3.1.1-1 分数指数幂的概念 学案（含答案解析）

第3章　指数函数、对数函数和幂函数
3．1　指数函数
3．1.1　分数指数幂
第1课时　分数指数幂的概念
【课标要求】
1．理解有理数指数幂的含义；
2．了解实数指数幂的意义．
【核心扫描】
1．理解根式以及分数指数幂的概念．(重点)
2．用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根．(难点)
自学导引
1．如果一个实数的n次方等于a(n>0且n∈N*)，那么这个数就叫做a的n次实数方根．当n为奇数，a的n次方根记作，其中正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，0的n次方根仍是0.当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们是互为相反数，可记作±,0的n次方根仍是0，负数没有偶次方根．
2．式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
想一想：1.＝|a|(n∈N*，n>1)何时成立？
提示　n∈N*，n>1为偶数时成立．
2．若xn＝a，则x＝±(n∈N*，n>1)正确吗？
提示　a≥0且n∈N*，n>1且为偶数时成立．
名师点睛
1．若m，n∈Z，则有am·an＝am＋n，(am)n＝(an)m＝amn，(ab)n＝anbn.
2．由n次根式的意义，得()n＝a(n为大于1的正整数)，＝a(n为大于1的奇数)，
＝|a|＝，(n为大于1的偶数).
题型一　根式的性质
【例1】 求下列各式的值：
(1)(－)0；(2)(－2)－5；(3)；(4).
[思路探索] 直接利用幂的意义和根式的性质．
解　(1)(－)0＝1；
(2)(－2)－5＝＝＝－；
(3)∵(－3)3＝－27，∴＝－3；
(4)∵＝，34＝81，∴＝3，即＝3.
规律方法 注意以下根式性质的应用：
(1)＝0(n∈N*且n>1)；(2)()n＝a(n∈N*且n>1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝，(n为大于1的偶数)．
【训练1】 将下列各根式和分数指数幂进行互化．
(1)；(2)；(3)a(a＞0)；(4)(x－y)(x＞y)．
解析　利用a＝进行互化．
解　(1)＝a；(2)＝＝(a＋b)－.
(3)a＝＝a2·(a＞0)．
(4)(x－y)＝(x＞y)．
题型二　根式的意义
【例2】 求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
[思路探索] ＝
＝|a－3|.
解　∵＝＝(3－a)，
∴3－a≥0且a＋3≥0.∴－3≤a≤3.
规律方法 (1)切入点：根式的意义．
(2)关键点：①偶次根式＝a(a≥0)；②平方差公式的正确应用．
【训练2】 在①(n∈N)；②(n∈N)；③；④(a∈R)各式中恒有意义的是________．
解析　④当a5<0时根式没有意义．
答案　①③
题型三　利用根式性质化简根式
【例3】 (14分)化简：＋＋.
审题指导 综合考查根式的性质、绝对值的意义．
[规范解答] ∵3－2＝12－2＋()2＝(1－)2， 4分
∴原式＝＋＋ 6分
＝|1－|＋(1－)＋|1－| 8分
＝－1＋1－＋－11 2分
＝－1. 14分
【题后反思】 利用根式的性质解题，关键是在理解的基础上熟记根式的意义与性质，特别要注意在中，n是偶数，a＜0的情况．同时对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方和、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
【训练3】 化简：(1)＋；
(2) ＋ .
解　(1)法一　原式＝＋
＝－＋＋＝2.
法二　可令x＝＋(x>0)，两边平方，得x2＝(5－2)＋(5＋2)＋2＝12.
∴x＝2(x>0)．即 ＋＝2.
(2)令x＝＋，两边立方
x3＝2＋＋2－＋3···(＋)．即x3＝4－3x?x3＋3x－4＝0?(x－1)(x2＋x＋4)＝0，∴x1＝1(x2＋x＋4＝0，Δ<0无解)．
∴＋＝1.
方法技巧　整体代入思想化简根式
对于形如的无理式的化简，需根据式子的特点，将被开方式化为完全平方式或用换元法进行化简．
【示例】 计算＋－－.
[思路分析] 所给式子均为无理式，需将被开方式化成完全平方式的形式或用换元法进行化简．
解　原式＝
＋－－
＝＋－－
＝|＋|＋|2－|－|2－|－|1－|
＝＋＋2－－(2－)－(－1)＝＋1.
方法点评 将如何化简，关键是能否把被开方式a±2化成完全平方式，即将b进行适当的因式分解，使b＝m×n，且m＋n＝a，然后将a±2写成m±2＋n＝(±)2的形式.