3.2.2 对数函数（一） 学案（含答案解析）

3.2.2　对数函数(一) 学案
明目标、知重点　1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过点(1,0)，即loga1＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与的图象关于x轴对称
[情境导学]
某种细胞分裂时，得到分裂个数x是分裂次数y的函数，可以用指数函数表示为y＝2x，反过来，如果知道分裂后的细胞个数也可求出分裂的次数x.这就是本节我们要研究的对数函数．
探究点一　对数函数的概念
思考1　在情境导学中，y与x的关系式为y＝2x，那么，如何用y来表示出x?
答　将y＝2x写成对数式，即x＝log2y.
思考2　在思考1得出的关系式中，x是y的函数吗？为什么？
答　在关系式x ＝log2y中，x是y的函数，因为对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应．根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，其中y是自变量，x是因变量．
思考3　我们把函数x＝logay(a>0，a≠1)叫做对数函数，但习惯上自变量用x表示，所以这个函数就写成y＝logax.这样一来，你能给对数函数下一个定义吗？
答　一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0，＋∞)．
例1　求下列函数的定义域．
(1)y＝log0.2(4－x)；(2)y＝loga(a>0，a≠1)．
解　(1)因为当4－x>0时，
即x<4时，log0.2(4－x)有意义，
当x≥4时，log0.2(4－x)没有意义，
所以函数y＝log0.2(4－x)的定义域是(－∞，4)．
(2)因为当>0时，
即x>1时，loga有意义，
当x≤1时，loga没有意义，
所以函数y＝loga的定义域是(1，＋∞)．
反思与感悟　此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)求解．
跟踪训练1　求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝；(3)y＝log7；
(4)y＝.
解　(1)由1－x>0得x<1，
∴所求函数的定义域为{x|x<1}；
(2)由log2x≠0，得x≠1，又x>0，
∴所求函数的定义域为{x|x>0且x≠1}；
(3)由，得x<；
∴所求函数的定义域为；
(4)由得，
∴x≥1，
∴所求函数定义域为{x|x≥1}．
探究点二　对数函数的图象及性质
思考1　写出在同一坐标系内作出函数y＝log2x及的图象的过程，观察图象，并指出这两个函数有哪些相同性质和不同性质？
答　作图步骤： ①列表， ②描点，③用平滑曲线连接．过程如下：
x
…


1
2
4
…
y＝log2x
…
－2
－1
0
1
2
…
…
2
1
0
－1
－2
…
相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点(1,0)，这说明两函数的定义域都是(0，＋∞)，且当x＝1，y＝0.
不同性质：函数y＝log2x的图象是上升的曲线，的图象是下降的曲线，这说明前者在(0，＋∞)上是增函数，后者在(0，＋∞)上是减函数．
思考2　从描出的点及作出的图象中能看出函数y＝log2x及的图象的对称关系吗？
答　两个函数的图象关于x轴对称．
思考3　由具体的函数y＝log2x及的性质，你能抽象出对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的哪些性质？
答　对数函数y＝logax(a>0，a≠1)具有下列性质：
(1)对数函数的定义域是正实数集，即(0，＋∞)；值域是实数集R；
(2)在定义域内，当a>1时是增函数，当0(3)图象都通过点(1,0)．
例2　比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)．
解　(1)考虑对数函数y＝log2x，因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4(2)考虑对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
于是 log0.31.8>log0.32.7；
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
于是loga5.1当0于是loga5.1>loga5.9.
反思与感悟　比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数判断对数函数的增减性，然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．
跟踪训练2　比较下列各题中两个数的大小：
(1)log25.3与log24.7；(2)log0.27与log0.29；
(3)log3π与logπ3；(4)loga3.1与loga5.2(a>0，a≠1)．
解　(1)∵底数a＝2>1，∴函数y＝log2x是增函数，
又∵5.3>4.7，∴log25.3>log24.7；
(2)∵底数a＝0.2，而0<0.2<1，∴函数y＝log0.2x是减函数，
又∵7<9，∴log0.27>log0.29；
(3)∵y＝log3x是增函数，π>3，∴log3π>log33＝1，
同理1＝logππ>logπ3，∴log3π>logπ3；
(4)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，此时loga3.1loga5.2.
例3　画出函数y＝log2|x|的图象，指出图象的特征，并根据图象写出函数的单调区间．
解　当x≠0时，由于函数y＝f(x)＝log2|x|满足f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，
所以函数y＝log2|x|是偶函数．它的图象关于y轴对称．
当x>0时，log2|x|＝log2x.
因此，先画出函数y＝log2x(x>0)的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图形C2，C1和C2构成函数y＝log2|x|的图象，如图所示，其特征是关于y轴对称．
反思与感悟　y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．
跟踪训练3　在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y＝log2(－x)的图象，并说明二者之间的关系．
解　两个函数的图象如下图所示：
将函数y＝log2x的图象作关于y轴对称的图象，即为函数y＝log2(－x)的图象．
1．给出下列函数：
①；②y＝log3(x－1)；③y＝logx＋1x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有________个．
答案　1
解析　①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．下列不等号连接错误的一组是________．
①log0.52.2>log0.52.3；
②log34>log65；
③log34>log56；
④logπe>logeπ.
答案　④
解析　对①，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对②，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对③，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对④，由π>e>1得，logeπ>1>logπe可知错误．
3．函数f(x)＝的定义域为________．
答案　(0，]
解析　利用对数的真数是正数，偶次方根非负解题．
要使函数f(x)＝有意义，则
解得04．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案　(2,1)
解析　当2x－3＝1，即x＝2时，对任意的a>0，且a≠1都有y＝loga1＋1＝0＋1＝1，所以函数图象y＝loga(2x－3)＋1恒过定点(2,1)，故点P的坐标是(2,1)．
5．求下列函数的定义域：
(1) ；
(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
解　(1)由得
解得x>，且x≠1.
∴的定义域为{x|x>，且x≠1}．
(2)由题意得解得
∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x|[呈重点、现规律]
1．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响．无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．
2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
3．两个函数图象的对称性
(1)
特例
函数y＝ax与函数y＝()x的图象关于y轴对称
推广
函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称
(2)
特例
函数y＝logax与函数的图象关于x轴对称
推广
函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称
一、基础过关
1．已知函数f(x)＝那么f(f())的值为________．
答案　
解析　f()＝log2＝－3，
f(f())＝f(－3)＝3－3＝.
2．函数y＝的定义域是________．
答案　[4，＋∞)
解析　由题意得：解得x≥4.
3．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N＝________.
答案　(－∞，1]
解析　M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．
4．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图象是________．
　
答案　③
解析　∵a>0且a≠1，∴f(3)＝a3>0，又f(3)g(3)<0，∴g(3)＝loga3<0，∴05．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
答案　(1,2)
解析　由题意，得或
解得16．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案　(4，－1)
解析　y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
7.求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
解　(1)由x－2>0，得x>2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，
即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
二、能力提升
8．若函数y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过点(－1,0)，(0,1)，则lg a＋lg b＝________.
答案　2lg 2
解析　由题意可得0＝loga(－1＋b)，1＝logab，解得a＝b＝2，所以lg a＋lg b＝2lg 2.
9.若loga<1，则a的取值范围是________________．
答案　(0，)∪(1，＋∞)
解析　由loga<1得：loga当a>1时，有a>，即a>1；
当0综上可知，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．
10．函数f(x)＝log3(2x2－8x＋m)的定义域为R，则m的取值范围是________．
答案　m>8
解析　由题意知，2x2－8x＋m>0恒成立．
∴Δ＝(－8)2－4×2m<0，即m>8.
11．求使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围．
解　由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足，
解得0＜a＜.
故a的取值范围是.
12.已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
解　(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当0三、探究与拓展
13.若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
解　由x2－logmx<0，得x2要使x2在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．
∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm.
∴≤m，即≤m.
又0即实数m的取值范围是[，1).