第3章 指数函数、对数函数和幂函数 归纳整合 学案（含答案解析 ）

第3章 指数函数、对数函数和幂函数 归纳整合
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要点归纳
一、指数函数、对数函数与幂函数
1．指数函数与对数函数性质
指数函数
对数函数
定义
y＝ax(a＞0且a≠1)叫指数函数
y＝logax(a＞0且a≠1)叫对数函数
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
图象
性质
图象经过(0,1)点，
(2)a＞1，当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1.
0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1.
(3)a＞1，y＝ax在R上为增函数，0＜a＜1，y＝ax在R上为减函数
(1)图象经过(1,0)点，
(2)a＞1，当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0.
0＜a＜1，当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0.
(3)a＞1，在(0，＋∞)上y＝logax为增函数，0＜a＜1，在(0，＋∞)上y＝logax为减函数
2.幂函数的性质
由幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的图象，可得幂函数的性质如下：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间(0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
二、函数零点与方程的根
函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
三、函数模型及应用
把握函数模型的应用实例类型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．
专题一　指数函数、对数函数与幂函数
1．比较数的大小时，主要有以下几种方法：①作差法；②作商法；③借助函数单调性；④取中间值法；⑤赋值法；⑥借助函数图象等．
2．函数最值的求法与函数值域的求法联系密切，主要方法有：换元转化法、复合函数法、判别式法、借助函数单调性法等．
【例1】 比较下列各组数的大小．
(1)0.8－0.1,1.250.2；
(2)()，()；
(3)a1－a，(1－a)a(＜a＜1)．
点拨　(1)将这组数化为同底数幂．(2)借助幂函数的单调性求解．(3)0＜1－a＜a＜1.
解　(1)因为1.250.2＝0.8－0.2，由于0＜0.8＜1，
所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以0.8－0.1＜0.8－0.2＝1.250.2.
(2)函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数．
因为＜，所以()＜().
(3)因为＜a＜1，
所以1＞a＞1－a＞0，而y＝(1－a)x为减函数，且y＝x1－a为增函数，
所以(1－a)a＜(1－a)1－a＜a1－a.
【例2】 已知函数f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
点拨　函数有意义，则对数的真数大于零，结合分离参数法求解．
解　因为f(x)＝lg在(－∞，1]上有意义，
所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立．
因为4x>0，所以a>－[()x＋()x]在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－[()x＋()x]，x∈(－∞，1]．
由y＝－()x与y＝－()x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，
所以g(x)max＝g(1)＝－(＋)＝－.
因为a>－[()x＋()x]在(－∞，1]上恒成立，
所以a应大于g(x)的最大值，即a>－.
故所求a的取值范围为(－，＋∞)．
专题二　函数零点与方程的根
函数与方程的思想密切相关，相互转化，渗透到中学数学的各个领域，在解题中存在着广泛的应用．函数的零点实质上就是对应的方程的根，方程的根的问题可以借助于相应函数的性质来解决，而函数的零点也可以由对应方程的根进行研究．
【例3】 设函数f(x)＝，求函数y＝f(x)－的零点．
解　求函数y＝f(x)－的零点．
即求方程f(x)－＝0的根．
当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝.
当－8＜x＜1时，
由x2－2x－＝0得x＝或x＝，
∵x＜1，∴x＝舍去，∴x＝，
∴函数y＝f(x)－的零点是或.
【例4】 若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值．
解　(1)若a＝0，则f(x)为一次函数，易知函数仅有一个零点．
(2)若a≠0，则f(x)为二次函数，若只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，故Δ＝1＋4a＝0，即a＝－.
综上，当a＝0或－时，函数仅有一个零点．
专题三　函数的实际应用
函数是重要的数学模型，不同的数学模型能够刻画现实世界中不同的变化规律，在初中学过的一次函数、二次函数以及现在学习的指数函数、对数函数和幂函数都是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．它们的增长变化存在着很大的差异．比如，指数函数y＝ax(a＞1)的增长是“指数爆炸”，对数函数y＝logax(a＞1)的增长逐步趋于平稳，而幂函数y＝xn(x＞0，n＞0)的增长要远远低于指数函数，因此对于不同的实际问题，需选择适当的函数模型来描述．对于函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，因此应切实掌握通过建立函数模型来解决实际问题的基本方法．
【例5】 中国移动通信将从3月21日开始在所属省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同的用户采取了不同的收费方法，具体方案如下：
方案代号
基本月租(元)
免费时间(分钟)
超过免费时间的话费(元/分钟)
1
30
48
0.60
2
98
170
0.60
3
168
330
0.50
4
268
600
0.45
5
388
1000
0.40
6
568
1700
0.35
7
788
2588
0.30
原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.40元．
(1)求“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月每次通话用时总和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时)的函数关系式；
(2)取第4种收费方式，当通话量为多少时，比原收费方式的月通话费省钱？
解　(1)y＝
(2)当0≤t≤600时，解不等式50＋0.4t≥268，
得545≤t≤600(t∈N)；
当t＞600时，解不等式50＋0.4t≥268＋0.45(t－600)，得600＜t≤1 040(t∈N)．
综上所述，当545≤t≤1 040(t∈N)时，第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱．
【例6】 某电脑公司在甲乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A和B两地的总运费为y元，求y关于x的函数关系式．
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
(3)求总运费最低的调运方案及最低运费．
解　(1)设甲地调运x台至B地，则剩下(6－x)台电脑调运到A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)．则总运费
y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，
∴y＝20x＋960(x∈N,0≤x≤6)．
(2)若使y≤1 000，即20x＋960≤1 000，得x≤2
又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N，∴x＝0,1,2，即能有3种调运方案．
(3)∵y＝20x＋960是R上的增函数，又0≤x≤6，x∈N，∴x＝0时，y有最小值为960.
所以，从甲地运6台到A地，从乙地运8台到B地、运4台到A地，运费最低为960元.
命题趋势
1．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用；以对数与对数函数为知识载体，以对数函数的复合函数为考查主体．考查函数值的计算和图象的应用．
2．幂、指数、对数函数的图象与性质是考查的重点，多以复合函数形式出现，主要以填空题为主，考查函数的基本性质与图象问题．
高考真题
1．(2011·四川)计算(lg－lg 25)÷100－＝________.
解析　(lg－lg 25)÷100－＝－2×＝－2×lg 10÷＝－20.
答案　－20
2．(2011·陕西文)设f(x)＝，则f(f(－2))＝______.
解析　∵x＝－2＜0，∴f(－2)＝10－2＝＞0，所以f(10－2)＝lg 10－2＝－2，即f(f(－2))＝－2.
答案　－2
3．(2012·山东改编)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”．)
解析　函数f(x)＝ax在R上是减函数，等价于0＜a＜1(符合a＞0且a≠1)；函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数，等价于2－a＞0，又a＞0且a≠1，故0＜a＜1或1＜a＜2.
答案　充分不必要
4．(2012·大纲全国改编)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则x，y，z的大小关系为________(用“<”表示)．
解析　由2答案　y5．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
解析　因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．
答案　1
6．(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
解析　由条件可知，x≥A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f(4)＝＝30，解得c＝60；所以f(A)＝＝15，解得A＝16.
答案　60；16