3.1.2 指数函数 习题课 学案（含答案解析）

第3课时　指数函数习题课 学案
【课标要求】
1．掌握分数指数幂及运算性质．
2．掌握指数函数的定义、图象和性质．
【核心扫描】
1．熟练正确地进行有关根式与分数指数幂的化简、求值等问题．(重点)
2．掌握指数函数的图象、性质及其应用．(难点)
自学导引
1．分数指数幂的定义
(1)正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；规定a－＝(a＞0，m，n∈N*且n＞1)．
2．有理指数幂的运算性质：
(1)asat＝as＋t；
(2)(as)t＝ast；
(3)(ab)t＝atbt.
其中s，t∈Q，a＞0，b＞0.
3．指数函数的图象和性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x＞0时，y＞1
当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1
当x＜0时，y＞1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
比较几个幂的大小，可先将它们与零比较，分出正负数；正数与1比，分出大于1和小于1的两类；在以上两类中再进行比较，对于底数相同、指数不同的两个幂，可以利用指数函数的单调性进行判断；对于指数相同、底数不同的两个幂，可以利用不同底的指数函数图象在象限内的分布规律进行判断；若底数与指数都不同的两个幂，则可以通过寻找第三个数(通常称为中间值)，对两数进行比较大小．
名师点睛
对于分数指数幂，要求掌握分数指数幂的概念与运算性质，以及分数指数幂与根式的相互转化，能够熟练并且正确地进行有关根式与分数指数幂的化简、求值等问题，能熟练进行有关分数指数幂的恒等变形，提高有关分数指数幂知识的综合运用能力．
对于指数函数，要求掌握指数函数的定义、图象、性质及其应用，体会利用函数图象来研究函数性质的思想方法，以及从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，充分认识指数函数是一类重要的函数模型，在现实生活、生产实践、现代科技等领域指数函数有着广泛的应
用.
题型一　指数值的大小比较
【例1】 比较()，2，(－)3，()的大小．
[思路探索] 对于3个以上的数的大小比较，一般是先对其进行分类，根据问题实际常常分成三类：一类是负数，一类是大于0且小于1的数，一类是大于1的数，再对这三类数分别进行比较．
解　将()，2，(－)3，()分成如下三类：
(1)负数(－)3；
(2)大于0小于1的数()；
(3)大于1的数()，2.
∵()＜4，而4＝2，
∴(－)3＜()＜()＜2.
规律方法 两个不同的数比较大小，若底数相同，则可利用指数函数的单调性来比较大小；若底数不同，则首先考虑能否化为同底数，若不能化为同底数的，要考虑引进第三个数(如0,1等)进行分段比较．
【训练1】 三个数()，()，()的大小关系是______(用“＜”连接)．
解析　∵＜，∴()＜().
又∵y＝()x是减函数，∴()＜().
∴()＜()＜().
答案　()＜()＜()
题型二　与指数函数相关的证明问题
【例2】 已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)证明：方程f(x)＝0没有负数根．
[思路探索] (1)设－1＜x1＜x2，证明f(x2)－f(x1)＞0.
(2)设x0(x0＜0)是方程f(x)＝0的负数根，证明ax0＝不能成立．
证明　(1)设x1、x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝ax2＋－ax1－＝ax2－ax1＋，
因为x1＜x2，a＞1，所以ax2＞ax1，又因为x1、x2∈(－1，＋∞)，所以x2＋1＞0，x1＋1＞0.
从而有f(x2)－f(x1)＞0，所以函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)设x0(x0＜0)是方程f(x)＝0的根，则ax0＋＝0，
即ax0＝.因为x0＜0，所以ax0∈(0,1)．
又因为＝－1，
若x0＜－1，则＜0，所以－1＜－1，即＜－1；
若－1＜x0＜0，则0＜x0＋1＜1，所以＞3，即＞2.
所以∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
综上所述，满足ax0＝的x0不存在，即方程f(x)＝0没有负数根．
所以，方程f(x)＝0没有负数根．
【训练2】 设a＞0，f(x)＝＋在R上满足f(－x)＝f(x)．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(1)解　因为f(－x)＝f(x)，
即＋＝＋，
即＋aex＝＋，所以(a－)(ex－)＝0.
因为x∈R，对任意x恒有(a－)(ex－)＝0，
则有a－＝0，即a2＝1.又a>0，所以a＝1.
(2)证明：由(1)得f(x)＝ex＋.
设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝ex1＋－ex2－
＝(ex1－ex2)＋＝(ex1－ex2)(1－)．
因为x2>x1>0，所以ex2>ex1>1，所以ex1－ex2<0，
1－>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
题型三　指数函数性质的综合问题
【例3】 (14分)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求实数a的值．
审题指导 考查指数函数性质和二次函数的相关知识、考查运算能力．
[规范解答] 由y＝a2x＋2ax－1得y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2， 3分
令ax＝t，则y＝(t＋1)2－2. 4分
当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以≤ax≤a，即≤t≤a. 7分
因为函数y＝(t＋1)2－2的对称轴为t＝－1，
所以，当t＝a时，函数y＝(t＋1)2－2有最大值，即(a＋1)2－2＝14，解得a＝3. 9分
当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以a≤ax≤，即a≤t≤. 11分
所以，当t＝时，函数y＝(t＋1)2－2有最大值，即(＋1)2－2＝14，解得a＝. 13分
综上所述，实数a的值为3或. 14分
【题后反思】 指数函数与二次函数的综合问题，在求解时，一定要对涉及的知识点熟悉并熟练掌握运用，此外注意一些思想方法的运用，如分类讨论、换元法等的灵活应用．
【训练3】 函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解　(1)若a＞1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去)．
(2)若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上递减，
∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)，
综上所述，所求a的值为或.
方法技巧　分类讨论思想在指数函数问题中的应用
在解决指数函数相关问题中，由于底数的取值范围影响指数函数的单调性，所以问题结果有多种情况，不能用同一种标准或方法，这就需要对底数的取值情况进行分类讨论．
【示例】 如果函数y＝a2x＋2ax＋1(a>0，a≠1)在[－1,1]上的最大值为9，求a的值．
[思路分析] 由于a不是确定的，无法知道a的范围，这就需要对a分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论．
解　 设ax＝t(t>0)，则y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.
若00，a≠1)．
若a>1，则t＝ax∈[a－1，a]，所以当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋2a＋1.于是由a2＋2a＋1＝9，解得a＝2(a>0，a≠1)．
综上所述，a＝或a＝2.
方法点评 指数函数的单调性，由底数的取值范围确定．在求解与指数函数单调性相关问题时，要注意对底数分类讨论.