3.2.1-1 对数的概念 学案（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.1-1 对数的概念 学案（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 55.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-07-07 06:55:55 | ||
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文档简介
3．2 对数函数
3．2.1 对 数
第1课时 对数的概念
【课标要求】
1．理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．
2．了解常用对数与自然对数以及两种对数符号的写法．
3．了解对数恒等式，并能运用它进行计算．
【核心扫描】
1．对数概念的应用．(重点)
2．对数概念的理解．(难点)
自学导引
1．一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．
3．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.
4．若a>0，且a≠1，则ab＝N等价于logaN＝b.
5．对数恒等式：alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N>0)
想一想：1.log2(－3)是否有意义？
提示 因为零和负数没有对数，所以log2(－3)无意义．
2．为何有loga1＝0，logaa＝1?
提示 因为a0＝1，a1＝a，所以loga1＝0，logaa＝1.
名师点睛
1．由对数的定义可知对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同的表达形式，它们的关系如下表.
式子
名称
对应的运算
a
b
N
指数式：ab＝N
(a>0且a≠1)
底数
指数
幂
由a，b求N
对数式：logaN＝b
(a>0且a≠1，N>0)
底数
对数
真数
由a，N求b
对数运算是指数运算的逆运算，充分理解对数式与指数式的互化是掌握对数的定义及其运算的关键．
2．常用对数与自然对数在数学计算和科学技术中经常用到，需熟记．
3．要熟记常用关系式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；logaa＝1(a>0且a≠1)；loga1＝
0(a>0且a≠1).
题型一 指数式和对数式的互化
【例1】 (1)将log232＝5化成指数式；
(2)将3－3＝化成对数式；
[思路探索] 由于指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a>0，a≠1，N>0)可以相互转化，因此，本题容易由指数式改写成对数式，但要注意两种表示形式中a、b、N的相应位置．改写时首先弄清指数式中谁是b，谁是N，注意对数符号的写法，特别是底数和真数的位置要书写规范．
解 (1)25＝32.
(2)log3＝－3.
规律方法 利用对数式与指数式的关系可以把指数式与对数式进行互化，从而使问题顺利地得到解决，这也是解决对数问题时运用化归思想的桥梁．
【训练1】 把下列指数式写成对数式或者将对数式写成指数式：
(1)45＝1 024；(2)log8＝－3.
解 (1)log41 024＝5.(2)－3＝8.
题型二 应用指数式与对数式的互化求值
【例2】 求下列各式中的x.
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；
(3)log2(log5x)＝0；(4)log3(lg x)＝1.
[思路探索] 利用指数式ab＝N与对数式logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)的互化并结合幂的运算性质来解题．
解 (1)由log8x＝－，得x＝8－＝(23)－＝2－2＝.
(2)由logx27＝，得x＝27＝33，
∴x＝(33)＝34＝81.
(3)由log2(log5x)＝0，得log5x＝20＝1，∴x＝5.
(4)由log3(lg x)＝1，得lg x＝3，∴x＝103＝1 000.
规律方法 (1)对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段．(2)互化时应根据需要将其统一成指数式或对数式，注意化为同底．
【训练2】 (1)log4x＝－，求x；
(2)已知log2(log3x)＝1，求x；
解 (1)∵log4x＝－，∴x＝4－＝2－3＝.
(2)∵log2(log3x)＝1，∴log3x＝21，∴x＝32＝9.
题型三 对数恒等式的应用
【例3】 (14分)计算：(1)71－log75；
(2)4(log29－log25)；
(3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c＞0)．
审题指导 本题考查指数幂的运算性质及对数恒等式的应用．
[规范解答] (1)原式＝＝.4分
(2)原式＝2(log29－log25)＝＝.9分
(3)原式＝(aloga b)logbc＝blogbc＝c.14分
【题后反思】 要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N(a＞0且a≠1，N＞0)要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．
【训练3】 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋()log34.
解 原式＝31·3log36－24·2log23＋(10lg 3)3＋3－2·log34
＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2
＝18－48＋27＋＝－.
方法技巧 利用对数定义求范围
由对数的定义可知：若ab＝N，则b＝logaN.而a＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知N＞0，故对数的真数N必须大于零．
【示例】 求下列各式中x的取值范围：
(1)lg(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.
[思路分析] 根据对数的真数必须大于0，对数的底数必须大于0且不等于1，分解不等式(组)求结果．
解 (1)由题意有x－10＞0，即x＞10.
(2)由题意有
即∴x＞1，且x≠2.
(3)由题意有
解得x＞－1，且x≠0，x≠1.
方法点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
3．2.1 对 数
第1课时 对数的概念
【课标要求】
1．理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．
2．了解常用对数与自然对数以及两种对数符号的写法．
3．了解对数恒等式，并能运用它进行计算．
【核心扫描】
1．对数概念的应用．(重点)
2．对数概念的理解．(难点)
自学导引
1．一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．
3．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.
4．若a>0，且a≠1，则ab＝N等价于logaN＝b.
5．对数恒等式：alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N>0)
想一想：1.log2(－3)是否有意义？
提示 因为零和负数没有对数，所以log2(－3)无意义．
2．为何有loga1＝0，logaa＝1?
提示 因为a0＝1，a1＝a，所以loga1＝0，logaa＝1.
名师点睛
1．由对数的定义可知对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同的表达形式，它们的关系如下表.
式子
名称
对应的运算
a
b
N
指数式：ab＝N
(a>0且a≠1)
底数
指数
幂
由a，b求N
对数式：logaN＝b
(a>0且a≠1，N>0)
底数
对数
真数
由a，N求b
对数运算是指数运算的逆运算，充分理解对数式与指数式的互化是掌握对数的定义及其运算的关键．
2．常用对数与自然对数在数学计算和科学技术中经常用到，需熟记．
3．要熟记常用关系式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；logaa＝1(a>0且a≠1)；loga1＝
0(a>0且a≠1).
题型一 指数式和对数式的互化
【例1】 (1)将log232＝5化成指数式；
(2)将3－3＝化成对数式；
[思路探索] 由于指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a>0，a≠1，N>0)可以相互转化，因此，本题容易由指数式改写成对数式，但要注意两种表示形式中a、b、N的相应位置．改写时首先弄清指数式中谁是b，谁是N，注意对数符号的写法，特别是底数和真数的位置要书写规范．
解 (1)25＝32.
(2)log3＝－3.
规律方法 利用对数式与指数式的关系可以把指数式与对数式进行互化，从而使问题顺利地得到解决，这也是解决对数问题时运用化归思想的桥梁．
【训练1】 把下列指数式写成对数式或者将对数式写成指数式：
(1)45＝1 024；(2)log8＝－3.
解 (1)log41 024＝5.(2)－3＝8.
题型二 应用指数式与对数式的互化求值
【例2】 求下列各式中的x.
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；
(3)log2(log5x)＝0；(4)log3(lg x)＝1.
[思路探索] 利用指数式ab＝N与对数式logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)的互化并结合幂的运算性质来解题．
解 (1)由log8x＝－，得x＝8－＝(23)－＝2－2＝.
(2)由logx27＝，得x＝27＝33，
∴x＝(33)＝34＝81.
(3)由log2(log5x)＝0，得log5x＝20＝1，∴x＝5.
(4)由log3(lg x)＝1，得lg x＝3，∴x＝103＝1 000.
规律方法 (1)对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段．(2)互化时应根据需要将其统一成指数式或对数式，注意化为同底．
【训练2】 (1)log4x＝－，求x；
(2)已知log2(log3x)＝1，求x；
解 (1)∵log4x＝－，∴x＝4－＝2－3＝.
(2)∵log2(log3x)＝1，∴log3x＝21，∴x＝32＝9.
题型三 对数恒等式的应用
【例3】 (14分)计算：(1)71－log75；
(2)4(log29－log25)；
(3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c＞0)．
审题指导 本题考查指数幂的运算性质及对数恒等式的应用．
[规范解答] (1)原式＝＝.4分
(2)原式＝2(log29－log25)＝＝.9分
(3)原式＝(aloga b)logbc＝blogbc＝c.14分
【题后反思】 要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N(a＞0且a≠1，N＞0)要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．
【训练3】 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋()log34.
解 原式＝31·3log36－24·2log23＋(10lg 3)3＋3－2·log34
＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2
＝18－48＋27＋＝－.
方法技巧 利用对数定义求范围
由对数的定义可知：若ab＝N，则b＝logaN.而a＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知N＞0，故对数的真数N必须大于零．
【示例】 求下列各式中x的取值范围：
(1)lg(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.
[思路分析] 根据对数的真数必须大于0，对数的底数必须大于0且不等于1，分解不等式(组)求结果．
解 (1)由题意有x－10＞0，即x＞10.
(2)由题意有
即∴x＞1，且x≠2.
(3)由题意有
解得x＞－1，且x≠0，x≠1.
方法点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.