2024-2025学年广东省湛江市雷州市八年级（下）期末数学试卷(含详解)

2024-2025学年广东省湛江市雷州市八年级（下）期末数学试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．（3分）某科技论坛对Deep Seek、豆包、腾讯元宝、夸克四款AI助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如表所示（单位：分）：
AI助手 评分（满分100）
Deep Seek 88
豆包 84
腾讯元宝 84
夸克 86
评分的众数和中位数分别是（　　）
A．84，86 B．84，88 C．88，85 D．84，85
4．（3分）若添加一个条件，使得 ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BC
5．（3分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x2 D．y＝3x
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
9．（3分）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1）
B．y随x的增大而增大
C．当时，y＞0
D．它的图象经过第一、二、三象限
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是（　　）
A．AB＝5 B．
C．菱形的面积为48 D．点A到BC的距离为
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是　 　 ．
12．（3分）某校为调查学生对2023年播出的《感动中国》节目中英雄人物事迹的了解情况，选取甲、乙、丙三个班级进行“感动中国故事知多少”的问卷测试，若甲、乙、丙三个班级的平均分相同，且方差分别为S甲2＝5.48，S乙2＝5.32，S丙2＝5.17，则甲、乙、丙三个班级中成比较稳定的是 　 　 班．（填“甲”或“乙”或“丙”）
13．（3分）如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 　 　 ．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，F是DC的中点，若EF＝2，则BC＝　 　 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE＝OE，AB＝2，则BC的长为　 　 ．
三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分）
16．（7分）计算：．
17．（7分）在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AF＝CE．
18．（7分）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺）
四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分）
19．（9分）某商店销售A，B两种服号的商品，销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元．
（1）求每台A型和B型商品的销售利润；
（2）商店计划购进A，B两种型号的商品共10台，其中A型商品数量不少于B型商品数量的一半，设购进A型商品m台，这10台商品的销售总利润为w元，求该商店购进A，B两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CA平分∠BCD，过点A作AE⊥CB，交CB延长线于点E．四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，连接EO．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝1，∠BCD＝60°，求△AEC的面积．
21．（9分）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：
A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86．
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，m＝ 　 　 ；
（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分）
22．（13分）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．
23．（14分）如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，，BF的长度为 　 　 ；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
2024-2025学年广东省湛江市雷州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C D B C C D C
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D． 是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
2．（3分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【解答】解：A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形；
C、因为32+42＝52，所以能构成直角三角形；
D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形．
故选：C．
3．（3分）某科技论坛对Deep Seek、豆包、腾讯元宝、夸克四款AI助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如表所示（单位：分）：
AI助手 评分（满分100）
Deep Seek 88
豆包 84
腾讯元宝 84
夸克 86
评分的众数和中位数分别是（　　）
A．84，86 B．84，88 C．88，85 D．84，85
【解答】解：数据按照从小到大排列是：84，84，86，88，
84出现次数最多，
故众数是84，中位数是，
故选：D．
4．（3分）若添加一个条件，使得 ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BC
【解答】解：A选项， ABCD中有AB＝CD，添加该条件不能证明 ABCD是菱形，A不符合题意，
B选项，添加AC＝BD后可证 ABCD是矩形，但不能证明 ABCD是菱形，不符合题意，
C选项，添加AC＝BD后可证 ABCD是菱形，符合题意，
D选项，添加AC＝BD后可证 ABCD是矩形，但不能证明 ABCD是菱形，不符合题意，
故选：C．
5．（3分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x2 D．y＝3x
【解答】解：A、y＝x﹣1是一次函数，不符合题意；
B、y是反比例函数．不符合题意；
C、y＝2x2是二次函数，不符合题意；
D、y＝3x是正比例函数，符合题意．
故选：D．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据二次根式加减法、乘除法的法则逐项分析判断如下：
A、和，不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：B．
7．（3分）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
∴OB，
∴这个点表示的示数是，
故选：C．
8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
9．（3分）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1）
B．y随x的增大而增大
C．当时，y＞0
D．它的图象经过第一、二、三象限
【解答】解：A．当x＝0时，y＝﹣1，则它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故本选项不符合题意；
B．∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C．当时，y＞0，故本选项不符合题意；
D．它的图象经过第二、三，四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是（　　）
A．AB＝5 B．
C．菱形的面积为48 D．点A到BC的距离为
【解答】解：A、由题意可得：
∴AC⊥BD，且，，
则在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，由勾股定理可知，
故该选项正确，不符合题意；
B、由题意可得：AC⊥BD，且，，
则在Rt△AOD中，∠AOD＝90°，OA＝3，OD＝4，由勾股定理可知，
∵点E是Rt△AOD斜边AD的中点，
∴，
故该选项正确，不符合题意；
C、在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的面积为，
故该选项错误，符合题意；
D、过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∴由等面积可知，
由题意可得：
∴AC⊥BD，且，，
则在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，由勾股定理可知，
∴24＝5AF，解得，
则点A到BC的距离为，
故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是　x≥5　 ．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x﹣5≥0，
∴x≥5．
故答案为：x≥5．
12．（3分）某校为调查学生对2023年播出的《感动中国》节目中英雄人物事迹的了解情况，选取甲、乙、丙三个班级进行“感动中国故事知多少”的问卷测试，若甲、乙、丙三个班级的平均分相同，且方差分别为S甲2＝5.48，S乙2＝5.32，S丙2＝5.17，则甲、乙、丙三个班级中成比较稳定的是 　丙　 班．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【解答】解：∵三个班级的平均分相同，S甲2＞S乙2＞S丙2，
∴三个班级中成比较稳定的是丙．
故答案为：丙．
13．（3分）如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 　x　 ．
【解答】解：将点（n，6）代入y＝2x+3得，
n，
由函数图象可知，
当x时，一次函数y1＝2x+3的图象不在一次函数y2＝kx+b图象的上方，即kx+b≥2x+3，
所以关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为：x．
故答案为：x．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，F是DC的中点，若EF＝2，则BC＝　4　 ．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，F是DC的中点，EF＝2，
∴E是BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴2，
∴BC＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE＝OE，AB＝2，则BC的长为　2　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OB，
∵AE⊥BD于E，BE＝EO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO＝2，
∴AC＝2OB＝4，
∴BC2，
故答案为：2．
三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分）
16．（7分）计算：．
【解答】解：原式＝4﹣31
＝1﹣31
＝﹣2．
17．（7分）在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠DAF＝∠BCE
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠BEC＝90°
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE．
18．（7分）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺）
【解答】解：设竹子折断处离地面有x尺，
由题意得：∠C＝90°，BC＝4尺，AC+AB＝10尺，AC＝x尺，
∴AB＝（10﹣x）尺，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2．
答：竹子折断处离地面有4.2尺．
四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分）
19．（9分）某商店销售A，B两种服号的商品，销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元．
（1）求每台A型和B型商品的销售利润；
（2）商店计划购进A，B两种型号的商品共10台，其中A型商品数量不少于B型商品数量的一半，设购进A型商品m台，这10台商品的销售总利润为w元，求该商店购进A，B两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？
【解答】解：（1）设A型利润x元/台，B型利润y元/台，由“销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元”可得：
，
∴
答：A型利润80元/台，B型利润160元/台；
（2）设A型m台，则B型（10﹣m）台，
∴，
∴，W＝80m+160（10﹣m），
∴W＝﹣80m+1600，
∵k＝﹣80＜0，
∴W随m增大而减小，
∴当m＝4时，Wmin＝﹣80×4+1600＝1280，
答：A型4台，B型6台，总利润最大．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CA平分∠BCD，过点A作AE⊥CB，交CB延长线于点E．四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，连接EO．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝1，∠BCD＝60°，求△AEC的面积．
【解答】（1）证明：由题意可得：
∴∠CAD＝∠ACB，∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD，
∵BC＝DC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由题意可得：AC⊥BD，，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴，
∴AC＝2，
∴，
∴△AEC的面积．
21．（9分）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：
A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86．
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝ 　98　 ，b＝ 　93　 ，m＝ 　10　 ；
（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
【解答】解：（1）10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
98出现最多，则a＝98，
根据统计表可得满分的有10×50%＝5人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83，86．
则按从小到大排列，第5个数据为86，第6个数据为100，
则，
评分分数为A和B的人数和为10﹣10×50%﹣3＝2，都不为0，
∴评分分数为A和B的人数都是1人，
∴，则m＝10，
故答案为：98，93，10．
（2）男生更喜欢《哪吒2》，
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》，
（3）（人）．
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人．
五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分）
22．（13分）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．
【解答】解：（1）将A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得：
，解得：，
∴直线AB的表达式为yx+3；
（2）①∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE．
在△BOC和△CED中，
，
∴△BOC≌△CED（AAS），
∴OC＝DE，BO＝CE＝3．
设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m），
∵点D在直线AB上，
∴m（m+3）+3，
∴m＝1，
∴点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）；
②存在，设点Q的坐标为（n，n+3）．
分两种情况考虑，
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1，
∴n＝﹣3或n＝3，
∴点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0＝1+4，
∴n＝5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）或（5，）．
23．（14分）如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，，BF的长度为 　2　 ；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【解答】（1）证明：过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠BAD＝∠DAC＝45°，AD∥BC，
∴EN⊥BC，
∴四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形，
∴∠FNE＝∠EMD＝90°，MN＝AB＝AD，AM＝BN，
∴∠1+∠2＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
∵EM⊥AD，∠DAC＝45°，
∴△AME是等腰直角三角形，
∴AM＝EM，
∵MN＝AD，
∴EM+EN＝DM+AM，
∴EN＝DM，
在△ENF和△DME中，
，
∴△ENF≌△DME（AAS），
∴EF＝ED；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝2，
∴AD＝AB＝2，
设AM＝EM＝BN＝a，
∴DM＝AD﹣AM＝2﹣a，
在△DME中，由勾股定理得：EM2+DM2＝DE2，
∴，
整理得：a2﹣2a+1＝0，
解得：a＝1，
∴AM＝EM＝BN＝a＝1，
∵△ENF≌△DME，
∴FN＝EM＝1，
∴BF＝BN+FN＝2，
故答案为：2；
（3）∵点E为对角线AC上一点，
∴线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，有以下两种情况：
①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，如图3①所示：
∴∠EDC＝∠CDA﹣∠ADE＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
在四边形DEFC中，∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF＝360°，
∴∠EFC+90°+60°+90°＝360°，
∴∠EFC＝120°；
②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，如图3②所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°，
在△CDE中，∠CED＝180°﹣（∠CDE+∠DCA）＝180°﹣（30°+45°）＝105°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝105°﹣90°＝15°，
∵∠BCA是△CEF的外角，
∴∠BCA＝∠CEF+∠EFC，
∴45°＝15°+∠EFC，
∴∠EFC＝30°，
综上所述：∠EFC的度数是120°或30°．