3.2.2 对数函数（二） 学案（含答案解析）

3.2.2　对数函数(二) 学案
明目标、知重点　1.进一步掌握对数函数的图象和性质，利用性质解决一些实际问题.2.了解指数函数与对数函数互为反函数，了解它们的图象关于直线y＝x对称．
1．反函数的概念
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数y＝ax_(a>0且a≠1)互为反函数．若函数y＝f(x)存在反函数，则它的反函数记作y＝f－1(x)．
2．互为反函数的图象的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，函数y＝f(x)与它的反函数的图象也关于直线y＝x对称．
探究点一　底数大小与函数图象的关系
思考1　观察如图所示函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x图象，你能得出什么结论？
答　对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0思考2　函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？
答　由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图象在(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b例1 (1)比较下列各组数的大小：
①log3与log5；②log1.10.7与log1.20.7.
(2)已知，比较2b,2a,2c的大小关系．
解　(1)①∵log3＜log31＝0，而log5＞log51＝0，
∴log3＜log5.
②方法一　∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2，
∴0＞log0.71.1＞log0.71.2.
∴＜，
由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
方法二　作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.
(2)∵为减函数，且，
∴b＞a＞c.
而y＝2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.
反思与感悟　比较对数式的大小方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间值进行比较．
跟踪训练1　(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系是________．
(2)已知logm7答案　(1)b解析　(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6>2，所以log23.6>log22＝1，
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2<3.6<4，所以log43.2所以log43.2(2)根据题意，作出函数y＝logmx，
y＝lognx的图象如图所示：
由图象可知0例2 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，a≠1)．解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1)．
解　∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)．
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴，即
∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1)．
反思与感悟　logaf(x)＝logag(x)(a＞0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．
对于logaf(x)＞logag(x)等价于0＜a＜1时，
跟踪训练2 已知函数 若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　①当a＞0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝，
f(a)＞f(－a)，即log2a＞＝，
∴a＞，解得a＞1.
②当a＜0时，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，
f(a)＞f(－a)，即＞log2(－a)＝，
∴－a＜，解得－1＜a＜0，
由①②得－1＜a＜0或a＞1.
探究点二　反函数的概念
思考1　在同一坐标系内画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察它们的图象，你能得出两个函数的图象存在怎样的关系？
答　 函数y＝2x与y＝log2x的图象如图：
所以函数y＝2x和y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．
思考2　当a>0，a≠1时，函数y＝ax与y＝logax的图象有什么关系？
答　函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称．
小结　y＝ax称为y＝logax的反函数，反之y＝logax也称为y＝ax的反函数．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．
思考3　函数y＝f(x)与它的反函数y＝f－1(x)的图象之间有什么关系？
答　函数y＝f(x)与它的反函数y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称．
例3　写出下列函数的反函数：
(1)y＝lg x；(2)；(3)y＝x.
解　(1)y＝lg x(x>0)的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x (x∈R)．
(2) (x>0)的底数为，它的反函数为指数函数y＝x (x∈R)．
(3)y＝x (x∈R)的底数为，它的反函数为对数函数 (x>0)．
反思与感悟　求给定解析式的函数的反函数的步骤为：(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；(2)从y＝f(x)中解出x；(3)x、y互换并注明反函数的定义域．
跟踪训练3　函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值．
解　根据反函数的概念，知函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1)，
∴1＝loga3，∴a＝3.
探究点三　函数图象的变换
例4　分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系．
(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝log3(x＋2)；
(3)y＝log3x－2；(4)y＝log3x＋2.
解　(1)在同一直角坐标系中画出y＝log3x与y＝log3(x－2)的图象，经观察可得：
将函数y＝log3x的图象向右平移2个单位，
即得y＝log3(x－2)的图象．
同理，(2)将函数y＝log3x的图象向左平移2个单位，即得y＝log3(x＋2)的图象．
(3)将函数y＝log3x的图象向下平移2个单位，即得y＝log3x－2的图象．
(4)将函数y＝log3x的图象向上平移2个单位，即得y＝log3x＋2的图象．
反思与感悟　(1)当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向左平移a个单位就得到函数y＝f(x＋a)的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向右平移|a|个单位就得到函数y＝f(x＋a)的图象．
(2)当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向上平移a个单位就得到函数y＝f(x)＋a的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向下平移|a|个单位就得到函数y＝f(x)＋a的图象．
跟踪训练4　函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是________．(填图象编号)
答案　③
解析　f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，①中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g(x)＝21－x＝2×x，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，②中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；④中两个函数都是单调递增的，故也不满足，所以答案为③.
1．函数f(x)＝loga|x|＋1(0答案　①
解析　当x>0时，f(x)＝logax＋1，其图象可以看作f(x)＝logax的图象向上平移一个单位而得到的，又因f(x)＝loga|x|＋1(00的图象关于y轴对称．
2．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点________________．
答案　向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析　由y＝lg得y＝lg(x＋3)－1，由y＝lg x图象向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移一个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象．
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，)，则a＝________.
答案　
解析　因点(，)在y＝f(x)的图象上，所以点(，)在y＝ax的图象上，则有＝，又因a>0，所以a2＝2，a＝.
4．求函数y＝log2(x2＋2x＋5)的定义域、值域．
解　∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4对一切实数都恒成立，∴函数定义域为R.
从而log2(x2＋2x＋5)≥log24＝2，
即函数值域为[2，＋∞)．
[呈重点、现规律]
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．当02．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数y＝logax的图象必过(1,0)点．
3．当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向左平移a个单位就得到函数y＝f(x＋a)的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向右平移|a|个单位就得到函数y＝f(x＋a)的图象．
4．当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向上平移a个单位就得到函数y＝f(x)＋a的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向下平移|a|个单位就得到函数y＝f(x)＋a的图象.
一、基础过关
1．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系为________．
答案　a>b>c
解析　设a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.
2．当a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只可能是________．
答案　②
解析　因为a＞1，所以y＝logax在区间(0，＋∞)上是增函数，排除③④，又因为a＞1时，1－a＜0，所以x＞0时，y＝(1－a)x＜0，故答案为②.
3．函数y＝3x(－1≤x＜0)的反函数是________．
答案　y＝log3x(≤x＜1)
解析　由y＝3x(－1≤x＜0)，得≤y＜1，所以反函数为y＝log3x(≤x＜1)．
4．函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是________．
答案　1
解析　令2x＝t，t＞0，则4x－2x＋1＋11＝t2－2t＋11≥10，所以lg(4x－2x＋1＋11)≥1，即所求最小值为1.
5.函数y＝logax当x＞2时恒有|y|＞1，则a的取值范围是________．
答案　[，1)∪(1,2]
解析　∵|y|＞1，即y＞1或y＜－1，∴logax＞1或logax＜－1，变形为logax＞logaa或logax＜loga，
当x＝2时，令|y|＝1，则有loga2＝1或loga2＝－1，
∴a＝2或a＝.
要使x＞2时，|y|＞1.如图所示，a的取值范围为1＜a≤2或≤a＜1.
6．不等式的解集为_______________________．
答案　(－∞，log2(－1))
解析　由，得4x＋2x＋1＜1，即(2x)2＋2·2x＜1，配方得(2x＋1)2＜2，
所以2x＜－1，两边取以2为底的对数，
得x＜log2(－1)．
7．已知函数f(x)＝lg(x＋1)．若0解　由得－1由0＝lg <1得1<<10.
因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－由得－二、能力提升
8.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是________．
答案　k≤0或k≥1
解析　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
9．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
答案　x2解析　分别作出三个函数的大致图象，如图所示．
由图可知，x210．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式的解集为________________．
答案　∪(2，＋∞)
解析　
∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
由f＝0，得f＝0.
∴? <－或
?x>2或0∴x∈∪(2，＋∞)．
11．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间[，2]上的值域．
解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此log4(4x1－1)故f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)因为f(x)在区间[，2]上递增，
又f()＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在[，2]上的值域为[0，log415]．
12．已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，恒成立．求实数m的取值范围．
解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
(2)
，
当x>1时，，
∵当x∈(1，＋∞)时，恒成立，
∴m≥－1.
三、探究与拓展
13.已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值．
解　∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)
＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x
＝(log3x)2＋6log3x＋6
＝(log3x＋3)2－3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，
必须满足∴1≤x≤3，
∴0≤log3x≤1.∴6≤y＝(log3x＋3)2－3≤13.
当log3x＝1，即x＝3时，y＝13.
∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.