12.2一次函数与一次方程、一次不等式 教学设计 沪科版（2024）数学八年级上册

《§12．2一次函数与一次方程、一次不等式》教学设计
课题：沪科版八年级上册《§12．2一次函数与一次方程、一次不等式》
教学目标
1、 理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系，能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识；
2、通过对一次函数与一次方程、一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，发展学生的辩证思维能力;
3、通过对一次函数与一次方程、一次不等式关系的探究，让学生体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心。
教学重、难点：
重点是理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系；
难点是根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，发展学生数形结合的思想和辩证思维能力。
教学方法：
操作－－观察法、探究－－归纳法。
教学准备： 多媒体课件
教学过程：
（一）创设复习情境，引入课题
1、奇思妙想解奥数题： 。
学生思考后觉得很繁，教师投影出示数形结合法巧妙解决问题，然后指出利用图形帮助解决代数计算问题是一种重要方法，本节课我们将学习用一次函数图像解方程和不等式。（板书课题）
设计意图：提出具有挑战性的问题，通过数形结合法巧妙解决，有利于激发学生兴趣，同时点明本节课的主题。
2、让我们重新观察一下平面直角坐标系，（师投影出示平面直角坐标系）思考：
问题串1：（1）x轴上，点的纵坐标有何规律呢？
（2）x轴的上方，点的纵坐标有何规律呢？
（3）x轴的下方，点的纵坐标有何规律呢？
（说明：先让学生观察、回答，然后结合图形补充、明确）
（1）x轴上，点的纵坐标都等于0，即y=0；
（2）x轴的上方，点的纵坐标都大于0，即y>0；
（3）x轴的下方，点的纵坐标都小于0，即y<0。
问题串2：（1）y轴上，点的横坐标有何规律呢？
（2）y轴的左边，点的横坐标有何规律呢？
（3）y轴的右边，点的横坐标有何规律呢？
（说明：先让学生观察、回答，然后结合图形补充、明确）
2、初步感知 导入新课
师：观察y=2x+6中y的变化
（1）当y=0时，这个函数是不是变成了一个方程？
（2）当y>0时，这个函数变成2x+6>0,当y<0时，这个函数变成2x+6<0,是不是变成了不等式？
师：这说明一次函数与一次方程、一次不等式有着密切联系。
（二）动手操作
请同学们画出一次函数y=2x+6的图象
（说明：让学生独立完成画图，师投影展示。）
（三）讨论、交流
问题：1、解方程：2x+6=0
2、已知一次函y=2x+6，问x取什么值时，y=0？（你有几种方法）
思考：方程2x+6=0的解与函数y=2x+6的图像与x轴交点的横坐标有何关系？
（组织学生分组讨论、交流，并请学生代表发言，师生共同评价。）
方程2x+6=0的解 函数y=2x+6的图像与x轴交点的横坐标。
师引导归纳：一元一次方程kx+b=0的解就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。这样我们在这两者知道其中之一的情况下就可以得出另一个值。
学生练习、（1）直线y=x+2与x轴交与点（－2,0），则方程x+2=0的解为 。
（2）直线y=kx－1与x轴交与点（－2,0），则方程kx－1=0的解为 。
（3）直线y=kx+b与x轴交与点（3,0），则方程kx+b=0的解为 。
（4）方程kx+b=0的解为x=－3,则直线y=kx+b与x轴交与点坐标是 。
生讨论交流，师指名回答，及时鼓励。
师引导反思：图像法解一元一次方程的方法是：先在图像上找到相应的点，然后确定这个点的横坐标，这个横坐标就是这个方程的解。
设计意图：引导学生用尝试图像法、代数法解方程，体会数形结合思想的作用。
(四) 再进探究园
　 根据上面一次函数y=2x+6的图象，你能说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
（组织学生根据自己所画图象思考，并分组讨论、交流，然后请学生代表发言，师生共同评价。）
师引导：当2x+6>0,就是函数y=2x+6中函数值y>0，观察图象可知，当图象在x轴上方时y>0；同样地，图象在x 轴下方时y<0。（投影用不同颜色显示图像上y>0与y<0的部分）
因为函数y=2x+6的图象与x轴交于点（-3，0）所以，要使y>0，即2x+6>0,应有x>-3；要使y<0,即2x+6<0,应有x<-3。
因为，任何一个一元一次不等式都可化简为kx+b>0(或kx+b<0)的形式，所以一元一次不等式 kx+b>0 的解集就是使 y=kx+b中y取正值时x的取值范围；kx+b<0的解集就是使 y=kx+b中y取负值时x的取值范围。
从图象上看kx+b>0的解集是使直线y=kx+b位于x轴上方相应x的取值范围， kx+b<0的解集是使直线y=kx+b位于x轴下方相应x的取值范围。
例题：画出函数y=-3x+6的图像，结合图像求：
（1）求不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3　
（说明：本例题的第（1）问，可先让学生尝试解答，然后师生合作完成解题，但是第（2）问学生可能理解上会存在问题，教师可结合课件上的图象进行启发，直观形象地引导学生理解、掌握。）
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点（2，0）
（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围：x<2；
不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围：x<2；
（2）由图象可知，当x>1时，y<3。
师引导反思：图像法解一元一次不等式的方法是：先找到图像上相应的部分，然后确定这一部分所对应的x的取值范围，这个取值范围就是该不等式的解集。
（五）反馈练习、巩固应用（投影出示）
1、请作出函数y=3x-9的图象，结合图象求：
（1）方程3x-9=0的解；
（2）不等式3x-9≤0的解集；
（3）当y>3时,求x的取值范围。
（说明：本练习可让学生独立完成，并请同学回答，师生共同评价矫正，应注意强调“≤”的含义）
2、一次函数y=kx+b的图像如右图所示，则不等式kx+b>0的解集是 。
（六）反思归纳
畅所欲言：1、我学会了……
2、使我感触最深的是……
（本归纳可让学生大胆发言，教师适时给予鼓励和总结）
（八）布置作业
1、课堂作业：教科书 习题12.2第17、18题。
2、家庭作业：教科书 习题12.2第19题。
板书设计 §12．2 一次函数与一次方程、一次不等式
x轴上, y=0 方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b
的图象与x轴交点的横坐标的值。
x轴的上方,y>0 不等式kx+b>0的解集是直线y=kx+b
位于x轴上方相应x的取值范围
x轴的下方,y<0 不等式kx+b<0的解集是直线y=kx+b位于
x轴下方相应x的取值范围。
X
o
3
y