第3章 指数函数、对数函数和幂函数 章末复习课 学案（含答案解析）

题型一　指数、对数的运算
1．指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
例1　(1)化简：；
(2)计算：2log32－log3＋log38－.
解　(1)原式＝.
(2)原式＝log34－log3＋log38－5
＝log3－5＝log39－9＝2－9＝－7.
跟踪训练1　计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
答案　111
解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23
＝×＝1，
∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.
题型二　数的大小比较
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
例2　比较下列各组数的大小：
(1)40.9,80.48，－1.5；
(2)log20.4，log30.4，log40.4.
解　(1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴40.9>－1.5>80.48.
(2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
所以<<，
即log20.4跟踪训练2　比较下列各组数的大小：
(1)27,82；(2)log0.22，log0.049；
(3)a1.2，a1.3；(4)0.213,0.233.
解　(1)∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27即82<27.
(2)∵log0.049＝＝
＝＝＝log0.23.
又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(3)∵函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R上是减函数，
而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(4)∵y＝x3在R上是增函数，
且0.21<0.23，∴0.213<0.233.
题型三　复合函数的单调性
1．一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在(a，b)上也是单调函数．
2．对于函数y＝f(t)，t＝g(x)．
若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域．
例3 已知a>0，且a≠1，试讨论函数的单调性．
解　设u＝x2＋6x＋17＝(x＋3)2＋8，
则当x≤－3时，其为减函数，
当x>－3时，其为增函数，
又当a>1时，y＝au是增函数，
当0所以当a>1时，原函数在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函数．
当0跟踪训练3　求下列函数的单调区间：
(1)y＝log0.2(9x－2×3x＋2)；
(2)y＝loga(a－ax)．
解　(1)令t＝3x，
u＝9x－2×3x＋2＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1≥1>0.
又y＝log0.2u在定义域内递减，
∴当3x≥1(t≥1)，即x≥0时，u＝9x－2×3x＋2递增，
∴y＝log0.2(9x－2×3x＋2)递减．
同理，当x≤0时，y＝log0.2(9x－2×3x＋2)递增．
故函数y＝log0.2(9x－2×3x＋2)的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)．
(2)①若a>1，则y＝logat递增，且t＝a－ax递减，而a－ax>0，即ax②若00，即ax1，
∴y＝loga(a－ax)在(1，＋∞)上递减．
综上所述，函数y＝loga(a－ax)在其定义域上递减．
题型四　幂、指数函数、对数函数的综合应用
指数函数与对数函数性质的对比：
指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．a变化时，函数的图象和性质也随之变化．
(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1,0)．
(3)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)具有相同的单调性．
(4)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，两函数图象关于直线y＝x对称．
例4 已知函数f(x)＝lg 在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
解　因为f(x)＝lg 在(－∞，1]上有意义，
所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立．
因为4x>0，所以a>－在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－，x∈(－∞，1]．
由y＝－x与y＝－x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，
所以g(x)max＝g(1)＝－＝－.
因为a>－在(－∞，1]上恒成立，
所以a应大于g(x)的最大值，即a>－.
故所求a的取值范围为.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若f(x)＝lg g(x)，判断函数g(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明．
解　(1)由，
得－1又f(－x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)g(x)在(0,1)上单调递减．
证明如下：
∵f(x)＝lg(1－x2)＝lg g(x)，∴g(x)＝1－x2，
任取0则g(x1)－g(x2)＝1－x－(1－x)
＝(x1＋x2)(x2－x1)，
∵00，x2－x1>0，
∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在(0,1)上单调递减．
题型五　函数模型及应用
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c
(3)指数函数模型
y＝abx＋c
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n
(5)幂函数模型
y＝axn＋b
(6)分段函数
y＝
例5 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的函数关系为R＝kr4(k>0，k是常数)．
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的表达式；
(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率．
解　(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，
∴k＝，∴流量速率R的表达式为R＝r4.
(2)∵R＝r4，
∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)．
即气体通过管道半径为5 cm时，该气体的流量速率约为3 086 cm3/s.
跟踪训练5　为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
答案　(1)y＝　(2)0.6
解析　(1)由题意和图示知，当0≤t≤0.1时，可设y＝kt(k为待定系数)，
由于点(0.1,1)在直线上，∴k＝10；
同理，当t>0.1时，可得1＝0.1－a
?0.1－a＝0?a＝.
(2)由题意可得 <0.25，得t>0.6，即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
[呈重点、现规律]
1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．
3．函数建模的基本过程如图