3.4 函数的应用 习题课 学案（含答案解析）

明目标、知重点　1.进一步掌握常用的函数模型，并会应用它们来解决实际问题.2.提高在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题的能力．
1．某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是下列中的________．
①多赚约6元；②少赚约6元；③多赚约2元；④盈利相同．
答案　②
解析　设A、B两种商品的原价为a、b，
则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23?a＝，b＝，a＋b－46≈6(元)．
2．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是________．
①v＝log2t；②；③v＝；④v＝2t－2.
答案　③
解析　将自变量的值代入各选项，易知③成立．
3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为________元．
答案　2 400
解析　，所以当x＝15时，y＝8 100×(1－)3＝8 100×＝2 400(元)．
4．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠玻璃板数为________块．(lg 3＝0.477 1)
答案　11
解析　设至少需要n块玻璃板，
由已知得(1－10%)n＜.
即()n＜，所以lg()n＜lg ，
即n(2lg 3－1)＜－lg 3，
－0.045 8n＜－0.477 1，n＞≈10.4.
5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案　2ln 2　1 024
解析　当t＝0.5时，y＝2，
∴，
∴k＝2ln 2，
∴y＝e2tln 2，当t＝5时，
∴y＝e10ln 2＝210＝1 024.
6．2012年我国人均国民生产总值约为a美元，若按年平均增长率8%的速度增长．
(1)计算2014年我国人均国民生产总值；
(2)经过多少年可达到翻一番？(lg1.08≈0.033 4，lg 2≈0.301 0)
解　(1)设经过x年后，人均国民生产总值为y美元，
由题意y＝a×(1＋0.08)x.
所以，2014年我国的人均国民生产总值为y＝a×(1＋0.08)2＝1.166 4a(美元)．
(2)由题意：1.08x≥2?x≥≈9.012.
故经过10年可达到翻一番．
题型一　二次函数模型的应用
例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解　由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为
480－40(x－1)＝520－40x(桶)．
由于x＞0,520－40x＞0，即0＜x＜13.
y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0＜x＜13.
易知，当x＝6.5时，y有最大值．
所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润．
反思与感悟　对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
跟踪训练1　某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日租金增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
解　设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，
由x＞0，且300－10x＞0得：0＜x＜30，
设客房租金总收入y元，则有：
y＝(20＋2x)(300－10x) ＝－20(x－10)2＋8 000(0＜x＜30)
由二次函数性质可知当x＝10时，ymax＝8 000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元．
题型二　选择函数的拟合问题
例2　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
解　 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(如图)．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175, 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2, 所以，这个男生偏胖．
反思与感悟　依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：
(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；
(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；
(3)利用待定系数法求出各解析式；
(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．
跟踪训练2　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？
解　(1)利用计算机几何画板软件，描点如图甲．
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得
用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷．
题型三　对数函数模型的应用
例3 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前．
(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？
以下数据供计算时使用：
数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg N
0.004 3
0.006 5
0.007 3
0.117 3
0.301 0
数N
3.000
5.000
12.48
13.11
13.78
对数lg N
0.477 1
0.699 0
1.096 2
1.117 6
1.139 2
解　(1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，
则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，即30(1＋x)40＝60，∴(1＋x)40＝2，
两边取对数，则40lg (1＋x)＝lg 2，
则lg (1＋x)＝≈0.007 525，
∴1＋x≈1.017，得x＝1.7%.
故每年人口平均增长率是1.7%.
(2)依题意，y≤12.48(1＋1%)10，
得lg y≤lg 12.48＋10×lg 1.01≈1.139 2，
∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿．
答　每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿．
反思与感悟　(1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义．
(2)对数函数模型的一般表达式为：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1)．
跟踪训练3　燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解　(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2.
解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：
v＝5log2＝5log28＝15 (m/s)，
即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.
[呈重点、现规律]
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与预测的一般步骤
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
一、基础过关
1．汽车经过启动、加速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是________．
答案　①
2．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
答案　60,16
解析　由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15，得A＝16.
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2011年的湖水量为m，从2011年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为________．
答案　
解析　设某淡水湖的湖水原有量为b，每年减少a%，所以y＝b(1－a%)x，由已知，x＝50时，y＝0.9b，代入解析式，得a%＝.又∵2011年湖水量为m，所以经过x年后湖水量为y＝m(1－a%)x＝.
4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为________．
答案　75
解析　由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，
∴＝，t1＝75.
5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
答案　y＝80(1＋x)10
解析　一年后的价格为y＝80＋80·x＝80(1＋x)．
二年后的价格为y＝80(1＋x)＋80(1＋x)·x
＝80(1＋x)(1＋x)＝80(1＋x)2，
由此可推得10年后的价格为y＝80(1＋x)10.
6．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
答案　2 500
解析　L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．
7.设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
解　(1)由已知得，m－n＝x－－(－x2＋5x＋)
＝x2－x－2.
由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4.
据题意，x>0，所以x≥4.
故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．
(2)若企业亏损最严重，则n－m取最大值．
因为n－m＝－x2＋5x＋－x＋
＝－[(x－1)2－9]＝－(x－1)2.
所以当x＝1时，n－m取最大值，
此时m＝－＝.
故当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
二、能力提升
8．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是________________．
答案　
解析　设镭一年放射掉其质量的t%，
则有95.76%＝1·(1－t%)100，t%＝，
∴y＝(1－t%)x＝.
9．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是________．
①y＝0.2x；②y＝(x2＋2x)；
③y＝；④y＝0.2＋log16x.
答案　③
解析　将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x＝1,2,3时，①，②，③，④中得到的y值做比较，y＝的y值比较接近，故答案为③.
10．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下几种说法：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等．
其中正确的命题序号是________．
答案　①②
解析　由图象知，t＝2时，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正确．
当t＝5时，y＝25＝32>30，②正确，
当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；
浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．
11.一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
12.根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．
解　据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0≤t＜20与20≤t≤40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F(t)．
①当0≤t＜20，t∈N时，F(t)＝(t＋11)(－t＋)
＝－(t－)2＋(＋946)，
故当t＝10或11时，F(t)max＝176.
②当20≤t≤40，t∈N时，F(t)＝(－t＋41)(－t＋)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，F(t)max＝161.
综合①②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.
三、探究与拓展
13.
据预测，我国在“十二五”期间内某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示：
(1)根据图象求k，b的值；
(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝211－x.
当P＝Q时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．
解　(1)由图可知t＝时，有
解得
(2)当P＝Q时，得2(1－6t)(x－5)2＝211－x，
解得t＝＝－.
令m＝，∵x≥9.
∴m∈，在t＝－(17m2－m－2)中，对称轴为直线m＝，∈，且图象开口向下．
∴m＝时，t取得最小值，此时，x＝9.