3.3 幂函数 学案（含答案解析）

明目标、知重点　1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用．
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象与性质
由幂函数y＝x、、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象都过点(1,1)；
(3)当α>0时，幂函数图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递增；
(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调递减．
[情境导学]
我们知道对于N＝ab，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝ax；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝logax.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题．
探究点一　幂函数的概念
问题　(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里a是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1 km/s，这里v是t的函数．
思考1　上述5个问题中函数的对应关系分别是什么？
答　(1)乘以1；(2)求平方；(3)求立方；(4)求算术平方根；(5)求－1次方．
思考2　上述5个问题中的函数有什么共同特征？
答　问题中涉及到的函数，都是形如：y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数．
小结　幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考3　判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？
答　幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．
例1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为________．
答案　1
解析　∵y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数．
反思与感悟　只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是．
跟踪训练1　已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．
解　由题意得，解得，
所以m＝－3，n＝.
探究点二　幂函数的图象和性质
问题　如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象，思考下列问题：
思考1　你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？
答　(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
思考2　仔细观察你画出的五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性
答　
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞) 上减，在(－∞，0) 上减
例2　证明幂函数f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
证明　任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝，
因为x1－x2<0，＋>0，
所以f(x1)反思与感悟　证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f(x1)－f(x2)的正负．
跟踪训练2 求证：函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
证明　设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1f(x1)－f(x2)＝(－x＋1)－(－x＋1)
＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)．
∵x10，
又∵x＋x1x2＋x＝2＋x
且2≥0，x≥0.
上式中两等号不能同时取得(否则x1＝x2＝0与x10，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．
例3 比较大小：
(1) ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.
解　(1)∵在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴；
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3；
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1；
∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
反思与感悟　比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用时进行比较．
跟踪训练3　比较下列各组数的大小：
(1) ；
(2)(－2)－3和(－2.5)－3；
(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；
(4)
解　(1) ，函数在(0，＋∞)上为增函数，
又>，则，从而.
(2)幂函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，
又∵－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(3)幂函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，
又∵1.1<1.2，∴1.1－0.1>1.2－0.1.
(4) ∴
1．下列函数中不是幂函数的是________．(填序号)
①y＝；②y＝x3；③y＝2x；④y＝x－1.
答案　③
解析　根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，③中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以③不是幂函数．
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值等于________．
答案　
解析　由f(x)＝xα的图象经过点，得＝2α，所以α＝－，则.
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为________．
答案　1,3
解析　y＝x－1的定义域为x≠0，的定义域为x＞0，只有y＝x，y＝x3的定义域为R.
4．当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
答案　二、四
解析　幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，的图象分布在第一象限．
所以幂函数y＝xα(α∈{－1，，1,3})的图象不可能经过第二、四象限．
[呈重点、现规律]
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．
3．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.
一、基础过关
1．已知，若0①f(a)②f()③f(a)④f()答案　③
解析　因为函数在(0，＋∞)上是增函数，
又02．函数的图象关于x轴对称的图象大致是________．
答案　②
解析　的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数的图象可看作由的图象向下平移一个单位得到的(如①中的图所示)，将的图象关于x轴对称后即为②.
3．下列是的图象的是________．
答案　②
解析　，
∴x∈R，y≥0，
f(－x)＝＝＝f(x)，
即是偶函数，
又∵<1，∴图象上凸．
4．设，则a，b，c的大小关系是________．
答案　a>c>b
解析　根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，在x>0时是增函数，所以a>c，y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.
5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
答案　1
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．
6．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
答案　④
解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．
④正确．
7．已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．
解　∵图象与x，y轴都无交点，
∴m－2≤0，即m≤2.
又m∈N，∴m＝0,1,2.
∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2.
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图1；当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图2.
二、能力提升
8．函数的图象大致是________．
答案　②
解析　函数是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除①③.另外，因为，所以当x∈(0,1)时，函数的图象在直线y＝x的下方；当x∈(1，＋∞)时，函数的图象在直线y＝x的上方．故答案为②.
9.幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m＝________.
答案　1
解析　因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－5<0，故m<.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意．
综上知，m＝1.
10．若，则a的取值范围是________．
答案　
解析　 ?，函数在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得＜a＜.
11.已知函数f(x)＝＋1.
(1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并证明；
(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值．
解　(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
证明如下：
设x1，x2是区间(0，＋∞)上任意两个实数，且x1∵x2>x1>0，
∴x1＋x2>0，x2－x1>0，(x1x2)2>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上减函数．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数，
所以当x＝1时，取最大值，最大值为f(1)＝2，
当x＝3时，取最小值，最小值为f(3)＝.
12．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解　(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)>f(a－1)得
解得1≤a<.∴a的取值范围为[1，)．
三、探究与拓展
13.已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．
解　∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m－3＜0，
解得m＜3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，∴m－3是偶数，
而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m＝1.
而在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.
解得a＜－1或＜a＜.
故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}.