3.1.2 指数函数 学案（含答案解析） (2)

3.1.2　指数函数 学案
明目标、知重点　1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象.2.初步学会运用指数函数解决问题．
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
[情境导学]
印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人．这位聪明的大臣说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍．直到摆满棋盘上64格”，国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”．于是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了．还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言．想一想，共需要多少粒麦子？
探究点一　指数函数的概念
思考1　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为y，则y与x的函数关系是什么？
答　y＝2x .
思考2　从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花．这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古生物的年代，可以用放射性碳法：在动植物体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半．若14C的原始含量为1，经过x年后的残留量为y，则 y与x的函数关系是什么？
答　y与x的函数关系是
思考3　思考1和思考2有什么共同特征？
答　这两个函数的共同特征为：底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用y＝ax(a＞0且a≠1来表示)．
小结　指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
思考4　指数函数定义中为什么规定了a>0且a≠1?
答　将a如数轴所示分为：a<0，a＝0,01五部分进行讨论：
(1)如果a<0，比如y＝(－4)x，这时对于x＝，x＝等，在实数范围内函数值不存在，所以没有研究的价值；
(2)如果a＝0，；
(3)如果a＝1，y＝1x＝1，是个常值函数，没有研究的必要；
(4)如果01即a>0且a≠1，x可以是任意实数．为了便于研究，所以规定：a>0且a≠1.
思考5　函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？
答　函数y＝2x的指数是变量，是指数函数；函数y＝x2的指数是常数，是二次函数．
例1　在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；
(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．
解　只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．
反思与感悟　根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>1，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
跟踪训练1　指出下列函数哪些是指数函数：
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝(－4)x；
(4)y＝xx；(5)y＝(2a－1)x.
解　(1)、(5)为指数函数；(2)自变量在底数上，所以不是；
(3)底数－4<0，所以不是；
(4)底数x不是常数，所以不是．
探究点二　指数函数的图象与性质
问题　分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝()x的图象及y＝3x与y＝()x的图象，如何通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质．
思考1　图象分布在哪几个象限？这说明了什么？
答　图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}．
思考2　猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？
答　它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数．
思考3　图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？
答　不论底数a>1还是0思考4　函数y＝2x与y＝x的图象及函数y＝3x与y＝()x的图象有什么关系？
答　通过图象看出y＝2x与y＝x的图象关于y轴对称，y＝3x与y＝x的图象也关于y轴对称．
思考5　你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)
答　定义域为R，值域为{y|y>0}，过(0,1)点，a>1时为增函数，0例2　已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
解　将点(3，π)，代入f(x)＝ax，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得：，于是f(x)＝，
所以f(0)＝π0＝1，f(1)＝＝，f(－3)＝π－1＝.
反思与感悟　要求指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练2　当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过定点________．
答案　(2，－2)
解析　当a>0且a≠1时，总有f(2)＝a2－2－3＝a0－3＝1－3＝－2，
所以函数f(x)＝ax－2－3必过定点(2，－2)．
例3　比较下列各组数中两个值的大小：
(1)1.52.5,1.53.2；(2)0.5－1.2,0.5－1.5；
(3)1.50.3,0.81.2.
解　(1)考虑指数函数f(x)＝1.5x.因为1.5>1，
所以f(x)＝1.5x在R上是单调增函数．
因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)考虑指数函数f(x)＝0.5x.因为0<0.5<1，
所以f(x)＝0.5x在R上是单调减函数．
因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，
而0.81.2<0.80＝1，所以1.50.3>0.81.2.
反思与感悟　比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、(2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其它数值．
跟踪训练3　比较下列各组数中两个值的大小：
(1)30.8,30.7；(2)0.75－0.1,0.750.1；(3)1.012.7,1.013.5；
(4)0.993.3,0.994.5.
解　(1)考虑函数y＝3x，∵3>1，
∴指数函数y＝3x在R上是增函数．
∵0.8>0.7，∴30.8>30.7.
(2)考虑函数y＝0.75x，∵0<0.75<1，
∴指数函数y＝0.75x在R上是减函数．
∵－0.1<0.1，∴0.75－0.1>0.750.1.
(3)考虑函数y＝1.01x，∵1.01>1，
∴指数函数y＝1.01x在R上是增函数．
∵2.7<3.5，∴1.012.7<1.013.5.
(4)考虑函数y＝0.99x，∵0<0.99<1，
∴指数函数y＝0.99x在R上是减函数．
∵3.3<4.5，∴0.993.3>0.994.5.
例4　(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；
(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
解　(1)因为3>1，所以指数函数f(x)＝3x在R上是单调增函数，由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为[0.5，＋∞)．
(2)因为0<0.2<1，所以指数函数f(x)＝0.2x在R上是单调减函数，因为25＝()－2＝0.2－2，
所以0.2x<0.2－2，由此可得x>－2，
即x的取值范围为(－2，＋∞)．
反思与感悟　通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法．
跟踪训练4　已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象过点(2,1)，则f(x)的值域为________．
答案　[1,9]
解析　因为函数f(x)＝3x－b的图象经过点(2,1)，
所以32－b＝1，所以2－b＝0，b＝2，
所以f(x)＝3x－2.
由2≤x≤4得0≤x－2≤2，
因为函数y＝3x在区间[0,2]上是增函数，所以30≤3x－2≤32，即1≤3x－2≤9，
所以函数f(x)的值域是[1,9]．
1．下列各函数中，是指数函数的是________．(填序号)
①y＝(－3)x；
②y＝－3x；
③y＝3x－1；
④y＝x.
答案　④
解析　只有y＝x符合指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的形式．
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则a，b的取值范围为________________．
答案　01
解析　函数y＝ax的图象是下降的，所以01.
3．函数f(x)＝的定义域是________________．
答案　(－∞，0]
解析　由1－2x≥0得2x≤1，根据y＝2x的图象可得x≤0.
4．函数f(x)＝(a＞1)的图象的大致形状为________．
答案　③
解析　当x＞0时，f(x)＝ax，由于a＞1，函数是增函数；当x＜0时，f(x)＝－ax，与f(x)＝ax(x＜0)关于x轴对称，只有③符合．
5.已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝________.
答案　或
解析　(1)若a>1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递增的，
当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，
即a2＝7，
又a>1，∴a＝.
(2)若0当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，
所以a＝.
综上所述，a的值为或.
[呈重点、现规律]
1．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
一、基础过关
1．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.
答案　2
解析　由题意得
解得a＝2.
2．函数y＝3x与y＝3－x的图象关于下列哪条直线对称________．(填序号)
①x轴；②y轴；③直线y＝x；④直线y＝－x.
答案　②
解析　y＝3－x即y＝()x，分别作出两个函数图象可知，y＝3x与y＝()x的图象关于y轴对称．
3．若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan 的值为________．
答案　
解析　∵3a＝9，∴a＝2，∴tan＝tan 60°＝.
如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为________．(填序号)
答案　④
解析　设某林区森林木材原有蓄积量为a(a>0)，x年后为a(1＋0.113)x，
由题意得y＝＝1.113x，
∵x>0，∴图象为④.
5．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．
答案　
解析　由题意得a2＝4，∴a＝2.
f(－3)＝2－3＝.
6．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
答案　[0,8)
解析　y＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·()x
＝8[1－()x]．
∵x≥0，∴0<()x≤1，∴－1≤－()x<0，
从而有0≤1－()x<1，因此0≤y<8.
7．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2)；
(3)2－1.5和30.2.
解　(1)考察函数y＝0.2x.
因为0<0.2<1，
所以函数y＝0.2x在实数集R上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考察函数y＝()x.因为0<<1，
所以函数y＝()x在实数集R上是单调减函数．
又因为<，所以
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，
所以2－1.5<30.2.
二、能力提升
8．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．
答案　－
解析　当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝2－x，即－f(x)＝()x，∴g(x)＝f(x)＝－()x.因此有g(2)＝－()2＝－.
9．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
答案　－3
解析　由已知，得f(1)＝2；又当x>0时，f(x)＝2x>1，而f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，且a<0，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
10．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为，则a＝________.
答案　或
解析　(1)当a>1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是增函数．
所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；
当x＝0时，函数f(x)取最小值．
由题意得f(1)－f(0)＝，
即a－a0＝，解得a＝.
(2)当0所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；
当x＝0时，函数f(x)取最大值．
由题意得f(0)－f(1)＝，
即a0－a＝，解得a＝.
综上知a＝或.
11.设0≤x≤2，，试求该函数的最值．
解　令t＝2x,0≤x≤2，∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋，t∈[1,3]上是减函数；
t∈[3,4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
12.求函数(0≤x≤3)的值域．
解　令t＝x2－2x＋2，则y＝t，
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤3，
∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.
故1≤t≤5，∴5≤y≤1，
故所求函数的值域为.
三、探究与拓展
13．当a>1时，求证函数y＝是奇函数．
证明　由ax－1≠0，得x≠0，故函数定义域为{x∈R|x≠0}，易判断其定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴函数y＝是奇函数.