3.4.2 函数模型及其应用 学案（含答案解析）

3.4.2　函数模型及其应用 学案
明目标、知重点　1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题.2.通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初等函数的知识.3.通过实例了解函数模型的广泛应用，进一步巩固函数的应用问题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法．
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验；
(6)用函数模型解释实际问题．
[情境导学]
我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决一个实际问题．
探究点一　一次函数模型的应用
例1　某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元．分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于总产量x(台)的函数关系式．
解　总成本C(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为C＝200＋0.3x，x∈N*.
单位成本P(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为P＝＋0.3，x∈N*.
销售收入R(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为R＝0.5x，x∈N*.
利润L(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为L＝R－C＝0.2x－200，x∈N*.
反思与感悟　信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
跟踪训练1　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．
解　因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝ (h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，
所以，火车运行总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是
s＝13＋120t(0≤t≤)．
2 h内火车行驶的路程s＝13＋120×＝233 (km)．
探究点二　指数型函数模型的应用
例2　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Tα＝(T0－Tα)·()，其中Tα表示环境温度，h称为半衰期．
现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min，那么降温到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)?
解　由题意知40－24＝(88－24)·()，即＝()，解之，得h＝10，故T－24＝(88－24)·()，
当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·()，即()＝，
两边取对数，用计算器求得t≈25.4.
因此，约需要25.4 min，可降温到35℃.
反思与感悟　本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解．本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要借助计算器进行计算．
跟踪训练2　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55 196
56 300
57 482
58 796
60 266
61 456
62 828
64 563
65 994
67 207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解　(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55 196·(1＋ r1) ＝ 56 300，可得1951年的人口增长率r1≈0.020 0.同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令y0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象．
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(2)将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．
探究点三　二次函数模型的应用
例3　在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
解　由题意知，x∈[1,100]，且x∈N*.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－[－20x2＋2 500x－4 000]
＝2 480－40x.
(2)P(x)＝－20x2＋2 500x－4 000＝－20(x－)2＋74 125，当x＝62或x＝63时，
P(x)的最大值为74 120元．因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，所以当x＝1时，MP(x)的最大值为2 440元．
因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值．
反思与感悟　数学应用题的一般求解程序：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
(2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．
跟踪训练3　某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解　(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，∴租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金为x(x≥3 000)元，
则租赁公司月收益为
y＝(100－)(x－150)－×50，整理后得：
y＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050，
∴当x＝4 050时，y的最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．
1．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为________．
答案　y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析　由题意得：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)
＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．
2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为________．
答案　15,12
解析　由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24)．
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
答案　甲
解析　将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
4．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大．此时x＝________，面积S＝________.
答案　1　
解析　根据题目条件0<<3，即0所以S＝(4＋x)
＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2(0故当x＝1时，S取得最大值.
[呈重点、现规律]
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.
一、基础过关
1．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰x的函数，它的解析式为__________________．
答案　y＝20－2x(5＜x＜10)
解析　由题意得2x＋y＝20，所以y＝20－2x.
∵y＞0，∴20－2x＞0，∴x＜10.
又∵三角形两边之和大于第三边，
∴解得x＞5，∴5＜x＜10.
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．
答案　300
解析　由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.
3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为________元．
答案　42
解析　设每天获得的利润为y元，则
y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，
∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元．
4．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费S(元)的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
答案　10
解析　设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t；当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，t＝150分钟时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10(元)．
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
答案　45.6
解析　依题意，可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0且x∈N)．
∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
6．已知某皮鞋厂一天的生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C＝4 000＋50n.若每双皮鞋的售价为90元，且生产的皮鞋全部售出．则每天至少生产________双皮鞋，才能不亏本．
答案　100
解析　由题意得：P＝90n－(4 000＋50n)＝40n－4 000(n∈N*)．
要不亏本，必须P≥0，解得n≥100.
故每天至少生产100双鞋，才能不亏本．
7.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
解　将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
二、能力提升
8．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
答案　18
解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
9．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2.
答案　2
解析　设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2.
10．已知甲、乙两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函数表达式为____________________________．
答案　s＝
解析　当0≤t≤2.5时s＝60t，当2.5＜t＜3.5时s＝150，当3.5≤t≤6.5时s＝150－50(t－3.5)＝325－50t，
综上所述，s＝
11．某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6 000包，每包进价为2.8元，销售价为3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x包，已知每次进货运输费为62.5元，全年保管费为1.5x元，求使利润最大的x的值，并求出最大利润？
解　设获得利润为y元，则
y＝(3.4－2.8)×6 000－×62.5－1.5x
＝－1.5(x＋)＋3 600，
(x∈N*,0＜x≤6 000)．
由于函数g＝x＋在(0,500]上递减，在[500，＋∞)上递增，所以x＝500时，gmin＝1 000.
所以ymax＝－1.5×1 000＋3 600＝2 100(元)．
答　每次进货均为500包全年利润最大，最大利润为2 100元．
12.在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？
解　设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元．
∴y＝(50＋5x)×(120－6x)，
∴y＝－30(x－5)2＋6 750
∴当x＝5时，ymax＝6 750，
这里每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75(元)，
∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元．
三、探究与拓展
13.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解　(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，
即3x≤4，且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增；
当x∈[0，]时，y≤f()<26.4；
当x∈(，]时，y≤f()<26.4；
当x∈(，＋∞)时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5(吨)；
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5(吨)，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).