3.4.1-2 用二分法求方程的近似解 学案（含答案解析） (2)

第2课时　用二分法求方程的近似解
【课标要求】
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；
2．能借助计算器用二分法求方程的近似解．
3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
【核心扫描】
1．用二分法确定零点所在的区间．(重点)
2．利用图象确定零点所在的区间．(难点)
自学导引
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[a，b]，使f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点x1＝.
(3)计算f(x1)．
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．
(4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)，否则重复步骤(2)～(4)．
想一想：1.方程x2－4x＋4＝0的根的个数与函数f(x)＝x2－4x＋4的零点个数是否相互对应的？
提示　不是，方程x2－4x＋4＝0有两个相等的实根，函数y＝x2－4x＋4只有一个零点．
2．确定函数零点所在大致区间的方法是什么？
提示　对于连续函数在区间(a，b)上端点值异号，则函数在区间(a，b)内至少有一个零点．若证明零点唯一，则由单调性是一种方法，但不是唯一的方法．
名师点睛
1．用二分法求方程的近似解要注意以下问题：
(1)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．
(3)在二分法的第四步，由|a－b|<ε，便可判断零点近似值为a或b.
(4)精确度为ε，即近似值x0与真值α的误差不超过ε.
(5)零点所在区间的选取要尽可能小.
2．用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：
(1)曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；
(2)求曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求方程f(x)－g(x)＝0的实数解．
题型一　用二分法求方程的近似解
【例1】 证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一的实数解，并求出这个实数解(精确度为0.1)．
[思路探索] 方程6－3x＝2x的解即为函数f(x)＝6－3x－2x的零点，故可用函数零点存在定理证明方程在(1,2)内有唯一解，并用二分法求近似值．
解　设函数f(x)＝6－3x－2x，
∵f(1)＝6－3－2＝1＞0，f(2)＝6－3×2－22＝－4＜0，并且f(x)＝6－3x－2x在(1,2)上是减函数，
∴函数f(x)＝6－3x－2x在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间(1,2)有唯一的实数解．
设该解为x0，则x0∈(1,2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈－1.33＜0，f(1)·f(1.5)＜0，∴x0∈(1,1.5)；
取x2＝1.25，f(1.25)≈－0.128＜0，f(1)·f(1.25)＜0，
∴x0∈(1,1.25)；
取x3＝1.125，f(1.125)≈044＞0，∴f(1.125)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.125,1.25)；
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈0.16＞0，f(1.187 5)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1，∴可取x0＝1.25，则方程的一个实数解可取x0＝1.25.
规律方法 (1)准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
(2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
【训练1】 求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的根(精确到0.1)．
解　令f(x)＝ln x＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点，
∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，
∴可取(2,3)作为初始区间．
用二分法列表如下：
中点
中点(端点)函数值符号
取区间
f(2)＜0，f(3)＞0
(2,3)
2.5
f(2.5)＞0
(2,2.5)
2.25
f(2.25)＞0
(2,2.25)
2.125
f(2.125)＜0
(2.125,2.25)
2.187 5
f(2.187 5)＜0
(2.187 5,2.25)
2.218 75
f(2.218 75)＞0
(2.187 5,2.218 75)
∵2.187 5≈2.2,2.218 75≈2.2.
∴所求方程在(2,3)内的根为2.2.
题型二　用二分法求函数的零点
【例2】 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．
[思路探索] 由于要求的是一个正数零点．因此可以考虑首先确定一个包含正数的区间(m，n)，且f(m)·f(n)＜0.计算f(0)＝－6＜0，f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，当然选取(0,2)也是可以的．
解　∵f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，
∴存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0.
用二分法逐次计算，列表如下：
中点
端点或中点函数值符号
取区间
f(1)＝－6＜0，
f(2)＝4＞0
(1,2)
x1＝＝1.5
f(1.5)＜0
(1.5,2)
x2＝＝1.75
f(1.75)＞0
(1.5,1.75)
x3＝＝1.625
f(1.625)＜0
(1.625,1.75)
x4＝＝1.6875
f(1.687 5)＜0
(1.687 5,1.75)
x5＝＝1.718 75
f(1.718 75)＜0
(1.718 75,1.75)
x6＝＝1.734 375
f(1.734 375)＞0
(1.718 75,1.734 375)
∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，
∴所求的正数零点为1.7.
规律方法 用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小；其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间的端点的近似值(精确到给定的精确度)是否相等，以决定是停止计算还是继续计算．
【训练2】 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正实数零点(精确度0.1)．
解　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区　间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
x1＝＝1.5
f(x1)＝0.375>0
(1,1.5)
x2＝＝1.25
f(x2)＝－1.046 9<0
(1.25,1.5)
x3＝
＝1.375
f(x3)＝－0.400 4<0
(1.375,1.5)
x4＝
＝1.437 5
f(x4)＝－0.029 5<0
(1.437 5,1.5)
∵|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴函数的正实数零点近似值可以取为1.437 5.
题型三　求两曲线的交点坐标
【例3】 (14分)借助计算器，利用二分法求函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝7x－1的图象交点的横坐标(精确到0.1)．
审题指导 本题考查利用二分法求两函数交点的横坐标．首先在同一坐标系中画出两个函数的图象，直观地观察交点的位置，再构造函数，用二分法求出函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值．
[规范解答] 在同一坐标系中作出f(x)＝2x＋1，g(x)＝7x－1，h(x)＝f(x)－g(x)的图象如图所示. 4分
∵h(0)＝2，h(1)＝－3，h(0)·h(1)＜0，
∴函数h(x)的零点x0∈(0,1)． 6分
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，
算得h(0.5)≈0.768，
∴h(0.5)·h(1)＜0，∴x0∈(0.5,1). 8分
同理，可得x0∈(0.5,0.75)，x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.625,0.656 25)，x0∈(0.640 625，0.656 25)，x0∈(0.6 484 315,0.656 25)，x0∈(0.652 343 75,0.656 25). 10分
∵0.652 343 75≈0.7,0.656 25≈0.7，
∴函数h(x)精确到0.1的零点为0.7， 12分
即函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标的近似值为0.7. 14分
【题后反思】 求方程f(x)－g(x)＝0的根等价于求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点，也等价于求函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
【训练3】 借助计算器，用二分法求函数y＝ln x与y＝图象交点的横坐标x0的近似解(x0∈(2,3)且精确到0.1)．
解　设f(x)＝ln x－，利用计算器作出函数的图象如图所示．
f(2)≈－0.307，f(3)≈0.432，取区间(2,3)的中点x1＝2.5，f(2.5)≈0.116.
∴函数f(x)的零点x0∈(2,2.5)，
再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25，f(2.25)≈－0.078，则x0∈(2.25,2.5)，
同理，可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312 5,2.375)，x0∈(2.343 75,2.375)，x0∈(2.343 75,2.359 375)，x0∈(2.343 75,2.351 562 5)，x0∈(2.343 75,2.347 656 25)．
∵2.343 75≈2.3,2.347 656 25≈2.3，∴取x0≈2.3，
即满足条件的函数y＝ln x与y＝图象交点的横坐标x0的近似解为2.3.
方法技巧　实际生活中的二分法
二分法原理在实际生活中有着广泛的应用，多可用于查找线路、水管、气管故障，用于试验设计、资料查询等．
【示例】 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路，如何迅速查出障碍所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长大约有200多根电线杆子呢？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
[思路分析] 可利用二分法的原理进行查找．
解　设闸房和防洪指挥部所在处分别为A，B.他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段．再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减为原来的一半，要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，即一两根电线杆附近，只要查7次就够了．
方法点评 此方案方便、迅速、准确，而且科学．在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养.