(共54张PPT)
微专题——共点力的动态平衡(综合融通课)
第 5 讲
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(一) “三法”破解动态平衡问题
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(二) “三法”破解平衡中的临界和极值问题
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课时跟踪检测
CONTENTS
目录
(一) “三法”破解动态平衡问题
动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”关键词。解决该类问题的总体思路是“化动为静，静中求动”。
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
方法1 解析法
1．(2024·昆明高三“三诊一模”)果农设计分拣
橙子的简易装置如图所示。两细杆间上窄下宽、
与水平地面所成的夹角相同。橙子从装置顶端由静止释放，大小不同的橙子会在不同位置落到不同的水果筐内。橙子可视为球体，假设细杆光滑，不考虑橙子转动带来的影响。某个橙子从静止开始下滑到离开细杆的过程中，受到每根细杆的支持力( )
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
√
2．(2024年1月·安徽高考适应性演练)如图所示，轻绳1两端分别固定在M、N两点(N点在M点右上方)，轻绳1上套有一个轻质的光滑小环O，质量为m的物块P通过另一根轻绳2悬挂在环的下方，处于静止状态，∠MON＝60°。现用一水平向右的力F缓慢拉动物块，直到轻绳2与MN连线方向垂直。已知重力加速度为g。下列说法错误的是( )
√
物块在缓慢移动过程中，以小环O为对象，由于小环O两侧轻绳1的张力大小总是相等，则小环O两侧轻绳1的张力合力沿∠MON平分线，根据受力平衡可知，轻绳2的延长线始终平分∠MON，故B正确，不满足题意要求；
物块在缓慢移动过程中，由于M、N之间的轻绳1长度不变，根据数学知识可知，小环O的运动轨迹为椭圆，M、N为椭圆的两个焦点，当轻绳2与MN连线方向垂直时，小环O刚好位于椭圆的短轴顶点上，根据椭圆知识可知此时∠MON最大，
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题：
方法2 图解法
3．(2024·咸阳实验中学高三检测)图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是( )
A．货物A对玻璃棚的压力不变
B．货物A对玻璃棚的压力越来越大
C．绳子的拉力越来越大
D．绳子的拉力越来越小
√
解析：对货物A受力分析，其动态图如图所示。货物
缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向的夹角减小，由
图可知，绳子的拉力越来越大。同时，玻璃棚对货物的
支持力变小，由牛顿第三定律知，货物A对玻璃棚的压
力越来越小。故C项正确。
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
方法3 相似三角形法
4．(2024·西安高三模拟)如图所示，竖直墙壁O处用光滑
铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固定小球(可以看成质
点)，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连。已知轻质杆
长度为R，轻绳的长度为L，且R＜L＜2R。A、B是墙上两点，
且OA＝OB＝R。现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支持力F2的大小变化情况为( )
A．F1和F2均增大 B．F1保持不变，F2先增大后减小
C．F1和F2均减小 D．F1先减小后增大，F2保持不变
√
(二) “三法”破解平衡中的临界和极值问题
临界问题是指当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述；极值问题是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。解决平衡中的临界极值问题常用以下三种方法：
根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
方法1 物理分析法
√
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
方法2 数学分析法
√
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
方法3 极限分析法
3．如图1所示，筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”。如图2所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
课时跟踪检测
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1．(2024·茂名一中模拟)如图，一昆虫悬挂在水平
树枝下，其足的股节与基节间的夹角为θ，且六条足左
右对称，都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，
则足的股节部分受到的拉力将( )
A．增大 B．减小
C．不变 D．先减小后增大
√
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2．(多选)如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着
—质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖
直方向均成37°角，该夹角及支架长短均可以调节，但三
根支架的长度及它们与竖直方向的夹角始终相等，照相机的重心始终在支架的竖直轴上。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则下列说法正确的是( )
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3．(2024·南通高三第一次调研)如图所示，两轻
质小环a、b套在水平杆上，两根等长细线悬挂一重
物处于静止状态。现保持环a的位置不变，将环b往左侧移动一小段距离，a、b仍处于静止状态。则环a受到杆的( )
A．支持力不变 B．支持力变小
C．摩擦力不变 D．摩擦力变大
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若将A稍右移并固定，则θ角增大，可知N1、N2均增大，故C正确，D错误。
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5．(2024·天津模拟预测)(多选)质量均匀分布的光滑球A与B通过轻绳连接，跨过两轻质定滑轮悬挂于平台两侧，初始状态A球与水平面接触且有挤压，B球悬于空中，如图所示，不计轻绳和滑轮间的摩擦，若A发生均匀的少量膨胀后，两球仍能保持静止状态，则( )
A．两球的质量不可能相等
B．水平面对平台一定有静摩擦力的作用
C．膨胀后平台侧面对A弹力变大
D．膨胀后A对地面压力会变大
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√
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解析：对B分析，受到绳子的拉力和重力，则T＝mBg，
对A分析，受到重力mAg、绳子斜向右上的拉力T、平台侧
面的弹力F、水平面的支持力N，设θ为绳子与竖直方向的
夹角，如图所示，拉力T在竖直方向上的分力与地面的支
持力N的合力大小等于其重力mAg，则有：Tcos θ＋N＝mAg，即mBgcos θ＋N＝mAg，即mBgcos θ2
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对平台及A、B为整体，则整体在水平方向不受力作用，水平面对平台没有静摩擦力的作用，B错误；
膨胀后，θ变大，则根据共点力平衡条件可得Tcos θ＋N＝mAg，Tsin θ＝F，由此可知，膨胀后θ变大，T不变，地面对A的支持力N变大，由牛顿第三定律可知，A对地面压力会变大；膨胀后平台侧面对A弹力F增大，选项C、D正确。
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6．(2024·太原高三调研)如图，倾角为θ的斜面固定在墙
角，质量为M的尖劈放置在斜面上，尖劈的右侧面竖直，用
轻绳系住一个质量为m的球紧靠在尖劈的右侧，轻绳与斜面
平行，球与尖劈的接触面光滑，斜面对尖劈的静摩擦力恰好为0，整个系统处于静止状态。沿球心O对球施加一个水平向左的恒定推力F，系统仍处于静止状态。则( )
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A．尖劈的质量M与球的质量m之比为tan2 θ
B．对球施加水平推力后，轻绳的拉力不变
C．对球施加水平推力后，尖劈对斜面的压力不变
D．对球施加水平推力后，斜面对尖劈的摩擦力可能仍为0
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以球为研究对象，可知对球施加水平推力后不影响竖直方向力的大小，轻绳的拉力不变，如图3，故B正确。
以尖劈和球整体为研究对象，对球施加水平推力后，如图4，有N1′＝(M＋m)gcos θ＋Fsin θ，总重力不变，施加水平推力后，可得斜面对尖劈的弹力变大，即尖劈对斜面的压力变大，轻绳拉力T不变，总重力不变，施加推力F后，要保持平衡，有T＋Fcos θ＝(M＋m)gsin θ＋f，则斜面对尖劈的摩擦力沿斜面向下，斜面对尖劈的摩擦力不可能为0，故C、D错误。
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7．(2024·黄山高三第一次质检)如图所示，轻质弹簧上端固定，下端连接一光滑小球a(可视为质点)，斜面b静止在水平地面上，小球放在斜面上，开始时弹簧与斜面平行。现将斜面缓慢向左移到虚线处，小球仍静止在斜面上。下列说法正确的是( )
A．b对a的弹力增加
B．弹簧的长度减小
C．地面对b的支持力增加
D．地面对b的摩擦力减小
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根据题意，对斜面受力分析，如图乙所示，结合以上分析，由牛顿第三定律可知，FN′减小，由平衡条件可得，地面对b的支持力FN1减小，地面对b的摩擦力f减小，故C错误，D正确。课时跟踪检测(十一) 微专题——共点力的动态平衡
1．(2024·茂名一中模拟)如图，一昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间的夹角为θ，且六条足左右对称，都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，则足的股节部分受到的拉力将( )
A．增大 B．减小
C．不变 D．先减小后增大
2．(多选)如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着—质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成37°角，该夹角及支架长短均可以调节，但三根支架的长度及它们与竖直方向的夹角始终相等，照相机的重心始终在支架的竖直轴上。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则下列说法正确的是( )
A．每根支架受到地面的摩擦力大小为mg
B．照相机对每根支架的压力大小为mg
C．若将每根支架与竖直方向夹角变小，则每根支架受到的地面的支持力将不变
D．若将每根支架与竖直方向夹角变小，则每根支架受到的地面的摩擦力将变大
3．(2024·南通高三第一次调研)如图所示，两轻质小环a、b套在水平杆上，两根等长细线悬挂一重物处于静止状态。现保持环a的位置不变，将环b往左侧移动一小段距离，a、b仍处于静止状态。则环a受到杆的( )
A．支持力不变 B．支持力变小
C．摩擦力不变 D．摩擦力变大
4．(多选)如图所示，粗糙水平面上放着一横截面为圆的柱状物体A，固定竖直挡板与A物体之间放着一横截面为圆的光滑柱体B。系统平衡时，A、B两物体的接触点恰为圆弧的中点，已知B物体的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．竖直挡板与B物体间的弹力大小为mg
B．A、B两物体之间的弹力大小为mg
C．若将A稍右移并固定，竖直挡板与B间的弹力将增大
D．若将A稍右移并固定，A、B之间的弹力将减小
5．(2024·天津模拟预测)(多选)质量均匀分布的光滑球A与B通过轻绳连接，跨过两轻质定滑轮悬挂于平台两侧，初始状态A球与水平面接触且有挤压，B球悬于空中，如图所示，不计轻绳和滑轮间的摩擦，若A发生均匀的少量膨胀后，两球仍能保持静止状态，则( )
A．两球的质量不可能相等
B．水平面对平台一定有静摩擦力的作用
C．膨胀后平台侧面对A弹力变大
D．膨胀后A对地面压力会变大
6．(2024·太原高三调研)如图，倾角为θ的斜面固定在墙角，质量为M的尖劈放置在斜面上，尖劈的右侧面竖直，用轻绳系住一个质量为m的球紧靠在尖劈的右侧，轻绳与斜面平行，球与尖劈的接触面光滑，斜面对尖劈的静摩擦力恰好为0，整个系统处于静止状态。沿球心O对球施加一个水平向左的恒定推力F，系统仍处于静止状态。则( )
A．尖劈的质量M与球的质量m之比为tan2 θ
B．对球施加水平推力后，轻绳的拉力不变
C．对球施加水平推力后，尖劈对斜面的压力不变
D．对球施加水平推力后，斜面对尖劈的摩擦力可能仍为0
7．(2024·黄山高三第一次质检)如图所示，轻质弹簧上端固定，下端连接一光滑小球a(可视为质点)，斜面b静止在水平地面上，小球放在斜面上，开始时弹簧与斜面平行。现将斜面缓慢向左移到虚线处，小球仍静止在斜面上。下列说法正确的是( )
A．b对a的弹力增加
B．弹簧的长度减小
C．地面对b的支持力增加
D．地面对b的摩擦力减小
课时跟踪检测(十一)
1．选B 设昆虫的质量为m，每条股节部分受到的拉力均为T，则由力的平衡条件可得6Tsin θ＝mg，解得T＝，而当昆虫稍微伸直足时，角θ变大，因此可知足的股节部分受到的拉力T将减小。
2．选AC 要使照相机受力平衡，则三根支架竖直方向上的力的合力大小应等于照相机的重力，即3Tcos 37°＝mg，解得T＝＝mg，根据牛顿第三定律可知照相机对每根支架的压力大小为mg，每根支架受到地面的摩擦力大小为支架受到的压力的水平分力，即f＝Tsin 37°＝mg，故A正确，B错误；以整个装置为研究对象，设每根支架受到的地面的支持力为N，竖直方向上根据受力平衡可得3N＝mg，解得N＝，因此当每根支架与竖直方向夹角变小时，则每根支架受到地面的支持力将不变，故C正确；由以上分析可知f＝tan 37°，当每根支架与竖直方向夹角变小时，则每根支架受到地面的摩擦力将变小，故D错误。
3．选A 根据题意，设每根绳子的拉力为F，绳子与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件有2Fcos θ＝mg，解得F＝，设杆对小环a的支持力为FN，摩擦力为f，对小环a受力分析，由平衡条件有f＝Fsin θ＝，FN＝Fcos θ＝，将环b往左侧移动一小段距离，θ减小，可知f变小，FN不变。故选A。
4．选AC 将圆弧面看成是倾角不同的斜面组合而成，对物体B受力分析如图所示，由平衡条件可得N2cos θ＝mg，N1＝N2sin θ，解得N2＝，N1＝mgtan θ，当A、B两物体的接触点恰为圆弧的中点时，θ＝45°，此时可得N1＝mg，N2＝mg，故A正确，B错误；若将A稍右移并固定，则θ角增大，可知N1、N2均增大，故C正确，D错误。
5．选CD 对B分析，受到绳子的拉力和重力，则T＝mBg，对A分析，受到重力mAg、绳子斜向右上的拉力T、平台侧面的弹力F、水平面的支持力N，设θ为绳子与竖直方向的夹角，如图所示，拉力T在竖直方向上的分力与地面的支持力N的合力大小等于其重力mAg，则有：Tcos θ＋N＝mAg，即mBgcos θ＋N＝mAg，即mBgcos θ6．选B 对球施加水平推力前，以尖劈和球整体为研究对象，如图1，可知轻绳的拉力T＝(M＋m)gsin θ，斜面对尖劈的支持力N1＝(M＋m)gcos θ。以球为研究对象，如图2，可知轻绳的拉力T＝，联立解得＝＝，故A错误。
以球为研究对象，可知对球施加水平推力后不影响竖直方向力的大小，轻绳的拉力不变，如图3，故B正确。以尖劈和球整体为研究对象，对球施加水平推力后，如图4，有N1′＝(M＋m)gcos θ＋Fsin θ，总重力不变，施加水平推力后，可得斜面对尖劈的弹力变大，即尖劈对斜面的压力变大，轻绳拉力T不变，总重力不变，施加推力F后，要保持平衡，有T＋Fcos θ＝(M＋m)gsin θ＋f，则斜面对尖劈的摩擦力沿斜面向下，斜面对尖劈的摩擦力不可能为0，故C、D错误。
7．选D 根据题意，对小球受力分析，如图甲所示。设弹簧与斜面的夹角为α，斜面倾角为θ，由平衡条件有FTcos α＝magsin θ，FN＋FTsin α＝magcos θ，又有FT＝k，斜面缓慢向左移到虚线处，α增大，则FT增大，FN减小，弹簧长度增大，故A、B错误；根据题意，对斜面受力分析，如图乙所示，结合以上分析，由牛顿第三定律可知，FN′减小，由平衡条件可得，地面对b的支持力FN1减小，地面对b的摩擦力f减小，故C错误，D正确。
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