3.4.1-1 函数的零点 学案（含答案解析）

3.4.1　函数与方程
第1课时　函数的零点
明目标、知重点　1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系.2.掌握函数零点存在性判定定理.3.能结合图象求解零点问题．
1．函数的零点
一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
[情境导学]
下图是某地气象局测得当地一天的一个气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？
探究点一　函数零点的定义
思考1　考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1;
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？
答　
方程
x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝0
x2－2x＋3＝0
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的图象
方程的实数根
x1＝－1，x2＝3
x1＝x2＝1
无实数根
函数的图象与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
思考2　从你所列的表中你能得出什么结论？
答　方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标．
思考3　思考2得出的结论对二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)和相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)也成立吗？你能根据判别式的不同情况也用列表的形式加以说明吗？
答　思考2中得出的结论在一般二次函数与一元二次方程间仍然成立，如下表所示：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根
有两个不相等的实数根x1、x2
有两个相等的实数根x1＝x2
没有实数根
函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
函数的图象与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
没有交点
所以二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根．
思考4　我们把使函数f(x)＝x2－2x－3的值等于零的实数－1,3叫做函数f(x)＝x2－2x－3的零点．那么你能给函数y＝f(x)的零点下个定义吗？
答　一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
思考5　函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？
答　函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?方程f(x)＝0有实数根．
思考6　你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg(x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？
答　①y＝lg x的零点是x＝1；②y＝lg(x＋1)的零点是x＝0；③y＝2x没有零点；④y＝2x－2的零点是x＝1.
例1　求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点．
证明　考察二次方程2x2＋3x－7＝0.
因为Δ＝32－4×2×(－7)＝65>0，
所以方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根．
因此，二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点．
反思与感悟　函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1　若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案　0，－
解析　∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
探究点二　函数零点存在性定理
例2　判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间[2,3]上是否存在零点．
解　方法一　根据求根公式可得方程x2－2x－1＝0的两个根分别为x1＝1＋，x2＝1－.
因为1<<2，所以2<1＋<3，因此，函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2,3)上存在零点．
方法二　如右图所示，因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，而二次函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2,3)上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2,3)上一定穿过x轴，即函数在区间(2,3)上存在零点．
思考1　你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的一般方法吗？
答　函数零点存在性定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
思考2　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？
答　不一定成立，由下图可知．
思考3　 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？ 还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？
答　函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．
小结　函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.也就是说上述定理不可逆．
跟踪训练2　求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．
证明　因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0，
f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1>0，
且函数f(x)的图象在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数f(x)在区间(－2，－1)上存在零点．
例3　求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数．
解　用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象如下：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
－4
－1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
由上表和图象可知f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
反思与感悟　本题不用计算列表、画图象也可得到结论：
(1)寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，由f(2)＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(3)＝ln 3＋0>0，所以f(2)·f(3)<0.
(2)通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数．
跟踪训练3 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．
答案　③
解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．
例4　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解　方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数．
故f(x)有且只有一个零点．
方法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点．
反思与感悟　判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
跟踪训练4 已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x ＋ 8|＝a的实数解的个数．
解　令f(x)＝|x2－6x ＋ 8|，g(x)＝a，在同一坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，
f(x)＝|(x－3)2－1|，
下面对a进行分类讨论，由图象得，
当a＜0时，原方程无实数解；
当a＝1时，原方程实数解的个数为3；
当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；
当a＞1或a ＝ 0时，原方程实数解的个数为2.
1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________________．
答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析　Δ＝m2－4>0，m>2或m<－2.
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点的个数为________．
答案　至多有一个
解析　由于函数y＝f(x)在R上递增，所以函数的图象最多与x轴有一个交点，即函数y＝f(x)的零点至多有一个．
3．函数f(x)＝x＋的零点的个数为________．
答案　0
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，
但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点．
[呈重点、现规律]
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
一、基础过关
1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是下列中的________．
①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
答案　②
解析　因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
2.若a答案　(a，b)和(b，c)内
解析　由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，
又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，
因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
3．已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是下列所给区间中的________．(填序号)
①(3,4)；②(2,3)；③(1,2)；④(0,1)．
答案　③
解析　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内．
4．已知函数f(x)＝log2x－x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值为________．
①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零．
答案　①
解析　因为x0是方程f(x)＝0的解，所以f(x0)＝0，又因为函数f(x)＝log2x－x在(0，＋∞)为增函数，且0＜x1＜x0，所以有f(x1)＜f(x0)＝0.
5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
答案　3　0
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
6．函数f(x)＝零点的个数为________．
答案　2
解析　x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R上有2个零点．
7.关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解　令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或
解得－二、能力提升
8.函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为________．
答案　2
解析　当0由y＝log0.5x，y＝x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点．
当x>1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，
令f(x)＝0得log2x＝x，
由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点．
综上知函数有2个零点．
9．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有________个．
答案　2
解析　依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图象如图：
可知f(x)有两个零点．
10．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
答案　2
解析　
(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
11．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
12.已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
解　
f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.
①当－≤－1，即0≤a≤时，
须使即∴a的解集为?.
②当－1<－<0，即a>时，
须使即
解得a≥1，
∴a的取值范围是[1，＋∞)．
三、探究与拓展
13.是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
解　∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝(3a－)2＋＞0，
∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.
检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0.
得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
②当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－，令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解之得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a＜－或a＞1.