人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 单元测试卷（含答案）

人教版2025年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题(共10题；共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的根为（　　）
A． B． C．或 D．或
3．一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
4．一元二次方程 配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k-1=0根的情况是(　　).
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．根的情况无法判断
6．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　）
A． B． C． D．
7．若，是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
8．若实数k使得关于x的方程 恰有三个不同的实数根，则称k为“好数”，这样的好数 k 有(　　)个.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或或
10．已知多项式，下列说法正确的个数为（　　）
若，则代数式的值为； 当时，代数式的最小值为； 当时，若，则的取值范围是．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题(共6题；共18分)
11．写出一个两个根分别为和的一元二次方程　 　 ．
12．若关于x的方程的一个根是，则m的值为　 .
13．若关于x的方程 有实数解.则实数a 的取值范围是　 　.
14．2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为　 　．
15．设m、n分别为方程的两个实数根，则　 　．
16．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。
其中正确的有　 　（填正确的序号）
三、解答题(共8题；共72分)
17．小颖在解方程 2x2 -8x＋3 =0 时出现了错误，解答过程如图所示：
（1）小颖的解答过程从第 ▲ 步开始出错，其错误的原因是 ▲ ；
（2）请你写出此题正确的解题过程。
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
（1）下面方程是“完美方程”的是　 　．（填序号）①x2-4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2-x-3＝0．
（2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．
20．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值．
21．已知关于x 的一元二次方程
（1）求证：不论m 为何值时，方程总有实数根.
（2）当m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根
22．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
（1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件．
（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗 若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
23．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
（1）两个根的平方和为12；
（2）两个根均大于；
（3）．
24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．D 10．A
二、选择题
11．(答案不唯一)
12．-4
13．a≥-1
14．
15．2022
16．①②③
三、解答题
17．（1）②；等式右边没有除以2
（2）解：
18．（1）
（2）
19．（1）③
（2）解：∵3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，
∴m＝3+n，
∴n＝m-3，
∴原方程为3x2+mx+m-3＝0．
∵m是此“完美方程”的一个根，
∴3m2+m2+m-3＝0，即4m2+m-3＝0，
解得：m＝-1或．
20．解：∵栅栏总长度为，的长为，
∴的长为．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
∴此时的值为．
21．（1）证明：Δ=(m+2)2-8m=(m-2)2≥0
∵m≠0，
∴当m取任何值时，方程总有实数根
（2）解：mx2-(m+2)x+2=0，
∴(x-1)(mx-2)=0，
∴x=1或
由题意可知：m≠2且m≠0且m≠-1，
由题意可知：m=1
22．（1）230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
∴当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
∴，
∴该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
23．（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2
（2）解：∵一元二次方程，∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，则
解得：
整理得：
∴
24．（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．