3.1.1-2 分数指数幂的运算 学案（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.1-2 分数指数幂的运算 学案（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 62.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-07-06 20:29:09 | ||
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文档简介
3．1 指数函数
3．1.1 分数指数幂
第2课时 分数指数幂的运算
【课标要求】
1．掌握有理数指数幂的运算性质；
2．会进行根式和分数指数幂的相互转化．
【核心扫描】
1．会进行根式和分数指数幂的相互转化．(重点)
2．运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简．(难点)
自学导引
1．正分数指数幂a＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．
2．负分数指数幂a－＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．
3．分数指数幂的运算性质
aman＝am＋n(a＞0，m、n∈Q)；
＝am－n(a＞0，m、n∈Q)；
(am)n＝amn(a＞0，m、n∈Q)；
(ab)n＝anbn(a＞0，b＞0，n∈Q)；
()n＝(a＞0，b＞0，n∈Q)．
试一试：分数指数幂的几个特殊结论是什么？
提示 ①a＞0时，ab＞0；②a±2a·b＋b＝(a±b)2(a＞0，b＞0)；③(a＋b)(a－b)＝a－b(a＞0，b＞0)．
名师点睛
1．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．
2．由分数指数幂a的定义知a≤0时，a可能会无意义，而有意义时可借助定义将底
数化为正数，从而利用有理数指数幂的性质运算.
题型一 计算问题
【例1】 计算．
(1)(0.027)－－(－)－2＋(2)－(－1)0；
(2)()2＋()－＋－(1.03)0×(－)3.
[思路探索] 把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算．
解 (1)原式＝()－－(－1)－2()－2＋()－1＝－49＋－1＝－45.
(2)原式＝＋(6)＋－1×(－)＝＋＋5＋2＋＝.
规律方法 在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的性质进行化简、求值等运算．
【训练1】 计算：
(1)0.064－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01；
(2)0.027－－(－)－2＋2560.75－(4)－＋()－1－729－.
解 (1)原式＝－1＋＋＋＝－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝－＋－＋－＝－36＋64－＋－＝32.
题型二 化简问题
【例2】 化简．
(1)÷(1－2)×；
(2)＋－.
[思路探索] 在运算过程中要注意指数的合理拆分．
解 (1)原式＝÷(1－2)×a
＝a(a－2b)××a
＝a×a×a＝a.
(2)原式＝＋－
＝a－1＋a－a＋1－a－a＝－a.
规律方法 (1)切入点：运用有理数指数幂性质进行化简求值时要掌握化同底幂、凑完全平方、因式分解等解题技巧，特别注意立方和、立方差在解题中的应用，x可看作(x)3，y可看作(y)3，则x＋y＝(x)3＋(y)3，x－y＝(x)3－(y)3，将x，y看作一个整体，就可以应用立方和、立方差公式了，因立方和、立方差不如平方和、平方差易于考虑，故应特别注意．
(2)关键点：对分式化简的方法与技巧：①将分子、分母分解因式，能约分的先约分，②利用分式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母．③先化简其中几个分式，重点突破等．
【训练2】 化简：(1)－；
(2)(a3＋a－3)(a3－a－3)÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]．
解 (1)原式＝－
＝
－
＝(x－－x－y－＋y－)－(x－＋x－y－＋y－)
＝－2x－y－.
(2)原式＝(a6－a－6)÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]
＝＝
＝＝＝a＋a－1＝a＋.
题型三 求值问题
【例3】 (14分)若a＋a－＝x(a>0)，求的值．
审题指导 综合考查根式的化简，乘法公式的变形、转化及整体代入思想．
[规范解答] 由x＝a＋a－，即＝＋，得x＝a＋＋2.3分
x2－4x＝x(x－4)＝6分
＝2·2＝2，10分
∴原式＝＝
【题后反思】 已知条件中含有a与a－，若由已知条件解关于a的方程，不但方程较难求解，而且求出a后还要代入所给式子中，显然太烦琐，从已知式子和所求式子的特征可以看出，将已知条件式变形平方后可得a＋a－1，而由a＋a－1平方后又可得a2＋a－2，因此可利用整体代换法求解．
【训练3】 已知a＋a－＝4，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3).
解 (1)∵a＋a－＝＋＝4，
∴(＋)2＝a＋＋2＝16.
∴原式＝a＋＝14.
(2)∵(a＋)2＝a2＋＋2＝196，
∴原式＝a2＋＝194.
(3)∵a－a－＝(a)3－(a－)3，
∴原式＝
＝a＋a－1＋1＝15.
误区警示 最后结果不最简致误
【示例】 化简： .
[错解] ＝
＝a1－＋b－＋－＝ab－.
对于根式的计算结果，不强求统一的表示形式．一般地用分数指数幂的形式来表示，如果有特殊要求，则按要求给出结果．但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．
[正解] 同上，原式＝ab－＝
在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．
3．1.1 分数指数幂
第2课时 分数指数幂的运算
【课标要求】
1．掌握有理数指数幂的运算性质；
2．会进行根式和分数指数幂的相互转化．
【核心扫描】
1．会进行根式和分数指数幂的相互转化．(重点)
2．运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简．(难点)
自学导引
1．正分数指数幂a＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．
2．负分数指数幂a－＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．
3．分数指数幂的运算性质
aman＝am＋n(a＞0，m、n∈Q)；
＝am－n(a＞0，m、n∈Q)；
(am)n＝amn(a＞0，m、n∈Q)；
(ab)n＝anbn(a＞0，b＞0，n∈Q)；
()n＝(a＞0，b＞0，n∈Q)．
试一试：分数指数幂的几个特殊结论是什么？
提示 ①a＞0时，ab＞0；②a±2a·b＋b＝(a±b)2(a＞0，b＞0)；③(a＋b)(a－b)＝a－b(a＞0，b＞0)．
名师点睛
1．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．
2．由分数指数幂a的定义知a≤0时，a可能会无意义，而有意义时可借助定义将底
数化为正数，从而利用有理数指数幂的性质运算.
题型一 计算问题
【例1】 计算．
(1)(0.027)－－(－)－2＋(2)－(－1)0；
(2)()2＋()－＋－(1.03)0×(－)3.
[思路探索] 把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算．
解 (1)原式＝()－－(－1)－2()－2＋()－1＝－49＋－1＝－45.
(2)原式＝＋(6)＋－1×(－)＝＋＋5＋2＋＝.
规律方法 在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的性质进行化简、求值等运算．
【训练1】 计算：
(1)0.064－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01；
(2)0.027－－(－)－2＋2560.75－(4)－＋()－1－729－.
解 (1)原式＝－1＋＋＋＝－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝－＋－＋－＝－36＋64－＋－＝32.
题型二 化简问题
【例2】 化简．
(1)÷(1－2)×；
(2)＋－.
[思路探索] 在运算过程中要注意指数的合理拆分．
解 (1)原式＝÷(1－2)×a
＝a(a－2b)××a
＝a×a×a＝a.
(2)原式＝＋－
＝a－1＋a－a＋1－a－a＝－a.
规律方法 (1)切入点：运用有理数指数幂性质进行化简求值时要掌握化同底幂、凑完全平方、因式分解等解题技巧，特别注意立方和、立方差在解题中的应用，x可看作(x)3，y可看作(y)3，则x＋y＝(x)3＋(y)3，x－y＝(x)3－(y)3，将x，y看作一个整体，就可以应用立方和、立方差公式了，因立方和、立方差不如平方和、平方差易于考虑，故应特别注意．
(2)关键点：对分式化简的方法与技巧：①将分子、分母分解因式，能约分的先约分，②利用分式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母．③先化简其中几个分式，重点突破等．
【训练2】 化简：(1)－；
(2)(a3＋a－3)(a3－a－3)÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]．
解 (1)原式＝－
＝
－
＝(x－－x－y－＋y－)－(x－＋x－y－＋y－)
＝－2x－y－.
(2)原式＝(a6－a－6)÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]
＝＝
＝＝＝a＋a－1＝a＋.
题型三 求值问题
【例3】 (14分)若a＋a－＝x(a>0)，求的值．
审题指导 综合考查根式的化简，乘法公式的变形、转化及整体代入思想．
[规范解答] 由x＝a＋a－，即＝＋，得x＝a＋＋2.3分
x2－4x＝x(x－4)＝6分
＝2·2＝2，10分
∴原式＝＝
【题后反思】 已知条件中含有a与a－，若由已知条件解关于a的方程，不但方程较难求解，而且求出a后还要代入所给式子中，显然太烦琐，从已知式子和所求式子的特征可以看出，将已知条件式变形平方后可得a＋a－1，而由a＋a－1平方后又可得a2＋a－2，因此可利用整体代换法求解．
【训练3】 已知a＋a－＝4，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3).
解 (1)∵a＋a－＝＋＝4，
∴(＋)2＝a＋＋2＝16.
∴原式＝a＋＝14.
(2)∵(a＋)2＝a2＋＋2＝196，
∴原式＝a2＋＝194.
(3)∵a－a－＝(a)3－(a－)3，
∴原式＝
＝a＋a－1＋1＝15.
误区警示 最后结果不最简致误
【示例】 化简： .
[错解] ＝
＝a1－＋b－＋－＝ab－.
对于根式的计算结果，不强求统一的表示形式．一般地用分数指数幂的形式来表示，如果有特殊要求，则按要求给出结果．但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．
[正解] 同上，原式＝ab－＝
在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．