3.2.1-3 对数运算(二) 学案（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.1-3 对数运算(二) 学案（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 61.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-07-07 09:39:11 | ||
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文档简介
3.2.1对数
第3课时 对数运算(二)
【课标要求】
1．进一步熟悉对数的运算性质．
2．掌握对数的换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数．
3．会用换底公式进行一些简单的化简与证明，并在应用中体现化简与转化的数学思想．
【核心扫描】
1．对数运算及对数换底公式的应用．(重点)
2．对数换底公式的应用．(难点)
自学导引
1．如果a>0且a≠1，那么利用指数式与对数式互化可得到logaN＝(c>0，c≠1)，logaN＝，其中当N＝c时，有logaN＝.
2．logab·logba＝1，logambn＝logab(特别地，loganbn＝logab)，其中a>0，b>0，a≠1，b≠1.
试一试：1.对ab＝N(a>0且a≠1)两边取对数，会有什么结果？
提示 若以a为底，得logaN＝b；若以c为底，得＝b，从而可得logaN＝(c>0且c≠1)．
2．试比较MlogaN与NlogaM(a>0且a≠1，M>0，N>0)的大小．
提示 因为loga(MlogaN)＝logaNlogaM，loga(NlogaM)
＝logaMlogaN，所以MlogaN＝NlogaM.
名师点睛
1．对数的换底公式的作用在于把以a为底的对数，换成以c为底的对数，特别地，logaN＝，logaN＝(a>0且a≠1，N>0)，在运用换底公式时，要注意各字母的取值范围，必须使式子有意义．
2．由换底公式可以得到如下对数运算性质．
(1)logab·logba＝1.
(2)logba·logax＝logbx.
(3)logambn＝·logab.
证明如下：(1)logab·logba＝×＝1.
(2)logba·logax＝·＝＝logbx.
(3)logambn＝＝＝ logab.
题型一 用换底公式化简、求值
【例1】 计算：(1)log89·log2732；
(2)log927；
(3)log2·log3·log5.
[思路探索] 对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，本能运用对数换底公式把不同底的对数化为同底，进而运用相关运算性质进行运算．
解 (1)log89·log2732＝·＝·＝·＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)原式＝log2·(－5log32)·(－log53)
＝－15···＝－15.
规律方法 换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的底数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成以什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数．
【训练1】 (1)计算log23·log34·log45·log52；
(2)化简：(log2125＋log425＋log85)log58.
解 (1)原式＝···＝1.
(2)原式＝(3log25＋log25＋log25)·3log52＝log25·3log52＝13.
题型二 用换底公式比较与证明
【例2】 (1)设x，y，z都为正数，且3x＝4y＝6z.试求x，y，z之间的关系．
(2)已知2x＝5y＝10z，求证＋＝.
[思路探索] 待比较与待证式中均出现x，y，z，而条件是用指数式给出的x，y，z的关系式，因此应先从已知等式中解出x，y，z，然后再证明和比较．
解 (1)设3x＝4y＝6z＝t，由x>0知，t>1.
故取以t为底的对数，可得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1.
∴x＝，y＝，z＝.
－＝logt6－logt3＝logt2＝logt4＝，
∴x，y，z之间的关系为－＝.
(2)证明 令2x＝5y＝10z＝t(t＞0)，
则x＝log2t，y＝log5t，z＝lg t.
从而＝logt2，＝logt5，＝logt10.
于是＋＝logt2＋logt5＝logt10＝.
故＋＝.
规律方法 (1)一般地，给出的等式是以指数的形式出现时，常对等式的两边取对数．(2)本题中采用的换元的方法、指数式与对数式互化的方法、利用换底公式化不同底为同底的方法均为数学中的常用方法，换底时常用到的结论有logab＝(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．
【训练2】 已知xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
证明 设xa＝yb＝zc＝k(k>0且k≠1)，则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk，代入＋＝，得＋＝，即logkx＋logky＝logkz，所以logkxy＝logkz，从而xy＝z.
题型三 对数问题中函数与方程思想的应用
【例3】 (14分)已知log8a＋log4b＝，log8b＋log4a2＝7.求ab的值．
审题指导 本题已知条件的对数式的底数均为4和8，而4与8均是2的指数式，因此可利用换底公式将底数统一成2的形式，联立方程组，利用解方程组的方法求出log2a和log2b.
[规范解答] 由已知可得 4分
即 6分
解得 10分
∴a＝26，b＝23，
∴ab＝26·23＝29＝512. 14分
【题后反思】 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，可以实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．
【训练3】 设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logc的值．
解 logac、logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，
∴??
∴logc＝
＝
＝＝±.
误区警示 忽视已知的限制条件造成失误
【示例】 若logxy＝logyx(x>0，y>0，x≠1，y≠1，x≠y)，求xy的值．
[错解] 由logxy＝logyx＝，得(logxy)2＝1，
所以logxy＝1?y＝x或logxy＝－1?y＝?xy＝1.
故xy的值是一切正实数．
错解忘记了条件x≠y，因而得增解logxy＝1.
[正解] 同上．
因为x≠y，所以logxy＝－1，y＝，从而xy＝1.
对于对数式这类问题求值时，不仅要注意底数真数的取值范围，还要审清题意，注意题中的限制条件.
第3课时 对数运算(二)
【课标要求】
1．进一步熟悉对数的运算性质．
2．掌握对数的换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数．
3．会用换底公式进行一些简单的化简与证明，并在应用中体现化简与转化的数学思想．
【核心扫描】
1．对数运算及对数换底公式的应用．(重点)
2．对数换底公式的应用．(难点)
自学导引
1．如果a>0且a≠1，那么利用指数式与对数式互化可得到logaN＝(c>0，c≠1)，logaN＝，其中当N＝c时，有logaN＝.
2．logab·logba＝1，logambn＝logab(特别地，loganbn＝logab)，其中a>0，b>0，a≠1，b≠1.
试一试：1.对ab＝N(a>0且a≠1)两边取对数，会有什么结果？
提示 若以a为底，得logaN＝b；若以c为底，得＝b，从而可得logaN＝(c>0且c≠1)．
2．试比较MlogaN与NlogaM(a>0且a≠1，M>0，N>0)的大小．
提示 因为loga(MlogaN)＝logaNlogaM，loga(NlogaM)
＝logaMlogaN，所以MlogaN＝NlogaM.
名师点睛
1．对数的换底公式的作用在于把以a为底的对数，换成以c为底的对数，特别地，logaN＝，logaN＝(a>0且a≠1，N>0)，在运用换底公式时，要注意各字母的取值范围，必须使式子有意义．
2．由换底公式可以得到如下对数运算性质．
(1)logab·logba＝1.
(2)logba·logax＝logbx.
(3)logambn＝·logab.
证明如下：(1)logab·logba＝×＝1.
(2)logba·logax＝·＝＝logbx.
(3)logambn＝＝＝ logab.
题型一 用换底公式化简、求值
【例1】 计算：(1)log89·log2732；
(2)log927；
(3)log2·log3·log5.
[思路探索] 对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，本能运用对数换底公式把不同底的对数化为同底，进而运用相关运算性质进行运算．
解 (1)log89·log2732＝·＝·＝·＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)原式＝log2·(－5log32)·(－log53)
＝－15···＝－15.
规律方法 换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的底数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成以什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数．
【训练1】 (1)计算log23·log34·log45·log52；
(2)化简：(log2125＋log425＋log85)log58.
解 (1)原式＝···＝1.
(2)原式＝(3log25＋log25＋log25)·3log52＝log25·3log52＝13.
题型二 用换底公式比较与证明
【例2】 (1)设x，y，z都为正数，且3x＝4y＝6z.试求x，y，z之间的关系．
(2)已知2x＝5y＝10z，求证＋＝.
[思路探索] 待比较与待证式中均出现x，y，z，而条件是用指数式给出的x，y，z的关系式，因此应先从已知等式中解出x，y，z，然后再证明和比较．
解 (1)设3x＝4y＝6z＝t，由x>0知，t>1.
故取以t为底的对数，可得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1.
∴x＝，y＝，z＝.
－＝logt6－logt3＝logt2＝logt4＝，
∴x，y，z之间的关系为－＝.
(2)证明 令2x＝5y＝10z＝t(t＞0)，
则x＝log2t，y＝log5t，z＝lg t.
从而＝logt2，＝logt5，＝logt10.
于是＋＝logt2＋logt5＝logt10＝.
故＋＝.
规律方法 (1)一般地，给出的等式是以指数的形式出现时，常对等式的两边取对数．(2)本题中采用的换元的方法、指数式与对数式互化的方法、利用换底公式化不同底为同底的方法均为数学中的常用方法，换底时常用到的结论有logab＝(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．
【训练2】 已知xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
证明 设xa＝yb＝zc＝k(k>0且k≠1)，则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk，代入＋＝，得＋＝，即logkx＋logky＝logkz，所以logkxy＝logkz，从而xy＝z.
题型三 对数问题中函数与方程思想的应用
【例3】 (14分)已知log8a＋log4b＝，log8b＋log4a2＝7.求ab的值．
审题指导 本题已知条件的对数式的底数均为4和8，而4与8均是2的指数式，因此可利用换底公式将底数统一成2的形式，联立方程组，利用解方程组的方法求出log2a和log2b.
[规范解答] 由已知可得 4分
即 6分
解得 10分
∴a＝26，b＝23，
∴ab＝26·23＝29＝512. 14分
【题后反思】 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，可以实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．
【训练3】 设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logc的值．
解 logac、logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，
∴??
∴logc＝
＝
＝＝±.
误区警示 忽视已知的限制条件造成失误
【示例】 若logxy＝logyx(x>0，y>0，x≠1，y≠1，x≠y)，求xy的值．
[错解] 由logxy＝logyx＝，得(logxy)2＝1，
所以logxy＝1?y＝x或logxy＝－1?y＝?xy＝1.
故xy的值是一切正实数．
错解忘记了条件x≠y，因而得增解logxy＝1.
[正解] 同上．
因为x≠y，所以logxy＝－1，y＝，从而xy＝1.
对于对数式这类问题求值时，不仅要注意底数真数的取值范围，还要审清题意，注意题中的限制条件.