知，，，，，
则，，，
在中，，，，
由余弦定理可得
，
当且仅当，、三点共线时，取最小值，为，
故不可能为，故C错误；
对于选项，因为，，所以，
的内切圆半径为，
由于直径，
所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球，
而表面积为的球，设其半径为，，
因为，
所以这个直三棱柱内部可以放入半径为的球，故D正确．
故选：．
17.【答案】
【解析】对于：存在平面平面，使得，证明如下：
因为平面平面，平面平面，，平面，
则平面，因为平面，所以，
故存在平面平面，使，故A正确；
对于：若，又，
则平面，平面，得出矛盾，故B错误；
对于：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面，即是三棱锥的高，
又，平面平面，平面，所以平面，
所以是直线与平面所成的角，所以，故C正确；
对于：当时，因为为的中点，
所以，则，
又因为的中点，所以，
又，所以，所以，
如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，
则当三点共线时，最小，即的最小值为，
在中，，
则，
所以在中，由余弦定理得，
所以的最小值为，故D正确，
故选ACD．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球、圆柱的体积公式，为基础题．
由题意知小球的体积等于水面上升的的体积，根据几何体的体积公式列式求解即可得到结果．
【解答】
由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有，
化简可得，．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：
则即为的周长的最小值，
在中，，，
由余弦定理得：．
故答案为：．
20.【解析】如图，若在时，
由正方体的结构特征，只分析其中一条棱即可．
如图，当点在上时，取的中点，
因为平面，平面，
所以．
又，所以，
则．
又，，
所以此时存在一个点，使得．
所以在上分别有一个点，使得，共个．
若在时，取其中一条棱分析即可，
如图，沿将平面展开，与平面共面，
则，，
因为，
所以由对称性可得有两个点，使得，
共有个
综上所述，使得的点有个．
21.【答案】证明：如图，连接，
因为、分别为和的中点，
所以，
因为在长方体中，
易知，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，四点共面；
因为，且，
所以直线与必相交，
设，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为平面平面，所以，
所以、、三线共点．
22.【答案】在中，，，
则；
在中，，，
则；
在中，，，
则；
在等腰中，上的高为，，
则；
所以三棱锥的表面积为；
三棱锥的体积，
所以到平面的距离．
23.【答案】由题意，正六棱台高为，上底面积，下底面积，
故
，
正六棱柱高为，底面积，
故；
因此，
故灯笼总体积为．
由题意，顶部正六棱台梯形斜高为，每个梯形面积为，
故，
每个棱柱侧面积为，
故，
因此有，
故灯笼所需纸张的总表面积为．
24.证明：如图：
连接交于点，连接，
因为底面为正方形，为中点，为中点，
所以，因此四边形为平行四边形，所以为中点．
又因为为中点，所以，而平面，平面，因此平面．
如图：
取中点，连接，．
因为为线段中点，所以且．
又因为底面，所以底面，因此为斜线在平面内的射影，
所以为直线与底面所成角，即，．
在平面内，过作于，连接，．
因为底面，底面，所以，
而，，、平面，因此平面，
而平面，所以，
因此为二面角的平面角，即，．
因为，所以，即．
因为底面是边长为的正方形，所以设，则，
因此，，，
所以由得，
化简得，解得或，因此或．
25.证明：因为侧面，侧面，故，
因为，
由余弦定理可得，
则，
故，即，
又，平面，
故平面；
由已知侧面，平面，
故平面平面，
过作于，平面，平面平面，
则平面，
因平面，
故平面平面，此时点满足题意，
又因为四边形为平行四边形，
且
故；
由：平面，平面，则
过作交于，且都在平面内，
所以平面，则二面角平面角为或其补角，
因为侧面，所以，又，
所以，则，且，
所以，又，
，
故，
故二面角平面角的余弦值为．

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