3.1.1 分数指数幂 学案（含答案解析）

3.1.1　分数指数幂(二) 学案
明目标、知重点　1.理解规定分数指数幂的意义.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质.4.了解无理数指数幂的意义．
1．分数指数幂
(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)atas＝at＋s；
(2)(at)s＝ats；
(3)(ab)t＝atbt.
(注：a>0，b>0，t，s为有理数)．
[情境导学]
，()2，()3，…，它们的值分别为，，，….那么，()，()，()的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．
探究点一　分数指数幂
思考1　整数指数幂的运算性质有哪些？
答　(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝am·n；
(3)＝am－n(m>n，a≠0)；(4)(a·b)m＝am·bm.
思考2　零和负整数指数幂是如何规定的？
答　规定：a0＝1(a≠0)；00无意义，a－n＝(a≠0)．
思考3　根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？
①＝＝a2＝a (a>0)；
②＝＝a4＝a (a>0)；
③＝＝a3＝a (a>0)．
答　当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
小结　我们规定正数的分数指数幂的意义为：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相仿．即：a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法．
思考4　规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？
答　由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)atas＝at＋s(a>0，t，s∈Q)；
(2)(at)s＝ats(a>0，t，s∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．
例1　求值：
8；25；－5；.
解　8＝(23)＝2＝22＝4；
25＝(52)＝5＝5－1＝；
－5＝(2－1)－5＝2(－1)×(－5)＝25＝32；
＝＝－3＝.
反思与感悟　在进行求解时，首先要把比较大的整数化成比较小的整数的指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数为正指数，同时还要注意运算的顺序问题．
跟踪训练1　用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0)：a3·；a2·；.
解　a3·＝a3·a＝a＝a；
a2·＝a2·a＝a＝a；
＝＝＝＝a.
探究点二　分数指数幂的应用
例2　计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)÷；
(2).
解　(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab
＝4ab0＝4a；
(2)原式＝＝m2n－3＝.
反思与感悟　一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练2　计算下列各式：
(1)(－)÷；
(2)(a>0)．
解　(1)原式＝
－5；
(2)原式＝.
例 计算下列各式的值：
(1)(－)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
(2)－(－1)0－.
解　(1)原式＝＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－；
(2)原式＝－2－1－＝(－2)－1－(－2)＝－1.
反思与感悟　运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母，又含有负指数．
跟踪训练 3计算下列各式的值：
(1)1.5×0＋80.25×＋(×)6－；
(2)÷÷.
解　(1)原式＝×1＋×2＋(2×3)6－＝2＋4×27＝110；
(2)原式＝
÷÷
例4　用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):
(1)a2；(2).
解　(1)a2＝a2a＝a＝a.
(2)＝(a)＝(aa)＝(a)＝a.
反思与感悟　(1)式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算．
(2)对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有特别的要求，一般用分数指数幂的形式表示．但结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练4　用分数指数幂的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)；(2).
解　(1)＝(2)＝[2·2]＝(2)＝(2)＝2＝2.
(2)＝[xy2()3]＝(xy2xy)＝(xy)＝(xy)＝xy.
1．下列互化中正确的是________．(填序号)
①－＝(－x)(x>0)；
②＝y(y<0)；
③()＝ (x，y≠0)；
④x＝－.
答案　③
解析　－＝－x，故①不正确；②中，y<0，故＝y＝－y，②也不正确；x＝，故④不正确．
2．将(a＋b)表示成根式的形式是________．
答案　
解析　∵a＝，b＝，∴(a＋b)＝.
3．下列等式一定成立的是________．
①a·a＝a；②a·a＝0；
③(a3)2＝a9；④a÷a＝a.
答案　④
解析　a·a＝a＋＝a≠a.
a·a＝a0＝1≠0，(a3)2＝a6≠a9.
a÷a＝a＝a.
4：＝________.
答案　
解析　原式＝＝a＋b
＝ab－1＝.
[呈重点、现规律]
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
2．根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.
一、基础过关
1．x－2＋x2＝2且x>1，则x2－x－2的值为________．
答案　2
解析　因为x－2＋x2＝2且x>1，
所以x2>x－2，x2－x－2>0，
故x2－x－2＝＝＝2.
2.设a－a＝m，则＝________.
答案　m2＋2
解析　将a－a＝m平方得＝m2，
即a－2＋a－1＝m2，
所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.
3．在(－)－1、2、()、2－1中，最大的数是________．
答案　()
解析　∵(－)－1＝－2,2＝，
()＝，2－1＝，
又∵>>>－2，
∴()>2>2－1>(－)－1.
4．化简的结果是________．
答案　a
解析　原式＝＝a.
5. －＋的值为________．
答案　
解析　原式＝ － ＋ 
＝－＋＝.
6．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.
答案　9
解析　＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9.
7．(1)化简：··(xy)－1(xy≠0)；
(2)计算：2＋＋－·8.
解　(1)原式＝[xy2·(xy－1) ]·(xy) ·(xy)－1
＝x·y|x||y|·|x|·|y|
＝x·|x|＝.
(2)原式＝＋＋＋1－22＝2－3.
二、能力提升
8．下列各式成立的是________．(填序号)
①＝(m＋n) ；
②()2＝ab；
③＝(－3)；
④＝2.
答案　④
解析　被开方数是和的形式，运算错误，①错；()2＝，②错；>0，(－3)<0，③错．答案为④.
9．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于________．
答案　
解析　由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.
10．若10x＝2,10y＝3，则10＝________.
答案　
解析　由10x＝2,10y＝3，得10＝(10x)＝2，
102y＝(10y)2＝32，∴10＝＝.
11．根据已知条件求下列值：
(1)已知x＝，y＝，求－的值；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
解　(1)－＝－
＝.
将x＝，y＝代入上式得：
原式＝＝
＝－24 ＝－8；
(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴，
∵a>b>0，∴>.
2＝＝＝＝，
∴＝＝.
12.化简： ÷(1－2 )×.
解　原式＝
三、探究与拓展
13.已知x＝(5－5)，n∈N*，求(x＋)n的值．
解　∵1＋x2＝1＋(5－5)2
＝1＋(5－2＋5)
＝(5＋2＋5)
＝，
∴＝，
∴x＋
＝＋
＝.
∴(x＋)n＝＝5.