(共61张PPT)
微专题——共点力的静态平衡
(综合融通课)
第 4讲
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(一) 解答静态平衡问题的三种常用方法
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(二) 多物体的平衡问题
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(三) “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
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CONTENTS
目录
(一) 解答静态平衡问题的三种常用方法
1．合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
2．分解法：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按作用效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件。
方法1 合成法与分解法
1．(粤教版教材必修1，P86练习T1)将完全相同的原木按图(a)所示堆放。设原木半径为R，重力为G。若不考虑原木之间的摩擦，最上面三根原木可视作图(b)一样的“品”字形。最上面这根原木对其下面两根原木有怎样的作用效果？分别求出最上面这根原木对其下面两根原木的作用力大小。
2．(2023·浙江6月选考)如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为( )
A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G
B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G
D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
√
解析：对光滑圆柱体受力分析如图，由题意有Fa＝Gsin 37°＝0.6 G，Fb＝Gcos 37°＝0.8G，故选D。
粤教版教材中的题目是利用力的分解法求解上面原木对下面两根原木的作用力，而2023年浙江6月选考的高考题是利用合成法求解圆柱体受到下面两个半圆柱体的作用力，两题情境相近，考查的均为静态平衡问题，解法也相似。这启示我们，无论是同步学习还是高三复习，教材的基础本位作用不可忽视。
|考|教|衔|接|
物体受到三个或三个以上共点力的作用而平衡时，将物体所受的力沿互相垂直的方向分解，每个方向上的力都满足力的平衡条件。
方法2 正交分解法
3．(2024·洛阳高三模拟)如图为一名健身者正在
拉绳锻炼，已知健身者质量为50 kg，双手对绳的拉
力均为100 N，两根绳间夹角θ＝60°，两根绳关于
上方连接的总绳对称且跟总绳处于同一平面，总绳
与竖直方向的夹角为30°。若健身者处于静止状态，健身者与地面的动摩擦因数为0.5，绳的质量忽略不计，则健身者受地面的支持力FN和摩擦力Ff分别为(g取10 m/s2)( )
√
对受三个共点力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力。
方法3 力的三角形法
4．(2024·德州高三联考)如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板BC上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索OA在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直，腿与竖直玻璃墙的夹角β＝53°，在下降过程中β角保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板BC保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳OA与竖直玻璃墙的夹角α＝37°，连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，且与OA在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量m＝60 kg，小木板的质量可忽略不计。工人在稳定且未擦墙时，下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，脚对墙的作用力增大
B．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，绳OA的弹力增大
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小为360 N
D．此时若工人不触碰轻绳，绳AB的张力大小为600 N
√
解析：把工人与小木板视为整体(可看作质
点)，受到竖直向下的重力、墙对脚的作用力F1
和轻绳OA的拉力F2，处于平衡状态，三力可组
成力的矢量三角形，如图甲所示，工人缓慢下
移的过程中，轻绳OA与竖直方向的夹角减小，墙对脚的作用力方向不变，两力之间的夹角由90°逐渐减小，由图可知，绳OA的弹力逐渐增大，墙对脚的作用力逐渐减小，由牛顿第三定律可知脚对墙的作用力逐渐减小，故A错误，B正确。
由于α＝37°，β＝53°，此时若工人不触碰轻绳，F1＝mgsin α，小木板受的压力大小等于mg－F1cos β＝384 N，故C错误；
(二) 多物体的平衡问题
1．多物体平衡问题的常用解题方法
整体法 整体法是指将相互关联的各个物体看成一个整体的方法。整体法的优点在于只需要分析整个系统与外界的关系，避开了系统内部繁杂的相互作用。
隔离法 隔离法是指将某物体从周围物体中隔离出来，单独分析该物体的方法。隔离法的优点在于能把系统内各个物体所处的状态、物体状态变化的原因以及物体间的相互作用关系表达清楚。
2．整体法和隔离法的灵活选择
(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。
(2)在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法。
(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。
√
√
应用体验
2．[整体法与隔离法的综合应用]
(2022·浙江1月选考)如图所示，水平放置的电子秤
上有一磁性玩具，玩具由哑铃状物件P和左端有玻璃挡
板的凹形底座Q构成，其重量分别为GP和GQ。用手使
P的左端与玻璃挡板靠近时，感受到P对手有靠向玻璃挡板的力，P与挡板接触后放开手，P处于“磁悬浮”状态(即P和Q的其余部分均不接触)，P与Q间的磁力大小为F。下列说法正确的是( )
A．Q对P的磁力大小等于GP
B．P对Q的磁力方向竖直向下
C．Q对电子秤的压力大小等于GQ＋F
D．电子秤对Q的支持力大小等于GP＋GQ
解析：由题意可知，用手使P的左端与玻璃挡板靠近时，感受到P对手有靠向玻璃挡板的力，即Q对P有水平向左的磁力；P与挡板接触后放开手，P处于“磁悬浮”状态，
√
则说明Q对P有竖直向上的磁力，则Q对P的磁力方向斜向左上方，其大小大于GP，根据牛顿第三定律可知，P对Q的磁力方向斜向右下方，A、B错误；
对P和Q的整体受力分析，竖直方向电子秤对Q的支持力大小等于GP＋GQ ，即Q对电子秤的压力大小等于GP＋GQ，C错误，D正确。
(三) “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
一、“活结”与“死结”模型
√
[例2·“死结”模型] (2022·辽宁高考)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则( )
A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C．F1的水平分力大于F2的水平分力
D．F1的水平分力等于F2的水平分力
√
[解析] 对O点受力分析如图所示，由几何关系可知，F1的竖直分力小于F2的竖直分力，F1的水平分力等于F2的水平分力，故A、B、C错误，D正确。
模型 模型结构 模型解读 模型特点
活结模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
|模|型|建|构|
死结模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
续表
二、“动杆”与“定杆”模型
[例3] 如图1所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；如图2所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[解析] 题图1和图2中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析，如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。
(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有F NC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。
模型 模型结构 模型解读 模型特点
动杆模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆
定杆模型 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
|模|型|建|构|
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1．这是一木马摇椅简化图。A、B、C三个物体叠放在一起，且各接触面均平行，如图所示，C为半圆柱体，外力作用在物体C上让整体保持静止状态，C的MN边与水平方向夹角为θ，A物体质量为m，重力加速度为g。此时B对A的摩擦力为( )
A．0 B．mg
C．mgsin θ D．mgcos θ
解析：对A受力分析，根据平衡条件，此时B对A的摩擦力为f＝mgsin θ，故选C。
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C．下层的每个苹果受到盘子的支持力大小均为mg
D．下层的每个苹果受到盘子的作用力均竖直向上
解析：苹果A受到自身重力以及其他苹果对A的作用力，由共点力平衡条件可知，其他苹果对苹果A的作用力的合力与苹果A的重力大小相等、方向相反，A正确；
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将4个苹果看成一个整体，盘子对整体的支持力大小为4mg，则下层每个苹果受到盘子的支持力均大于mg，C错误；
下层的每个苹果受到盘面的支持力和摩擦力，盘子对下层每个苹果的作用力斜向上，D错误。
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3．(2024·大庆高三联考)如图a所示，送水工人用推车运送重120 N的桶装水，到达目的地后，工人缓慢抬起把手使OA变为水平即可将水桶卸下(如图b所示)。若桶与板OB、OA之间的摩擦不计，∠AOB＝60°，当BO与水平面的夹角为90°时，则水桶对OB板的压力F1、对OA板的压力F2的大小正确的是( )
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解析：当BO与水平面的夹角为90°时，对水桶受力
分析，水桶受到OB板的弹力F1′、OA板的弹力F2′以
及重力G，在三个力的作用下平衡，其受力分析图如图
所示，
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5．如图所示，斜拉桥可简化为不对称钢索模型，桥面水平、塔柱竖直，已知AC、AB的拉力大小分别为TAC、TAB，且AC、AB与塔柱的夹角分别为α、β，且α <β，地面对塔柱的作用力竖直向上。下列说法正确的是( )
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A．钢索的拉力会对塔柱产生两个效果，一方面竖直向上拉塔柱，另一方面沿水平方向拉塔柱
B．若桥面保持水平稳定，则桥面的重心在D点的右侧
C．钢索对塔柱的拉力的合力斜向右下方
D．若桥面保持水平稳定，则有TACsin α＝TABsin β
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解析：钢索的拉力会对塔柱产生两个效果，一方面竖直向下拉塔柱，另一方面沿水平方向拉塔柱，A错误；
桥面受到TAC、TAB和重力的作用处于平衡状态，
根据共点力平衡条件，重力经过TAC、TAB的交点A，
所以桥面的重心在桥面与立柱的交点D处，B错误；
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桥面受到TAC、TAB和重力的作用处于平衡状态，钢索对桥面拉力的合力竖直向上，则钢索对塔柱的拉力的合力竖直向下，C错误；
当桥面保持水平稳定时，根据平衡条件得TACsin α＝TABsin β，D正确。
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7．(2024·辽宁名校联盟高考模拟)如图所示，在房檐上M、N两点间固定一根不可伸长的轻绳，在轻绳的中点O用细线系住鸟笼B，在O点两侧与其间距相同的P、Q两点系住相同的鸟笼A、C。稳定后MP、NQ间轻绳与水平方向夹角均为θ1，OP、OQ间轻绳与竖直方向夹角均为θ2，已知鸟笼质量均为m，重力加速度为g，则( )
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因为tan θ1·tan θ2＝3，所以两个角度不可能同时增大，故D错误。
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8．(2024·岳阳高三调研)如图所示，将三根长均为L的
完全相同的轻质细杆连接到同一个顶点O，另一端分别连
接到竖直墙壁上的A、B、C三个点上，BC连线沿水平方向，
△ABC的三边边长也均为L。其中O、A、B、C点处，分别
是四个可以向各个方向自由转动的轻质光滑铰链(未画出)。在O点用细绳悬挂一个质量为m的重物，则AO杆对墙壁的作用力为( )
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4课时跟踪检测(十) 微专题——共点力的静态平衡
1．这是一木马摇椅简化图。A、B、C三个物体叠放在一起，且各接触面均平行，如图所示，C为半圆柱体，外力作用在物体C上让整体保持静止状态，C的MN边与水平方向夹角为θ，A物体质量为m，重力加速度为g。此时B对A的摩擦力为( )
A．0 B．mg
C．mgsin θ D．mgcos θ
2．清明时节，人们有用供果祭祀祖先的传统。如图所示，供桌上摆放果盘中共有4个大致相同的苹果，下层放置3个苹果，下层的每个苹果与盘子的接触面均水平，苹果A放置在最上层。已知每个苹果的质量均为m，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．其他苹果对苹果A的作用力的合力方向竖直向上
B．其他苹果与苹果A之间的弹力大小均为mg
C．下层的每个苹果受到盘子的支持力大小均为mg
D．下层的每个苹果受到盘子的作用力均竖直向上
3．(2024·大庆高三联考)如图a所示，送水工人用推车运送重120 N的桶装水，到达目的地后，工人缓慢抬起把手使OA变为水平即可将水桶卸下(如图b所示)。若桶与板OB、OA之间的摩擦不计，∠AOB＝60°，当BO与水平面的夹角为90°时，则水桶对OB板的压力F1、对OA板的压力F2的大小正确的是( )
A．F1＝40 N B．F1＝120 N
C．F2＝40 N D．F2＝120 N
4．(2024·运城摸底测试)如图，质量为m的木块A放在水平地面上，固定在A上的竖直轻杆的上端与小球B用细绳连接，当与水平方向成30°角的力F作用在小球B上时，A、B恰好能一起向右匀速运动，此时细绳与竖直方向的夹角为60°。已知小球B的质量也为m，则木块A与水平地面间的动摩擦因数为( )
A. B. C. D.
5．如图所示，斜拉桥可简化为不对称钢索模型，桥面水平、塔柱竖直，已知AC、AB的拉力大小分别为TAC、TAB，且AC、AB与塔柱的夹角分别为α、β，且α <β，地面对塔柱的作用力竖直向上。下列说法正确的是( )
A．钢索的拉力会对塔柱产生两个效果，一方面竖直向上拉塔柱，另一方面沿水平方向拉塔柱
B．若桥面保持水平稳定，则桥面的重心在D点的右侧
C．钢索对塔柱的拉力的合力斜向右下方
D．若桥面保持水平稳定，则有TACsin α＝TABsin β
6．(2024·大连高三模拟)如图所示，细线一端系在质量为m的圆环A上，跨过光滑定滑轮另一端系一质量为2m的物块B。细线对圆环A的拉力方向水平向左。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，直杆倾角θ＝37°，要保证圆环A静止不动，则A与固定直杆间动摩擦因数μ至少为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A. B. C. D.
7．(2024·辽宁名校联盟高考模拟)如图所示，在房檐上M、N两点间固定一根不可伸长的轻绳，在轻绳的中点O用细线系住鸟笼B，在O点两侧与其间距相同的P、Q两点系住相同的鸟笼A、C。稳定后MP、NQ间轻绳与水平方向夹角均为θ1，OP、OQ间轻绳与竖直方向夹角均为θ2，已知鸟笼质量均为m，重力加速度为g，则( )
A．MP间轻绳的弹力大小为
B．OP间轻绳的弹力大小为
C．tan θ1·tan θ2＝
D．如果逐渐增大各鸟笼的质量，则θ1、θ2都增大
8．(2024·岳阳高三调研)如图所示，将三根长均为L的完全相同的轻质细杆连接到同一个顶点O，另一端分别连接到竖直墙壁上的A、B、C三个点上，BC连线沿水平方向，△ABC的三边边长也均为L。其中O、A、B、C点处，分别是四个可以向各个方向自由转动的轻质光滑铰链(未画出)。在O点用细绳悬挂一个质量为m的重物，则AO杆对墙壁的作用力为( )
A.mg B.mg C.mg D.mg
课时跟踪检测(十)
1．选C 对A受力分析，根据平衡条件，此时B对A的摩擦力为f＝mgsin θ，故选C。
2．选A 苹果A受到自身重力以及其他苹果对A的作用力，由共点力平衡条件可知，其他苹果对苹果A的作用力的合力与苹果A的重力大小相等、方向相反，A正确；其他苹果对苹果A的作用力在竖直方向上的分力之和等于苹果A重力的大小，其他苹果与苹果A之间的弹力大小大于mg，B错误；将4个苹果看成一个整体，盘子对整体的支持力大小为4mg，则下层每个苹果受到盘子的支持力均大于mg，C错误；下层的每个苹果受到盘面的支持力和摩擦力，盘子对下层每个苹果的作用力斜向上，D错误。
3．选A 当BO与水平面的夹角为90°时，对水桶受力分析，水桶受到OB板的弹力F1′、OA板的弹力F2′以及重力G，在三个力的作用下平衡，其受力分析图如图所示，根据平衡条件以及几何关系有F2′sin 30°＝F1′，F2′cos 30°＝G，解得F1′＝40 N，F2′＝80 N，由牛顿第三定律可知F1＝F1′＝40 N，F2＝F2′＝80 N，故选A。
4．选B 对B球，根据平衡条件，水平方向有FTcos 30°＝Fcos 30°，竖直方向有FTsin 30°＋Fsin 30°＝mg，解得F＝mg，对A、B整体，根据平衡条件，水平方向有Fcos 30°＝Ff，竖直方向有Fsin 30°＋FN＝2mg，Ff＝μFN，解得μ＝，故选B。
5．选D 钢索的拉力会对塔柱产生两个效果，一方面竖直向下拉塔柱，另一方面沿水平方向拉塔柱，A错误；桥面受到TAC、TAB和重力的作用处于平衡状态，根据共点力平衡条件，重力经过TAC、TAB的交点A，所以桥面的重心在桥面与立柱的交点D处，B错误；桥面受到TAC、TAB和重力的作用处于平衡状态，钢索对桥面拉力的合力竖直向上，则钢索对塔柱的拉力的合力竖直向下，C错误；当桥面保持水平稳定时，根据平衡条件得TACsin α＝TABsin β，D正确。
6．选A 对圆环A受力分析，受重力mg、细线拉力F、直杆弹力FN作用，假设摩擦力f沿杆向下，如图所示。细线拉力F＝2mg，所以弹力FN＝mgcos θ＋2mgsin θ＝2mg，摩擦力f＝2mgcos θ－mgsin θ＝mg，由f＝μFN，可得μ＝。
7．选B 对三个鸟笼整体分析可知2FMPsin θ1＝3mg，对P点分析可知FMPcos θ1＝FOPsin θ2，FMPsin θ1＝mg＋FOPcos θ2，解得FOP＝，FMP＝ ，tan θ1·tan θ2＝3，故B正确，A、C错误；因为tan θ1·tan θ2＝3，所以两个角度不可能同时增大，故D错误。
8．选B 从O点做△ABC所在平面的投影，记为O′，由几何关系可得O′A＝L，设OA与平面ABC的夹角为θ，则有Lcos θ＝L，可得cos θ＝。设绳子与OBC所在平面的夹角为α，根据几何关系可得cos α＝，则根据正余弦关系可得sin θ＝，sin α＝，以O点为受力分析点，根据平行四边形定则，做出矢量图，则根据数学关系sin β＝sin(θ＋α)，解得sin β＝，再根据正弦定理可得＝，解得TOA＝mg。
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