3.4.1-1 函数的零点 学案（含答案解析） (3)

第1课时　函数的零点
【课标要求】
1．掌握函数零点的存在性的判定方法，学会构造一元二次函数求解与一元二次方程根有关的问题．
2．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．
【核心扫描】
1．函数的零点分布、零点存在定理的应用．(重点)
2．理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．(难点)
自学导引
1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
2．方程f(x)＝0有实数根
?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
?函数y＝f(x)有零点．
3．对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
4．函数零点的存在性的判定方法：
如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)小于0，那么y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)等于0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
想一想：1.函数的“零点”是一个“点”吗？
提示　不是，是一个实数．
2．任何函数都存在零点吗？
提示　不是，函数图象如果与x轴相交，则该函数存在零点．
名师点睛
1．对于函数零点的概念应注意以下几点：
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．
(2)函数的零点，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
(3)函数的零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程f(x)＝0没有实数根，则函数y＝f(x)没有零点，函数y＝f(x)的图象与x轴没有公共点．
(4)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象的交点的横坐标．
2．对于连续不断的函数，我们只需找到一个区间，使区间两个端点处的函数值异号，就可判定在此区间内至少有一个零点．
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，但是f(a)·f(b)＞0，不能认为函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定没有零点，因为可能存在常数c∈(a，b)，且f(a)·f(c)＜0，或f(b)·f(c)＜0.
题型一　函数零点的求法
【例1】 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝x4－1；
(2)f(x)＝x3－4x.
[思路探索] 据函数零点的定义，求f(x)的零点，即解方程f(x)＝0.
解　(1)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1，
故函数的零点是－1,1.
(2)令f(x)＝0，即x3－4x＝0，
∴x(x2－4)＝0，即x(x＋2)(x－2)＝0.
解得：x1＝0，x2＝－2，x3＝2，
所以函数f(x)＝x3－4x有3个零点分别是：－2,0,2.
规律方法 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零；若是二次方程，常用因式分解或求根公式求解．
【训练1】 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
解　令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)
＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
题型二　函数的零点的存在性问题
【例2】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝x3＋1；
(4)f(x)＝.
[思路探索] 据函数的零点定义，转化为判断方程的解的问题．
解　(1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，
令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，
所以函数的零点为－和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，
因为Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，
所以方程无实数解．
所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)因为f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，
令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1.
所以函数的零点为－1.
(4)因为f(x)＝＝.
令＝0，解得x＝－6，
所以函数的零点为－6.
规律方法 连续函数若存在f(a)·f(b)＜0，则一定有零点；若f(x)＞0(或f(x)＜0)恒成立，则没有零点．
【训练2】 试说明函数f(x)＝log2x在区间[，4]内有零点．
解　由于函数f(x)＝log2x在区间[，4]上是单调递增的，图象是连续不断的一条曲线，并且有f()＝log2＝－2＜0，f(4)＝log24＝2＞0，
∴f()·f(4)＜0.
∴函数f(x)＝log2x在区间[，4]内有零点．
题型三　函数零点所在的大致区间问题
【例3】 (14分)利用函数的图象，指出函数f(x)＝2(x＋3)(x－4)·(x＋5)＋x的零点所在的大致区间．
审题指导 本题考查函数零点所在的大致区间问题，应用零点存在定理及数形结合的思想方法求解．
[规范解答] 画出函数f(x)的图象，如图所示，并作出x与f(x)的对应值表如下： 2分
x
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
f(x)
－5
12
－3
－38
－81
－120
－143
－138
－93
4
165
5分
9分
∵f(－5)·f(－4)＜0，f(－4)·f(－3)＜0，f(3)·f(4)＜0， 12分
∴根据函数的零点的存在性定理，得函数f(x)的零点所在的大致区间为(－5，－4)，或(－4，－3)，或(3,4). 14分
【题后反思】 判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点，除验算f(x1)·f(x2)＜0是否成立外，还需考查函数在[x1，x2]上是否不间断．若要判断零点的个数，还需结合函数的单调性．
【训练3】 求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)内，另一个在区间(1,2)内．
证明　设f(x)＝5x2－7x－1.
则f(－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.
由于f(－1)·f(0)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝－15＜0，
且f(x)＝5x2－7x－1在R上是连续的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)内分别有零点，
即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)内，另一个在(1,2)内．
方法技巧　数形结合求函数零点的个数
求函数零点的个数问题，可以用数形结合的方法来解决，简单直观．
【示例】 求函数f(x)＝log2x－2－x的零点的个数．
[思路分析] 本题可将函数的零点的个数问题转化为方程的根的个数问题，又将方程的根的个数问题转化为求两个函数图象的交点的个数问题，从而快速解决问题．
解　法一　因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，函数y＝2－x在R上是单调减函数，
所以函数f(x)＝log2x－2－x在(0，＋∞)上是单调增函数．
又因为f()＜0，f(2)＞0，
所以f()·f(2)＜0.
所以f(x)＝log2x－2－x只有一个零点．
法二　由零点的定义可知，求函数f(x)的零点的个数即求方程f(x)＝0的解的个数，即求log2x－2－x＝0的解的个数．
构造函数y＝log2x及y＝2－x，方程log2x－2－x＝0的解的个数即为两个函数图象的交点的个数．
因为两个函数的图象只有一个交点(如图所示)，
所以方程log2x－2－x＝0只有一个实根，从而函数f(x)＝log2x－2－x只有一个零点．
方法点评 解决这类问题的关键是函数与方程之间的相互转化，实质上是将方程的根的个数问题用构造函数的方法化归为两个函数图象的交点问题，是数形结合思想的灵活应用.