北师大版数学选择性必修第一册第六章 4.1二项分布 同步练习（含解析）

北师大版数学选择性必修第一册第六章4.1二项分布
一、单选题：本题共14小题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某试验每次成功的概率为，现重复进行次该试验，则恰好有次试验未成功的概率为( )
A. B. C. D.
2.某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试次各次测试互不影响，那么其中恰有次通过的概率是( )
A. B. C. D.
3.在次独立重复试验中，随机事件恰好发生次的概率不大于其恰好发生次的概率，则事件在次试验中发生的概率的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.设随机变量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.在比赛中，如果运动员胜运动员的概率是，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员恰有三次获胜的概率是( )
A. B. C. D.
6.若X~B(7,),则使P(X=k)最大的k的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 3或4 D. 4
7.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂一人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业则两家店铺该节假日能正常开业的概率为( )
A. B. C. D.
8.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为( )
A. B. C. D.
9.设随机变量，满足：，，若，则 ．
A. B. C. D.
10.某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的期望为( )
A. B. C. D.
11.设随机变量X~B(n,p),如果EX=12,DX= 4,那么n和p分别为（ ）
A. 18和 B. 16和 C. 20和 D. 15和
12.下列例子中随机变量服从二项分布的个数为( )
某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数
某射手击中目标的概率为，从开始射击到击中目标所需的射击次数
从装有个红球，个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数
有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数．
A. B. C. D.
13.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
14.若小明通过某次考试的概率是未通过的倍，令随机变量，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
15.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量且，则
C. 若随机变量，则
D. 在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则
16.下列选项正确的是
A. 若随机变量，则
B. 若随机变量，则
C. 若随机变量服从分布，且，则
D. 若随机变量满足，，，，则
17.下列命题中，正确的命题是( )
A. 已知随机变量服从两点分布，且设，那么
B. 已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差
C. 已知，，，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大
18. 下列说法正确的是( )
A. 随机变量等可能取，如果，则
B. 设随机变量服从二项分布，则
C. 设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D. 已知随机变量服从正态分布且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
19.已知随机变量，，则 ，标准差 ．
20.甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立当比赛采取局胜制时，甲用局赢得比赛的概率为现甲、乙进行局比赛，采取局胜制，则比赛结束时比赛局数的数学期望为 ．
21.若随机变量的概率分布如下表所示，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共4小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题分
某射手每次射击击中目标的概率是，现在连续射击次，求击中目标的次数的分布列．
23.本小题分
甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．
记甲投中的次数为，求的分布列
求乙至多投中次的概率．
24.本小题分
某教师参加教师晋升考试，面试环节需从道题中道专业题，道师德题不放回地依次抽取道作答．
求该教师在第一次抽到专业题的条件下，第二次和第三次均抽到专业题的概率
该教师答对专业题的概率均为，若每题答对得分，否则得分，现该教师抽到道专业题，求该教师所得总分的方差．
25.本小题分
我国承诺年前达到“碳达峰”，年实现“碳中和”“碳达峰”就是我们国家承诺在前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去而到年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲、乙两队通过初赛和复赛获胜的概率均为丙队通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响．
求取何值时，丙队进入决赛的概率最大
在的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题意可得重复进行次该试验，则恰好有次试验未成功，次试验成功的概率为 ．
2.【答案】
【解析】 某人通过普通话二级测试的概率是 ，他连线测试次，
其中恰有次通过的概率是：
3.【答案】
【解析】根据重伯努利试验发生次的概率公式得，结合，解得，故选A．
4.【答案】
【解析】随机变量，， ， ， ，故选B．
5.【答案】
【解析】由题意，可得所求概率为，故选B．
6.【答案】C
【解析】P(X=k)==.由==1,得k3.
所以当k=3时,P(X=3)=,P(X=3+1)=P(X=4)=,
则P(X=3)=P(X=4),
从而X=3或X=4时,P(X=k)取得最大值.故选C.
7.【答案】
【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件，则有四人休假的概率为，有三个人休假的概率为 ，所以两家店铺不都能正常营业的概率为 ，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为故选D．
8.【答案】
【解析】小球每次遇到障碍物时，若有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落，
则小球将落入袋，
所以
9.【答案】
【解析】由题意可得：，解得：，
则，．故选：．
10.【答案】
【解析】遇到红灯的次数，
．
．
11.【答案】A
【解析】由解得n=18,p=.故选A.
12.【答案】
【解析】满足独立重复试验的条件，是二项分布的取值是，，，，，， ，，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布虽然是有放回地摸球，但随机变量的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义次试验是不独立的，因此不服从二项分布故选B．
13.【答案】
【解析】因为X~B(4，p)，P(X1)=，
所以P(X=0)=1-=，
所以=，
所以1-p=，
所以p=，
所以E(X)=，D(X)=(1-)=，
所以E(X)+D(X)=+=.
14.【答案】
【解析】因为小明通过某次考试的概率是未通过的倍，所以，所以，得出故选C．
15.【答案】
【解析】对于选项，由分布列的性质可知，解得，对；
对于选项，若随机变量且，
则，对；
对于选项，若随机变量，则，错；
对于选项，由超几何分布的概率公式可得，错．
故选AB．
16.【答案】
【解析】对于因为随机变量，根据方差公式得故A正确；
对于因为随机变量，随机变量服从正态分布，，B正确；
对于因为随机变量服从分布，且，则，C错误；
对于因为随机变量满足，，，，随机变量服从超几何分布则，D正确．故选ABD
17.【答案】
【解析】：由题意， ，因为，所以，A错误；
：由题意 ，，所以，所以，
所以，B正确；
：因为 ，
所以 ，
由 可得 ，
又 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，C正确；
：因为 ，
当 时，对应的概率 ，
设 时，概率最大，则 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 时，概率最大，故选项D正确．
故选：．
18.【答案】
【解析】由题意知，对于，，故A正确
对于，设随机变量服从二项分布，则，B正确
对于，因为且，，故C正确
对于，随机变量服从正态分布，
正态曲线的对称轴是，
，
，
，D错误．
故选ABC．
19.【答案】
【解析】
、因为，
所以，，
因为，
所以，，
故答案为；
20.【答案】
【解析】因为当比赛采取局胜制时，甲用局赢得比赛的概率为，且每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，
所以，
解得，．
由题意知的可能取值为，，，，
则，
，
，
．
则的分布列为
所以采取局胜制，比赛结束时比赛局数的数学期望为．
21.【答案】
【解析】依题意，随机变量服从两点分布，
所以且，
解得．
故答案为．
22. 【解析】击中目标的次数由已知，，，，，，，，．
，
，
，
，
．
随机变量的分布列为
23.【解析】的可能取值为，，，．
，
，
，
．
的分布列为
乙至多投中次的对立事件为乙次全部投中，则乙至多投中次的概率为．
24. 【解析】：(1)记“该教师第一次抽到专业题”为事件A,“该教师第二次和第三次均抽到专业题”为事件B,则所求概率为P(B|A).由题知P(A)=,P(AB)==,则P(B|A)==.
(2)设该教师答对专业题的道数为Y,则Y~B(3,),则DY=3(1-)=.当Y=0,1,2,3时,对应X=0,10,20,30,即X=10Y,所以该教师所得总分X的方差DX=DY=100= 48.

25. 【解析】（1）由题知：
丙队通过初赛和复赛的概率，
又因为，所以.
所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为.
（2）由（1）知:
甲、乙、丙三队进入决赛的概率均为，
因为进入决赛的队伍数X~B(3，)，
所以；
；
；
.
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以，=.
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