3.2.1-2 对数运算(一) 学案（含答案解析）

3.2.1对数
第2课时　对数运算(一)
【课标要求】
1．理解对数运算的性质，能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算．
2．了解对数在简化运算中的作用．
【核心扫描】
1．对数运算．(重点)
2．对数运算性质的理解．(难点)
自学导引
1．如果a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM.
2．对数的运算性质用语言叙述为：
(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；
(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．
3．设a>0且a≠1，则ab＝N可化为logaN＝b，logaN＝b可化为ab＝N，将ab＝N中的b用b＝logaN中的logaN代替可得alogaN＝N.将logaN＝b中的N用N＝ab中的ab代替可得logaab＝b.
想一想：1.如何由指数运算性质类比得到对数运算性质？
提示　am·an＝am＋n?loga(M·N)＝logaM＋logaN；
am÷an＝am－n?loga＝logaM－logaN.
(am)n＝amn?logaMn＝nlogaM.
2．幂的乘、除运算和对数的什么运算相对应？
提示　与对数的加减运算相对应．
名师点睛
对对数运算性质的理解与运用时需注意的问题
(1)对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．如log2[(－3)·(－5)]是存在的，但log2(－3)与log2(－5)均不存在，故不能写成log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)．
(2)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算，加快计算速度．
(3)对于对数的三条运算性质，要特别注意它的前提条件：
a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，尤其是M、N都是正数这一条件，否则M、N中有一个小于或等于零，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意M＞0、N＞0与M·N＞0并不等价．
初学对数运算法则，容易出现下列错误；
loga(M±N)＝logaM±logaN；
loga(M·N)＝logaM·logaN；
loga＝；
logaMn＝(logaM)n.
产生这种错误的原因是将积、幂、商的对数与对数的积、幂、商混淆起来了，把对数符
号当作数的字母进行运算了.
题型一　同底对数的化简求值
【例1】 求值．
(1)lg＋lg；
(2)log345－log35.
[思路探索] 运用对数的运算性质即可化简求值．
解　(1)lg＋lg＝lg(×)＝lg＝.
(2)log345－log35＝log39＋log35－log35＝2.
规律方法 (1)对于同底的对数的化简求值要做到：①将同底的两对数的和(差)变成积(商)的对数；②将积(商)的对数变成对数的和(差)．
(2)对于常用对数的化简求值要充分创设情境，充分利用类似于“lg 5＋lg 2＝1”的式子解题．
【训练1】 计算log2＋log23的值为________．
解析　原式＝log2－log224＋log23
＝log22－log2(3×23)＋log23
＝－log23－3＋log23＝－.
答案　－
题型二　对数式的化简与求值
【例2】 计算下列各式的值．
(1)lg 12.5－lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(3)lg 25＋lg 2＋lg ＋lg(0.01)－1；
(4)2log32－log3＋log38－5log53.
[思路探索] 若几个对数的底数相同，可考虑利用积与商的对数的运算法则化简．
解　(1)原式＝lg(××)＝lg 10＝1.
(2)原式＝2lg 5＋lg 2×(lg 10＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5＋lg 2)
＝2lg 5＋2lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.
(3)原式＝lg[25×2×10×(10－2)－1]
＝lg(5×2×10×102)＝lg 10＝.
(4)原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3
＝log3(22×32×2－5×23)－3
＝log332－3＝2－3＝－1.
规律方法 对数的化简、计算常需用到对数的运算法则，既可以从左到右使用，也可以从右到左使用(此即所谓“逆用公式”)．这类问题一般有两种处理方法：(1)将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；(2)将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
【训练2】 计算下列各式的值：
(1)(lg 2)2＋lg 4·lg 5＋(lg 5)2；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解　(1)原式＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2
＝(lg 2＋lg 5)2＝(lg 10)2＝1.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63
＝log66＝1.
题型三　对数性质的综合运用
【例3】 (14分)(1)已知11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，求－的值；
(2)设x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z.求证＋＝.
审题指导 本题考查指数式与对数式的互化，以及对数运算性质在解题中的应用．
[规范解答] (1)解　∵11.2a＝1 000，
∴a·lg 11.2＝3，又0.011 2b＝1 000，
∴blg 0.011 2＝3，4分
∴－＝(lg 11.2－lg 0.011 2)＝lg 1 000＝1.
　7分
(2)证明　设3x＝4y＝6z＝k.因为x，y，z∈(0，＋∞)，
所以k＞0，取常用对数得lg 3x＝lg k，lg 4y＝lg k，lg 6z＝lg k；故x＝，y＝，z＝，10分
所以＋＝＋＝＝
＝＝，即＋＝.14分
【题后反思】 对数的各知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，即对数与指数式的互化，也可能用到对数运算的性质，还可能用到其他知识，我们解题时应该全方位、多角度的思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识．
【训练3】 已知lg M＋lg N＝2lg(M－2N)(M>0，N>0，M>2N)，求log的值．
解　由已知可得lg(MN)＝lg(M－2N)2.
故得MN＝(M－2N)2，
整理得M2－5MN＋4N2＝0，
即(M－N)(M－4N)＝0.
解得M＝N或M＝4N.
又∵M＞0，N＞0，M－2N＞0，
∴M＞2N＞0.
∴M＝N应舍去．
∴M＝4N，即＝4.
∴log＝log4＝4.
方法技巧　整体思想解题
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．
【示例】 已知m，n为正整数，a＞0且a≠1，且logam＋loga(1＋)＋loga(1＋)＋…＋loga(1＋)＝logam＋logan，求m，n的值．
[思路分析] 先将所给等式化简，依据所得关系式的特征列出关于m，n的方程组．
解　运用对数运算法则化简已知等式．
左边＝logam＋loga()＋loga()＋…＋loga()
＝loga(m···…·)
＝loga(m＋n)．
于是已知等式化为loga(m＋n)＝loga(mn)，
比较真数得m＋n＝mn，
即(m－1)(n－1)＝1，
因为m，n为正整数，所以解得
方法点评 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用.