3.4.1 函数与方程 同步练习 （含答案）

3.4.1函数与方程 同步练习
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________．
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)
①若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
②若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
③若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
④若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．
5．函数f(x)＝零点的个数为________．
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是________．
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是_______________________．
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
答案
1．2个
解析　方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．
2．①②④
解析　对于①，可能存在根；
对于②，必存在但不一定唯一；
④显然不成立．
3．0，－
解析　∵a≠0，2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
4．4
解析　由图象可知，当x>0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称，故此函数的零点至少有4个．
5．2
解析　x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∴f(1)f(e3)<0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．
6．(－∞，0)
解析　设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)?b＝－3a，又由x∈(0，1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.
7．3　0
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析　该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝ln x与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
9．1
解析　设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1，2)内，即k＝1.
10．证明　设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1，0)，(0，2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解　令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－12．3
解析　由已知得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．
13．解　设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0，1)内，一根在(1，2)内，
∴，即
∴