3.4.1-2 用二分法求方程的近似解 学案（含答案解析）

第2课时　用二分法求方程的近似解
明目标、知重点　1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点．从而求得方程的近似解．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
[情境导学]
一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式求根，如何求得方程的根？
探究点一　二分法的概念
思考1　在上一节课例3中，我们已经知道函数f(x)＝ln x＋2x－6存在零点，那么如何找出这个零点？
答　我们可以将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，可以得到零点的近似值．
思考2　上节课，我们已经知道f(x)的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？
答　取区间(2,3)的中点2.5.
思考3　区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的区间内呢？
答　计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．
思考4　假设f(2.5)＝0说明什么？
答　若f(2.5)＝0，则2.5就是函数的零点．
思考5　如何进一步的缩小零点所在的区间？
答　再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．这样一来，零点所在的范围越来越小了．
思考6　若给定精确度0.1，如何选取近似值？
答　当精确度为0.1时，如果求得的区间(a，b)中，a，b的值精确到0.1的近似值都为c，则c为所求的近似值．
小结　二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
探究点二　二分法求函数零点近似值的步骤
思考1　对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？
答　不能．因为不存在一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.
思考2　通过对函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点近似值的探索过程，你能总结用二分法求一般函数f(x)零点近似值的步骤吗？
答　用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2．求区间(a，b)的中点c；
3．计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；
4．判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
例1　借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确到0.1)
解　原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)＝2x＋3x－7
－6
－2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5)．
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5)．
由于1.375与1.437 5精确到0.1的值都为1.4，
所以，原方程的近似解可取为1.4.
反思与感悟　用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练1　利用计算器，求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．
解　
方程2x＋x＝4可以化为2x＝4－x.分别画函数y＝2x与y＝4－x的图象，由图象可以知道，方程2x＋x＝4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解．
设f(x)＝2x＋x－4，利用计算器计算得：
f(1)<0，f(2)>0?x1∈(1,2)，f(1)<0，f(1.5)>0?x1∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5)，f(1.375)<0，f(1.5)>0?x1∈(1.375,1.5)，f(1.437 5)>0，f(1.375)<0?x1∈(1.375,1.437 5)．
因为1.375,1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，
所以此方程的近似解为1.4.
探究点三　用二分法求方程的近似解
思考　如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？
答　对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．
例2 求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确到0.1)
解　设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有根，记为x0.
取2与3的中点2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，∴2再取2与2.5的中点2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0?x0∈(2.375,2.437 5)，
因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，
所以此方程的近似解为2.4.
反思与感悟　“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
跟踪训练2　借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．(精确到0.1)
解　原方程即x＋lg x－3＝0，令f(x)＝x＋lg x－3，用计算器可算得f(2)≈－0.70，f(3)≈0.48，
于是f(2)·f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2,3)内有一个解．
下面用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．
取区间(2,3)的中点x1＝2.5，
用计算器可算得f(2.5)≈－0.10.
因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3)．
再取区间(2.5,3)的中点x2＝ 2.75，
用计算器可算得f(2.75)≈0.19.
因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5,2.75)．
同理可得x0∈(2.5,2.625)，x0∈(2.562 5,2.625)．
由于2.625与2.562 5精确到0.1的值都为2.6，所以原方程的近似解可取为2.6.
1．下面关于二分法的叙述，正确的是________．(填序号)
①用二分法可求所有函数零点的近似值；
②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；
③二分法无规律可循；
④只有在求函数零点时才用二分法．
答案　②
解析　只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．
2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是________．
答案　①
解析　由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．
答案　(1.25,1.5)
解析　∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5)内．
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0．162
f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________．(精确到0.1)
答案　1.437 5(不唯一)
解析　因f(1.375)·f(1.437 5)<0，且由表知1.437 5与1.375精确到0.1的值都是1.4，
所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.437 5.
[呈重点、现规律]
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.
一、基础过关
1．用“二分法”可求近似解，对于精确到ε说法正确的是________．(填序号)
①ε越大，零点的精确度越高；
②ε越大，零点的精确度越低；
③重复计算次数就是ε；
④重复计算次数与ε无关．
答案　②
解析　依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
2．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间________．
①(，)；②(，)；③(，1)；④(1,2)．
答案　③
解析　f()＝－<0，f()＝－<0，f()＝－1<0，f(1)＝1>0，f(2)＝4>0，∴函数零点落在区间(，1)上．
3．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是________．
①[1,4]；②[－2,1]；③[－2,2.5]；④[－0.5,1]．
答案　④
解析　因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]、[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有④在其中，故答案为④.
4．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为________．
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
答案　0
解析　∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．
5．已知函数f(x)的图象是不间断的，x、f(x)的对应关系见下表，则函数f(x)存在零点的区间有________．
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
6
5
－3
10
－5
－23
答案　[2,3]，[3,4]，[4,5]
解析　由于f(2)f(3)＝5×(－3)＝－15<0，f(3)f(4)＝(－3)×10＝－30<0，f(4)f(5)＝－50<0，所以函数f(x)存在零点的区间有[2,3]，[3,4]，[4,5]．
6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln的零点时，第一次经计算f(0)<0，f>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案　　f
解析　由于f(0)<0，f>0，故f(x)在上存在零点，所以x0∈，
第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1＝＝.
7．确定函数的零点所在的区间．
解　(答案不唯一)
设，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
二、能力提升
8.利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
Y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
Y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内________．
①(0.6,1.0)；②(1.4,1.8)；③(1.8,2.2)；④(2.6,3.0)．
答案　③
解析　设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．
9.已知函数f(x)＝logax＋x－b (a>0，且a≠1)．当2答案　2
解析　∵2∴f(x)＝logax＋x－b为定义域上的单调函数．
f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵2又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，
∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.
∵1<<，3∴loga3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.
由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.
10．方程x5－5x2－lg x＝0在区间(1,10)内的实数解的个数是________．
答案　1
解析　设f(x)＝x5－5x2－lg x，
由于f(1)＝－4<0，f(10)>0，
而函数f(x)＝x5－5x2－lg x在(1,10)内单调，
那么方程在区间(1,10)内的实数解的个数为1个．
11．利用计算器， 求方程x2－6x＋7＝0的近似解(精确到0.1)．
解　设f(x)＝x2－6x＋7，通过观察函数的草图得：
f(1)＝2＞0，f(2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x1，
∵f(1.5)＝0.25＞0，∴1.5＜x1＜2，
又∵f()＝f(1.75)＝－0.437 5＜0，∴1.5＜x1＜1.75，如此继续下去，得
f(1)＞0，f(2)＜0?x1∈(1,2)，f(1.5)＞0，f(2)＜0?x1∈(1.5,2)，
f(1.5)＞0，f(1.75)＜0?x1∈(1.5,1.75)，f(1.5)＞0，
f(1.625)＜0?x1∈(1.5,1.625)
f(1.562 5)>0，f(1.625)<0?x1∈(1.562 5,1.625)
∵1.562 5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x2－6x＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4.
12．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币？
解　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
证明　∵f(1)>0，
∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根.