3.1.2 指数函数 学案（含答案解析）

3.1.2　指数函数 学案
明目标、知重点　1.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质.2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性、奇偶性.3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式．
1．比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
2．简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
3．形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0探究点一　指数函数底数大小与图象的关系
问题　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数越大时，函数图象间有怎样的关系？
思考1　观察同一直角坐标系中函数①y＝x；②y＝x；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？
答　(1)当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．
(2)当0(3)底互为倒数时，图象关于y轴对称．
思考2　当a>b>0(a≠1且b≠1)时，对任意一个实数x0.什么时候ax0>bx0？什么时候？什么时候?
答　由图象可知：当a>b>1时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，.
当1>a>b>0时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，.
综上可知：对a>b>0(a≠1且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，.
小结　x0为正数时，不论底数大于1还是大于0且小于1，底数大的指数函数对应的函数值大；当x0为负数时，底数大的指数函数对应的函数值小．因此对于几个不同的指数函数，当自变量为相同的数时，可以通过其函数值的大小比较底数的大小，即过与y轴平行的直线与指数函数图象的交点向y轴投影后，通过y轴的数值大小比较底数的大小．
例1　如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是________．(用“<”连接)
答案　b解析　在y轴的右侧作y轴的平行线，过四个交点向y轴投影，投影点在上面的底数大．
反思与感悟　对于当自变量取同一值，比较指数函数底数大小的题目，只要记准函数①y＝x，②y＝x，③y＝3x，④y＝2x的图象的位置，加以类比，即可得出答案．
跟踪训练1　比较下列各组中两个数的大小：
(1)2.3和2.3；(2)0.6－2和.
解　(1)2.3＝－2.3；
∵2.3>－2.3，
∴2.3>－2.3，
即2.3>2.3.
(2)由指数函数的性质知0.6－2>1，
<1，∴0.6－2>.
探究点二　指数函数图象的变换
例2　说明下列函数的图象与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图：
(1)y＝2x－2；(2)y＝2x＋2.
解　比较函数y＝2x与函数y＝2x－2，y＝2x＋2的取值关系，列表如下：
x
y＝2x－2
y＝2x
y＝2x＋2
?
?
?
?
－4
2－6
2－4
2－2
－3
2－5
2－3
2－1
－2
2－4
2－2
20
－1
2－3
2－1
21
0
2－2
20
22
1
2－1
21
23
2
20
22
24
?
?
?
?
由此可知，函数y＝2x－2中x＝a＋2对应的y值与函数y＝2x中x＝a对应的y值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．
同样地，函数y＝2x＋2中x＝a－2对应的y值与函数y＝2x中x＝a对应的y值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．这些图象如下图所示．
反思与感悟　当h>0时，函数y＝ax的图象向左平移h个单位，就得到函数y＝ax＋h的图象；当h<0时，函数y＝ax的图象向右平移|h|个单位，就得到函数y＝ax＋h的图象．
跟踪训练2　探讨函数y＝ax和y＝a－x(a>0且a≠1)的图象的关系，并证明．
解　设P1(x1，y1)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象上任意一点，
则y1＝a，而P1(x1，y1)关于y轴的对称点是Q(－x1，y1)，∴y1＝a＝a，
即Q在函数y＝a－x的图象上．由于P1是任意取的，所以y＝ax上任一点关于y轴的对称点都在y＝a－x的图象上．同理可证：y＝a－x图象上任意一点也一定在函数y＝ax的图象上．
∴函数y＝ax和y＝a－x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称．
探究点三　指数函数在实际问题中的应用
例3　某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x(x∈N*)，本利和(本金加上利息)为y元．
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
解　(1)已知本金为a元，利率为r，则
1期后的本利和为y＝a＋a×r＝a(1＋r)，
2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，
……
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为
y＝a(1＋r)x，x∈N*.
(2)将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55
≈1 117.68(元)．
即5期后的本利和约为1 117.68元．
反思与感悟　类似上面题目，设本金为N，每期利率为p，则对于经过x期后总量y＝N(1＋p)x，形如量y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的函数称为指数型函数．
跟踪训练3　截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？(精确到亿)
解　设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，
1999年底，我国人口约为13亿；
经过1年(即2000年)人口约为13＋13×1%＝13(1＋1%)亿；
经过2年(即2001年)人口约为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)2亿；
经过3年(即2002年)人口约为13(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3亿；
……
经过x年人口约为13(1＋1%)x亿，则y＝13(1＋1%)x.
当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．
答　经过20年后，我国人口数最多为16亿．
1．若则a、b、c的大小关系是____________．
答案　a解析　∵y＝0.5x在R上是减函数，＞＞，
∴
2．函数y＝的值域是________．
答案　[0,4)
解析　∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴∈[0,4)．
3．设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集为________．
答案　(1，＋∞)
解析　∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵，
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
4．若f(52x－1)＝x－2，则f(125)＝________.
答案　0
解析　f(125)＝f(53)＝f(52×2－1)＝2－2＝0.
5．用函数单调性定义证明a＞1时，y＝ax是增函数．
证明　设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2＝x1＋h(h＞0)，
则有a－a＝a＋h－a＝a (ah－1)，
∵a＞1，h＞0，∴a＞0，ah＞1，
∴a－a＞0，即a＜a
故y＝ax(a＞1)为R上的增函数．
[呈重点、现规律]
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.
一、基础过关
1．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是________．
答案　(，＋∞)
解析　∵函数y＝()x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.
2．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是________．
答案　3
解析　函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
3．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
答案　m解析　∵0<<1，∴f(x)＝ax＝()x，
且f(x)在R上单调递减，
又∵f(m)>f(n)，∴m4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
答案　[2，＋∞)
解析　由f(1)＝得a2＝，
所以a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
5．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示有两个公共点．
6．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
答案　19
解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
7．已知函数f(x)＝.
(1)证明f(x)为奇函数；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；
(3)求f(x)的值域．
(1)证明　由题意知f(x)的定义域为R，
f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)解　f(x)在定义域上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1f(x2)－f(x1)＝－
＝(1－)－(1－)
＝.
∵x10,3x1＋1>0,3x2＋1>0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)为R上的增函数．
(3)解　f(x)＝＝1－，
∵3x>0?3x＋1>1?0<<2?－2<－<0，
∴－1<1－<1，
即f(x)的值域为(－1,1)．
二、能力提升
8．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.
答案　
解析　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①
得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.
9．函数y＝()x2＋2x－1的值域是________．
答案　(0,4]
解析　设t＝x2＋2x－1，则y＝()t.
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝()t为关于t的减函数，
所以0故所求函数的值域为(0,4]．
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________________．
答案　(－∞，－1)
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－2－x<－，()x>，得x∈?；
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
综上可知x∈(－∞，－1)．
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴
②÷①得a2＝4，
又a>0且a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知()x＋()x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤()x＋()x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝()x＋()x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是(－∞，]．
12．已知f(x)＝x(＋)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：f(x)>0.
(1)解　由于2x－1≠0和2x≠20，故x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)解　函数f(x)是偶函数．
理由如下：
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，
因为f(x)＝x(＋)＝·，
所以f(－x)＝－·
＝－·＝－·
＝·＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)证明　由(2)知f(x)＝·.
对于任意x∈R，都有2x＋1>0，
若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，
于是·>0，即f(x)>0，
若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，
于是·>0，即f(x)>0，
综上知：f(x)>0.
三、探究与拓展
13．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的范围．
(1)解　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)证明　任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵x1＜x2，∴2x2－2x1＞0，
又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，f(x1)－f(x2)＞0
∴f(x)为R上的减函数．
(3)解　∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，
∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)
∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，
∵f(x)为减函数，∴t2－2t＞k－2t2.
即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3(t－)2－≥－.
∴k＜－.