3.3-1 幂函数的概念和图象 学案（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.3-1 幂函数的概念和图象 学案（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 98.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-07-07 14:05:02 | ||
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文档简介
3．3 幂函数
第1课时 幂函数的概念和图象
【课标要求】
1．了解幂函数的概念；
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解幂函数的图象变化情况．
【核心扫描】
1．幂函数的定义、图象与性质．(重点)
2．幂函数图象与性质的归纳．(难点)
自学导引
1．形如y＝xα的函数称为幂函数，其中α为常数．
2．幂函数的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
想一想：1.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足什么条件时是幂函数？
提示 当a＝1，b＝c＝0时，f(x)＝x2是幂函数．
2．幂函数y＝xα有哪些主要特点？
提示 xα的系数为1，自变量x为底数，指数为常数且只有一项，满足这三个特征才是幂函数．
名师点睛
1．学习幂函数的概念时应注意以下几点：
(1)只有形如y＝xα的函数才是幂函数，否则不是，如y＝ax2，y＝(ax)α，y＝xα＋a(a是不为1,0的常数)都不是幂函数；
(2)幂函数y＝xα中的α是任意实数；
(3)幂的底数是自变量．
2．幂函数y＝xα的性质
α＞0
α＜0
图象都过点(0,0)，(1,1)
图象都过点(1,1)
在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数
在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近
题型一 有关幂函数的概念问题
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[思路探索] 解答本题可利用幂函数的概念，列方程组或不等式组求解．
解 由题意，得解得
所以m＝－3，n＝
规律方法 幂函数y＝xα中，幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数，它可以取任意实数，而幂值前面的系数必须为1，否则不是幂函数．
【训练1】 已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；
(4)幂函数．
解 (1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1?m＝－1±.
题型二 幂函数的图象
【例2】 指出下列函数所对应的图象(如图所示)的序号．
y＝x－2，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x－.
[思路探索] 先明确函数定义域，再根据函数奇偶性以及幂指数范围选取图象．
解 由于函数y＝x＝，定义域为[0，＋∞)，且为增函数，其对应图象如图(1)所示；函数y＝x－2＝，定义为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为偶函数，在第一象限图象过点(1,1)，为减函数，其图象如图(2)所示；同理，函数y＝x的图象如图(3)所示，函数y＝x的图象如图(4)所示，函数y＝x－的图象如图(5)所示．
规律方法 幂函数图象的画法是列表、描点、连线，在作图时，应先根据定义域和值域，确定函数图象所在的象限，然后描点得出图象．除了描点作图外，还应该根据幂函数的定义域、值域、奇偶性以及幂指数情况作图．以下规律应记住：幂函数y＝xα，当幂指数为负数时，图象在第一象限过点(1,1)，为减函数，当幂指数为正数时，图象在第一象限过点(0,0)与(1,1)，为增函数．其中若幂指数α＞1时，当x＞1时，图象应在直线y＝x的上方；若幂指数α满足0＜α＜1时，当x＞1时，图象应在直线y＝x的下方．
【训练2】 如图所示，图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝()x，y＝3x，y＝x，y＝x3的图象，则标注正确的一项是________．
①C1：y＝x，C2：y＝3x，C3：y＝()x，C4：y＝x3
②C1：y＝()x，C2：y＝x3，C3：y＝3x，C4：y＝x
③C1：y＝()x，C2：y＝3x，C3：y＝x3，C4：y＝x
④C1：y＝x，C2：y＝x3，C3：y＝3x，C4：y＝()x
解析 本题是考查幂函数与指数函数的图象的综合题．联系函数性质，如指数函数的图象恒过定点(0,1)，而幂函数的图象恒过点(1,1)，从而曲线C1，C2是指数函数的图象，曲线C3，C4是幂函数的图象，另外根据其升降速度可知C1：y＝()x，C2：y＝3x，C3：y＝x3，C4：y＝x.
答案 ③
题型三 求幂函数的定义域、值域
【例3】 (14分)求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝x2；(2)y＝x；(3)y＝x；
(4)y＝x－3；(5)y＝x－；(6)y＝x－.
审题指导 本题考查幂函数定义域与值域的求解方法，以及分数指数幂与根式的关系．
[规范解答] (1)y＝x2的定义域是R，值域是[0，＋∞)． 2分
(2)y＝x＝的定义域是R，值域是R. 4分
(3)y＝x＝的定义域是[0，＋∞)，值域是[0，＋∞)． 6分
(4)y＝x－3＝的定义域是{x|x∈R且x≠0}，值域是{y|y∈R，y≠0}. 8分
(5)y＝x－＝的定义域是{x|x∈R且x≠0}，值域是(0，＋∞). 11分
(6)y＝x－＝的定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞). 14分
【题后反思】 课本上仅研究了几种最简单的幂函数，对于其它幂函数，我们可以利用课本上介绍的方法去研究，对于分数指数的幂函数，我们可以转换成为根式表示的函数再研究．
【训练3】 求函数y＝(x＋1)－＋(x－2)的定义域．
解 y＝＋，
要使函数式有意义，则有解得x>－1.
故函数的定义域为(－1，＋∞)．
误区警示 忽视幂函数的特点导致失误
【示例】 设α∈{－1,1，，3}则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．
[错解] α＝－1,1,3时，y＝x－1＝，y＝x与y＝x3是奇函数，所以α＝－1,1,3.
y＝x－1＝是奇函数，但定义域是{x|x≠0}，故不符合题目要求．
[正解] 当α＝1,3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数，当α＝－1时，y＝的定义域是{x|x≠0，x∈R}．当α＝时，y＝x＝的定义域是{x|x≥0}．
答案 1,3
在幂函数的有关问题中，只有理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，只有α为正奇数时幂函数的定义域才能为R且为奇函数，要解决好此类问题，要
特别注意α的取值范围.
第1课时 幂函数的概念和图象
【课标要求】
1．了解幂函数的概念；
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解幂函数的图象变化情况．
【核心扫描】
1．幂函数的定义、图象与性质．(重点)
2．幂函数图象与性质的归纳．(难点)
自学导引
1．形如y＝xα的函数称为幂函数，其中α为常数．
2．幂函数的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
想一想：1.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足什么条件时是幂函数？
提示 当a＝1，b＝c＝0时，f(x)＝x2是幂函数．
2．幂函数y＝xα有哪些主要特点？
提示 xα的系数为1，自变量x为底数，指数为常数且只有一项，满足这三个特征才是幂函数．
名师点睛
1．学习幂函数的概念时应注意以下几点：
(1)只有形如y＝xα的函数才是幂函数，否则不是，如y＝ax2，y＝(ax)α，y＝xα＋a(a是不为1,0的常数)都不是幂函数；
(2)幂函数y＝xα中的α是任意实数；
(3)幂的底数是自变量．
2．幂函数y＝xα的性质
α＞0
α＜0
图象都过点(0,0)，(1,1)
图象都过点(1,1)
在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数
在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近
题型一 有关幂函数的概念问题
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[思路探索] 解答本题可利用幂函数的概念，列方程组或不等式组求解．
解 由题意，得解得
所以m＝－3，n＝
规律方法 幂函数y＝xα中，幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数，它可以取任意实数，而幂值前面的系数必须为1，否则不是幂函数．
【训练1】 已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；
(4)幂函数．
解 (1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1?m＝－1±.
题型二 幂函数的图象
【例2】 指出下列函数所对应的图象(如图所示)的序号．
y＝x－2，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x－.
[思路探索] 先明确函数定义域，再根据函数奇偶性以及幂指数范围选取图象．
解 由于函数y＝x＝，定义域为[0，＋∞)，且为增函数，其对应图象如图(1)所示；函数y＝x－2＝，定义为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为偶函数，在第一象限图象过点(1,1)，为减函数，其图象如图(2)所示；同理，函数y＝x的图象如图(3)所示，函数y＝x的图象如图(4)所示，函数y＝x－的图象如图(5)所示．
规律方法 幂函数图象的画法是列表、描点、连线，在作图时，应先根据定义域和值域，确定函数图象所在的象限，然后描点得出图象．除了描点作图外，还应该根据幂函数的定义域、值域、奇偶性以及幂指数情况作图．以下规律应记住：幂函数y＝xα，当幂指数为负数时，图象在第一象限过点(1,1)，为减函数，当幂指数为正数时，图象在第一象限过点(0,0)与(1,1)，为增函数．其中若幂指数α＞1时，当x＞1时，图象应在直线y＝x的上方；若幂指数α满足0＜α＜1时，当x＞1时，图象应在直线y＝x的下方．
【训练2】 如图所示，图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝()x，y＝3x，y＝x，y＝x3的图象，则标注正确的一项是________．
①C1：y＝x，C2：y＝3x，C3：y＝()x，C4：y＝x3
②C1：y＝()x，C2：y＝x3，C3：y＝3x，C4：y＝x
③C1：y＝()x，C2：y＝3x，C3：y＝x3，C4：y＝x
④C1：y＝x，C2：y＝x3，C3：y＝3x，C4：y＝()x
解析 本题是考查幂函数与指数函数的图象的综合题．联系函数性质，如指数函数的图象恒过定点(0,1)，而幂函数的图象恒过点(1,1)，从而曲线C1，C2是指数函数的图象，曲线C3，C4是幂函数的图象，另外根据其升降速度可知C1：y＝()x，C2：y＝3x，C3：y＝x3，C4：y＝x.
答案 ③
题型三 求幂函数的定义域、值域
【例3】 (14分)求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝x2；(2)y＝x；(3)y＝x；
(4)y＝x－3；(5)y＝x－；(6)y＝x－.
审题指导 本题考查幂函数定义域与值域的求解方法，以及分数指数幂与根式的关系．
[规范解答] (1)y＝x2的定义域是R，值域是[0，＋∞)． 2分
(2)y＝x＝的定义域是R，值域是R. 4分
(3)y＝x＝的定义域是[0，＋∞)，值域是[0，＋∞)． 6分
(4)y＝x－3＝的定义域是{x|x∈R且x≠0}，值域是{y|y∈R，y≠0}. 8分
(5)y＝x－＝的定义域是{x|x∈R且x≠0}，值域是(0，＋∞). 11分
(6)y＝x－＝的定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞). 14分
【题后反思】 课本上仅研究了几种最简单的幂函数，对于其它幂函数，我们可以利用课本上介绍的方法去研究，对于分数指数的幂函数，我们可以转换成为根式表示的函数再研究．
【训练3】 求函数y＝(x＋1)－＋(x－2)的定义域．
解 y＝＋，
要使函数式有意义，则有解得x>－1.
故函数的定义域为(－1，＋∞)．
误区警示 忽视幂函数的特点导致失误
【示例】 设α∈{－1,1，，3}则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．
[错解] α＝－1,1,3时，y＝x－1＝，y＝x与y＝x3是奇函数，所以α＝－1,1,3.
y＝x－1＝是奇函数，但定义域是{x|x≠0}，故不符合题目要求．
[正解] 当α＝1,3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数，当α＝－1时，y＝的定义域是{x|x≠0，x∈R}．当α＝时，y＝x＝的定义域是{x|x≥0}．
答案 1,3
在幂函数的有关问题中，只有理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，只有α为正奇数时幂函数的定义域才能为R且为奇函数，要解决好此类问题，要
特别注意α的取值范围.