天津市河北区2025年普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学试题（含详解）

天津市河北区2025年普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学试题
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. 或 D.
4.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，是边上一点，且，点是的中点．设，，则可以表示为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
8.已知，，则可以表示为( )
A. B. C. D.
9.若圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图面积是．
A. B. C. D.
10.是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11.甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
12.为了得到函数，只需要把图象上所有的点的( )
A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩小到原来的倍，横坐标不变
13.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
14.某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为( )
A. B. C. D.
15.某市为了解全市环境治理情况，对本市的家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成准分最高为分，统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于分的企业数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
16.函数的最大值为 ．
17.某学校高一、高二、高三分别有人、人、人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取 人．
18.是虚数单位，则复数 ．
19.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，，则 ．
20.若，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知，是第三象限角．
求和的值；
求的值．
22.本小题分
已知向量，，．
求的坐标，的值；
若，求实数的值；
若，求实数的值．
23.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，为的中点．
求证：平面；
求证：平面．
24.本小题分
已知函数，，
当时，求的值；
若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
若，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题设知，又，则．
故选：．
2.【答案】
【解析】因为角的终边经过点，
则，所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】由，可得或，故解集为或．
故选：．
4.【答案】
【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，
可得命题“，”的否定是
“，”．
故选：．
5.【答案】
【解析】要使得有意义，
则，解得：．
故选：．
6.【答案】
【解析】接：由题设，，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】对于，因为的定义域为，又因为，
所以是偶函数，不符合题意；
对于，令，则，
所以是偶函数，不符合题意；
对于，令，则，
所以是偶函数，不符合题意；
对于，令，
则，
所以是奇函数，符合题意．
故选：．
8.【答案】
【解析】由对数运算性质可得．
故选：．
9.【答案】
【解析】设该圆锥的侧面展开图面积为，底面半径为，母线长为，
则，
故选：．
10.【答案】
【解析】由复数在复平面内对应的点为，即位于第一象限．
故选：．
11.【答案】
【解析】由题设，甲乙都不能破译的概率为，
所以密码被成功破译的概率为．
故选：．
12.【答案】
【解析】为了得到函数，
只需要把图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变．
故选：．
13.【答案】
【解析】由题设且定义域为，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
当或时，故在定义域上有个零点．
故选：．
14.【答案】
【解析】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为，
两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间
，共个样本点，
两位参赛博主抽到不同主题的事件
，共个样本点，
所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为．
故选：．
15.【答案】
【解析】根据频率分布直方图，标准分不低于分的企业的频率为：
，
标准分不低于分的企业数为家．
故选：．
16.【答案】
【解析】由余弦函数的性质知，则，
当时，函数有最大值为．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】根据分层抽样等比例性质，从高三抽取人
故答案为：．
18.【答案】
【解析】．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】由题设．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：．
21.【答案】由，是第三象限角，则，
所以；
．
22.【答案】由题设，；
由题设，又，
所以，则，解得；
由及，则，解得．
23.【答案】证明：因为平面，平面，所以，
又平面为菱形，所以，
又平面，
所以平面；
证明：为的中点，设与交于点，连接，
则，又平面，平面，
所以平面．
24.【答案】当时，，则；
由题设恒成立，即恒成立，
所以，只需，可得；
由题设，在，，有成立，
对于，，易知，
对于，，
当，时，，显然，满足；
当，时，，只需，可得；
当，时，，只需，无解；
综上，实数的取值范围为．

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