2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学八年级（下）期末数学试卷（含详解）

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（3分）下列四个函数中属于一次函数的是（　　）
A． B． C．y＝x2+1 D．y＝1
2．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+1，如果y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
3．（3分）关于向量，下列表述正确的是（　　）
A．如果，那么±
B．如果与方向相反，则
C．
D．如果，则
4．（3分）下列事件为确定事件的是（　　）
A．上海的太阳明天从西边升起
B．任意两个非零实数的积为正数
C．掷一枚骰子，落地后数字6的一面向上
D．买一张彩票中奖了
5．（3分）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，添加一个条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OB＝OA
6．（3分）已知，如图，AD∥CB，AB与CD交于点O，点E、F为CD，AB的中点，联结EF，设AD＝a，CB＝b，EF＝c，且a＜b，则下列等式一定成立的是（　　）
A．2c＝b﹣a B．2c＝a+b C．a+c＝b D．c2＝a2+b2
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）一次函数y＝﹣x+3的截距是　 　 ．
8．（2分）一次函数y＝2x+（m﹣3）的图象经过点（1，0），则m的值为　 　 ．
9．（2分）方程2x3+16＝0的根是　 　 ．
10．（2分）方程的解为 　 　 ．
11．（2分）用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是　 　 ．
12．（2分）粗心的小明、小华和小亮都没有在数学作业本上写名字，当课代表随机将他们的三本作业本发给他们时，他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率是　 　 ．
13．（2分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 　 　 ．
14．（2分）在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 　 　 ．
15．（2分）如果一个等腰梯形的一个底角为120°，上底长为3，下底长为5，则其腰长为　 　 ．
16．（2分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝2∠A，CD＝6，BC＝5，则AB＝　 　 ．
17．（2分）如图，矩形ABCD对角线相交于点O，AC与BD的夹角为60°，点E、F、G分别为AO，AB，BO中点，当四边形EFGO周长为8时，则矩形ABCD的面积是　 　 ．
18．（2分）如图，矩形ABCD，AB＝5，BC＝7，点F在边BC上，沿直线AF翻折△ABF，点B落在点E处，当点E恰好在∠ADC的角平分线上，则BF＝ 　 　 ．
三、简答题（19-21题，每题6分，22-23题每题7分，共32分）
19．（6分）解方程：．
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）如图，平行四边形ABCD中，点E为CD中点，设，．
（1）用表示下列向量：　 　 ，　 　 ；
（2）求作：．（画图并写出结论，不必写作法）
22．（7分）某初中数学小组开展综合实践活动，对某食品工厂所生产、销售的某种食品进行调研．
A小组调研获知： 工厂每月生产成本y1（元）与产量x（千克）之间是一次函数，且部分对应数据如下表 x51015
y1101510301045
B小组通过调研获知： 该食品每月的销售收入y2（元）与产量x（千克）之间满足如图所示的函数关系
根据以上信息回答：
（1）分别求出y1，y2与x的函数关系式（不用写定义域）；
（2）请测算一下，当产量满足什么条件时，该厂开始盈利？
23．（7分）已知：如图，平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段BC延长线上，且BE＝CF，AF平分∠EAD，求证：四边形AEFD为菱形．
四、解答题（24、25题每题8分，26题10分，共26分）
24．（8分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，过点D作DE平行AC交线段BC的延长线于点E，∠B＝2∠E．
（1）求证梯形ABCD为等腰梯形；
（2）当∠B＝60°，AB＝8，求四边形ABED的面积．
25．（8分）已知：如图，点A坐标为（0，4），点B在双曲线的图象上．
（1）当△AOB面积为12时，求点B的坐标；
（2）点C在y轴负半轴，点D在线段BO的延长线上，当四边形ABCD为矩形时，求直线AB解析式．
26．（10分）已知：如图，正方形ABCD中，，点F为对角线AC上一点，联结DF，过点F作FE⊥DF交线段BC于点E（点E不与点B，点C重合），过E作EG⊥FE，过D作DG⊥DF，EG与DG交于点G．
（1）证明：四边形DFEG为正方形；
（2）联结CG，设CG＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△ECG为等腰三角形时，直接写出CG的长度．
2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A D A C A
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（3分）下列四个函数中属于一次函数的是（　　）
A． B． C．y＝x2+1 D．y＝1
【解答】解：A、y是反比例函数，不是一次函数，故不符合题意；
B、yx是一次函数，故符合题意；
C、y＝x2+1是二次函数，不是一次函数，故不符合题意；
D、y＝1不是一次函数，故不符合题意；
故选：B．
2．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+1，如果y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣a）x+1，y随x的增大而减小，
∴3﹣a＜0，
解得a＞3．
故选：A．
3．（3分）关于向量，下列表述正确的是（　　）
A．如果，那么±
B．如果与方向相反，则
C．
D．如果，则
【解答】解：如果，不能得出，
故A选项不正确，不符合题意；
如果与方向相反，不能得出，
故B选项不正确，不符合题意；
，
故C选项不正确，不符合题意；
如果，则，
故D选项正确，符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列事件为确定事件的是（　　）
A．上海的太阳明天从西边升起
B．任意两个非零实数的积为正数
C．掷一枚骰子，落地后数字6的一面向上
D．买一张彩票中奖了
【解答】解：A．上海的太阳明天从西边升起，是不可能事件，故A符合题意；
B．任意两个非零实数的积为正数，是不确定事件，故B不符合题意；
C．掷一枚骰子，落地后数字6的一面向上，是不确定事件，故C不符合题意；
D．买一张彩票中奖了，是不确定事件，故D不符合题意；
故选：A．
5．（3分）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，添加一个条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OB＝OA
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OB＝OA，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）已知，如图，AD∥CB，AB与CD交于点O，点E、F为CD，AB的中点，联结EF，设AD＝a，CB＝b，EF＝c，且a＜b，则下列等式一定成立的是（　　）
A．2c＝b﹣a B．2c＝a+b C．a+c＝b D．c2＝a2+b2
【解答】解：联结并延长AE交BC于点H，
∵AD∥CB，
∴∠DAE＝∠CHE，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AED和△HEC中，
，
∴△AED≌△HEC（AAS），
∴AD＝HC＝a，AE＝HE，
∵CB＝b，
∴HB＝CB﹣HC＝b﹣a，
∵点E为AH的中点，点F为AB的中点，EF＝c，
∴2EF＝HB，
∴2c＝b﹣a，
故选：A．
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）一次函数y＝﹣x+3的截距是　3　 ．
【解答】解：根据截距定义可知：
一次函数y＝﹣x+3的截距是3．
故答案为：3．
8．（2分）一次函数y＝2x+（m﹣3）的图象经过点（1，0），则m的值为　1　 ．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+（m﹣3）的图象经过点（1，0），
∴2×1+（m﹣3）＝0，
解得m＝1，
故答案为：1．
9．（2分）方程2x3+16＝0的根是　﹣2　 ．
【解答】解：2x3＝﹣16，
x3＝﹣8，
x＝﹣2．
故答案为﹣2．
10．（2分）方程的解为 　x＝2　 ．
【解答】解：，
方程两边平方得：x+2＝x2，
x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
x1＝2，x2＝﹣1，
经检验x＝﹣1不是原方程的解，x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
11．（2分）用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是　2y2﹣y﹣1＝0　 ．
【解答】解：设，
则，
方程两边同时乘y，得2y2﹣1＝y，即2y2﹣y﹣1＝0．
故答案为：2y2﹣y﹣1＝0．
12．（2分）粗心的小明、小华和小亮都没有在数学作业本上写名字，当课代表随机将他们的三本作业本发给他们时，他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率是　　 ．
【解答】解：将他们的三本作业本分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中他们恰好都能拿到自己那本作业本的结果有1种，
∴他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率为．
故答案为：．
13．（2分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 　6　 ．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2） 180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2） 180°＝360°×2，
解得n＝6．
∴此多边形的边数为6．
故答案为：6．
14．（2分）在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 　10　 ．
【解答】解：如图，菱形ABCD边长是13，AC＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2OB，OAAC24＝12，
∵菱形ABCD的边长是13，
∴AB＝13，
∴OB5，
∴BD＝2OB＝10．
∴菱形的另一条对角线长度为10．
故答案为：10．
15．（2分）如果一个等腰梯形的一个底角为120°，上底长为3，下底长为5，则其腰长为　2　 ．
【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于E，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∵AE∥DC，AD∥BC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴EC＝AD＝3，AE＝CD，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2，AB＝AE，
∵AB＝AE，∠B＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB＝BE＝2，即等腰梯形的腰长为2，
故答案为：2．
16．（2分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝2∠A，CD＝6，BC＝5，则AB＝　11　 ．
【解答】解：作CE∥AD交AB于点E，则∠BEC＝∠A，
∵AB∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，∠BEC＝∠DCE，
∴AE＝CD＝6，∠A＝∠DCE，
∵∠BCD＝2∠A，
∴∠BCD＝2∠DCE＝∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC＝5，
∴AB＝AE+BE＝6+5＝11，
故答案为：11．
17．（2分）如图，矩形ABCD对角线相交于点O，AC与BD的夹角为60°，点E、F、G分别为AO，AB，BO中点，当四边形EFGO周长为8时，则矩形ABCD的面积是　16　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB，
∵点E、F、G分别为AO，AB，BO中点，
∴EFBO＝BG＝GO，FGAO＝AE＝EO，
∴EF＝GO＝EO＝GF，
∵四边形EFGO周长为8，
∴EO＝GO＝2，
∴AO＝AB＝BO＝CO＝4，
∴AC＝8，
∴BC4，
∴矩形ABCD的面积＝AB BC＝16，
故答案为：16．
18．（2分）如图，矩形ABCD，AB＝5，BC＝7，点F在边BC上，沿直线AF翻折△ABF，点B落在点E处，当点E恰好在∠ADC的角平分线上，则BF＝ 　或　 ．
【解答】解：如图，连接ED，过点E作EM⊥AD于点M，延长ME交BC于点N，
∴∠AMN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝7，
∴四边形ABNM是矩形，
∴AM＝BN，MN＝AB＝5，∠AME＝∠DME＝∠ENF＝90°，
∵点E恰好在∠ADC的角平分线上，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴△DME是等腰直角三角形，
∴设DM＝EM＝x，则AM＝7﹣x，
由折叠的性质得：AB＝AE＝5，
∴在Rt△AME中，由勾股定理得：AM2＝AE2﹣EM2，
即（7﹣x）2＝52﹣x2，
解得：x1＝3，x2＝4，
当DM＝EM＝3时，AM＝BN＝AD﹣DM＝7﹣3＝4，EN＝MN﹣EM＝5﹣3＝2，
由折叠的性质得：BF＝EF，
设BF＝EF＝y，则FN＝BN﹣BF＝4﹣y，
在Rt△ENF中，由勾股定理得：FN2+EN2＝EF2，
即（4﹣y）2+22＝y2，
解得：y，
当DM＝EM＝4时，AM＝BN＝AD﹣DM＝7﹣4＝3，EN＝MN﹣EM＝5﹣4＝1，
由折叠的性质得：BF＝EF，
设BF＝EF＝y，则FN＝BN﹣BF＝3﹣y，
在Rt△ENF中，由勾股定理得：FN2+EN2＝EF2，
即（3﹣y）2+12＝y2，
解得：y，
∴BF或BF，
故答案为：或．
三、简答题（19-21题，每题6分，22-23题每题7分，共32分）
19．（6分）解方程：．
【解答】解：，
方程可化为，
方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得2x﹣（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），
解得x1＝2，x2＝﹣1，
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以x＝2是原分式方程的解；
当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝﹣1不是原分式方程的解；
所以原分式方程的解是x＝2．
20．（6分）解方程组：．
【解答】解：，
由②，得（x﹣3y）（x+2y）＝0，
∴x﹣3y＝0或x+2y＝0．
即x＝3y或x＝﹣2y．
把x＝3y代入①，得y，
此时x；
把x＝﹣2y代入①，得y，
此时x．
∴原方程组的解为：，．
21．（6分）如图，平行四边形ABCD中，点E为CD中点，设，．
（1）用表示下列向量：　　 ，　　 ；
（2）求作：．（画图并写出结论，不必写作法）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，．
∵点E为CD中点，
∴．
∴，
．
故答案为：；．
（2）如图，以点E为圆心，BC的长为半径画弧，以点C为圆心，BE的长为半径画弧，两弧相交于点F，连接EF，CF，作，
此时四边形BCFE为平行四边形，
∴，
∴，
则即为所求．
22．（7分）某初中数学小组开展综合实践活动，对某食品工厂所生产、销售的某种食品进行调研．
A小组调研获知： 工厂每月生产成本y1（元）与产量x（千克）之间是一次函数，且部分对应数据如下表 x51015
y1101510301045
B小组通过调研获知： 该食品每月的销售收入y2（元）与产量x（千克）之间满足如图所示的函数关系
根据以上信息回答：
（1）分别求出y1，y2与x的函数关系式（不用写定义域）；
（2）请测算一下，当产量满足什么条件时，该厂开始盈利？
【解答】解：（1）由表格可知，产量增加1千克，生产成本增加3元，则y1＝1015+3（x﹣5）＝3x+1000，
由图象可知，每千克的销售收入为25÷5＝5（元），则y2＝5x，
∴y1与x的函数关系式为y1＝3x+1000，y2与x的函数关系式为y2＝5x．
（2）当y2﹣y1＞0时，得5x﹣（3x+1000）＞0，
解得x＞500，
∴产量x＞500时，该厂开始盈利．
23．（7分）已知：如图，平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段BC延长线上，且BE＝CF，AF平分∠EAD，求证：四边形AEFD为菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥DC，
∴∠B＝∠DCF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴∠DAF＝∠AFE，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠AFE＝∠EAF，
∴AE＝EF，
∴四边形AEFD为菱形．
四、解答题（24、25题每题8分，26题10分，共26分）
24．（8分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，过点D作DE平行AC交线段BC的延长线于点E，∠B＝2∠E．
（1）求证梯形ABCD为等腰梯形；
（2）当∠B＝60°，AB＝8，求四边形ABED的面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠E，
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠ACB，
∴∠BCD＝2∠E，
∵∠B＝2∠E，
∴∠B＝∠BCD，
∴梯形ABCD为等腰梯形；
（2）解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC＝AB＝8，
∵DE∥AC，AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴CE＝AD＝8，
∵∠B＝2∠ACB，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝2AB＝16，
∴BE＝BC+CE＝16+8＝24，
由勾股定理得：AC8，
∴AFAC＝4，
则S梯形ABED（8+24）×464．
25．（8分）已知：如图，点A坐标为（0，4），点B在双曲线的图象上．
（1）当△AOB面积为12时，求点B的坐标；
（2）点C在y轴负半轴，点D在线段BO的延长线上，当四边形ABCD为矩形时，求直线AB解析式．
【解答】解：（1）设点B的横坐标为m，根据题意得：12，
解得m＝6，
当x＝6时，y，
∴B（6，）；
（2）如图所示，矩形ABCD，
由矩形性质可知：OA＝OB＝4，
设OE＝m，则BE，
由勾股定理可得m216，
解得m＝2（已舍去负值），
∴B（2，﹣2），
设直线AB的解析式为 y＝kx+4，
﹣22k+4，
解得k1．
∴直线AB的解析式为y＝﹣（）x+4．
26．（10分）已知：如图，正方形ABCD中，，点F为对角线AC上一点，联结DF，过点F作FE⊥DF交线段BC于点E（点E不与点B，点C重合），过E作EG⊥FE，过D作DG⊥DF，EG与DG交于点G．
（1）证明：四边形DFEG为正方形；
（2）联结CG，设CG＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△ECG为等腰三角形时，直接写出CG的长度．
【解答】解：（1）如图1，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥CD于N，
∵FE⊥DF，EG⊥FE，DG⊥DF，
∴∠DFE＝∠FEG＝∠FDG＝90°，
∴四边形DFEG为矩形，
∵点F是正方形ABCD对角线上的点，
∴AC平分∠BCD，
∴FM＝FN，
∵∠MCN＝∠CMF＝∠CNF＝90°，
∴∠MFN＝90°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠DFN＝∠MFE，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴DF＝EF，
∴四边形DFEG为正方形；
（2）解：如图2，∵四边形DFEG和四边形ABCD是正方形，
∴DF＝DG，AD＝DC，∠ADC＝∠FDG＝∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ADF＝∠CDG，AC4，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴AF＝CG＝x，
∵CF＝y，AC＝4，
∴x+y＝4，
∴y＝﹣x+4（0＜x＜2）；
（3）解：由（2）知：△ADF≌△CDG，
∴∠DCG＝∠DAF＝45°，∠AFD＝∠CGD，
∵∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝90°+45°＝135°，
∴当△ECG为等腰三角形时，只有一种情况：CE＝CG，如图3所示，
∴∠CEG＝∠CGE＝22.5°，
∵∠DGE＝90°，
∴∠CGD＝90°+22.5°＝112.5°，
∴∠AFD＝∠CGD＝112.5°，
∴∠CFD＝180°﹣112.5°＝67.5°，
△AFD中，∠ADF＝180°﹣45°﹣112.5°＝22.5°，
∴∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°＝∠CFD，
∴CF＝CD＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝4﹣2，
∴CG＝4﹣2．