第3章 指数函数、对数函数和幂函数 章末提升课 学案（含答案解析）

1　指数与指数运算疑点透析
1．如何理解n次方根的概念
若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：
x＝
主要性质有：
①当n为奇数时，＝a；
②当n为偶数时，＝|a|＝.
2．如何理解分数指数幂的意义
分数指数幂a不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．
3．分数指数幂和整数指数幂有什么异同
相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为at·as＝at＋s；(at)s＝ats；(ab)t＝at·bt，式中a＞0，b＞0，t、s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但须记准．
不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．
4．指数幂的运算
在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1 化简÷.
解　原式＝
＝a0＝1.
例2 求 的值．
解　原式＝
＝(34＋)＝3＝3＝3.
例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.
2　解读指数函数的四个难点
盘点了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．
难点之一：概念
指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.
例1 给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；
④y＝xx；⑤y＝22x＋1.
以上是指数函数的个数是________．
分析　根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义．
解析　对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．
答案　1
难点之二：讨论
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．
例2 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
分析　遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.
解　当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝，即a2＝，所以a＝；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝，即a2＝，所以a＝.综上可知，a＝或a＝.
难点之三：复合
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．
例3 求函数y＝()的单调递减区间．
分析　指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．
解　由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，则y＝()，当x∈[－1，]时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为[－1，]．
难点之四：图象
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．当0＜a＜1时恰好相反．
例4 利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．
分析　可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．
解　如图所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的图象，
易知0.7－0.3＜0.4－0.3.
评注　图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．
3　对数与对数运算学习讲解
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N?x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，alogaN＝N，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．
2．对数的性质
(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.
3．对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)loga＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．
例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：
(1)log3＝－3；(2)log232＝5；
(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.
解　(1)3－3＝；(2)25＝32；(3)log6216＝3；
(4)log100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.
评注　本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．
例2 求下列各式的值：
(1)3log72－log79＋2log7；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)原式＝log723－log79＋log7()2
＝log7＝log71＝0；
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2
＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.
评注　利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性.
4　换底公式的证明及其应用
换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．
一、换底公式及证明
换底公式：logbN＝.
证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.
∴x＝，即logbN＝.
二、换底公式的应用举例
1．乘积型
例1 (1)计算：log89·log2732；
(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.
分析　先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．
解　(1)换为常用对数，得log89·log2732＝·
＝·＝×＝；
(2)由换底公式，得logab·logbc·logcd
＝··＝logad.
评注　此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．
2．知值求值型
例2 已知log1227＝a，求log616的值．
分析　本题可选择以3为底进行求解．
解　log1227＝＝a，解得log32＝.
故log616＝＝＝＝.
评注　这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．
3．综合型
例3 设A＝＋＋，B＝＋，试比较A与B的大小．
分析　本题可选择以19及π为底进行解题．
解　A换成以19为底，B换成以π为底，
则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，
B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.
评注　一般也有倒数关系式成立，即logab·logba＝1，logab＝.
5　精析对数函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、对数函数的概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．
由对数的定义容易知道对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．
二、对数函数的图象和性质
1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项
(1)数形结合——利用图象记忆性质．x＝1是“分水岭”；
(2)函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1；
(3)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别．
2．对数函数图象分布规律
如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x＝1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在具体解题时，还可利用特殊值法．
例1 函数y＝log(x－1)(4－x)的定义域是________．
解析　由可得，所以函数的定义域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．
答案　{x|1＜x＜4，且x≠2}
评注　函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.
例2 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a、b、c、d与正整数1的大小顺序是________．
解析　作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a、b、c、d，于是c＜d＜1＜a＜b.
答案　c＜d＜1＜a＜b
评注　利用特殊值的办法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决.
6　对数函数中化难为易三策略
对数函数是最重要的一类初等函数，解对数函数问题时常因方法不当或没有充分挖掘隐含条件而导致错误．这主要是因为对数函数的制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，因此在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面从三个方面谈谈对数函数学习中化难为易的求解策略，希望能对同学们的学习有所帮助．
一、数形结合策略
例1 已知a＞0，且a≠1，求使方程loga(x－ak)＝loga有解的k的取值范围．
解　原方程可化为loga(x－ak)＝loga，因为原方程有解，则方程组(y＞0)有解．
如图所示，
即两曲线有交点，那么－ak>a或－a<－ak＜0(a＞0)．
∴k＜－1或0＜k＜1.
评注　数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易．
二、合理换元策略
例2 设[a2x＋2(ab)x－b2x＋1]，a，b∈(0，＋∞)，求使y为负值的x的取值范围．
解　∵0＜＜1，y＜0，
∴由对数函数的性质知a2x＋2(ab)x－b2x＋1＞1，
即a2x＋2(ab)x－b2x＞0.①
把①式两边同时除以b2x，
得2x＋2x－1＞0，②
令＝t，则②式可化为t2x＋2tx－1＞0，
解得tx＞－1或tx＜－－1(舍去)，
再给两边取以t为底的对数，但需分t＞1，t＝1,0＜t＜1三种情况进行讨论．
当t＞1，即a＞b＞0时，x＞ (－1)；
当t＝1，即a＝b＞0时，x∈R；
当0＜t＜1，即0＜a＜b时，x＜(－1)．
评注　对某些对数函数问题，巧妙地进行变量代换，可使问题转化为一次或二次函数等常规函数问题来解，往往能化难为易．
三、分离参数策略
例3 设f(x)＝lg，其中a∈R，n是任意给定的自然数，且n≥2，如果f(x)在x∈(－∞，1]上有意义，求a的取值范围．
解　由f(x)有意义，得1＋2x＋…＋(n－1)x＋nxa＞0，x∈(－∞，1]，n≥2，
把上式看作关于a的不等式，解得
a＞－，
令g(x)＝－，
∵y＝－()x(m＝1,2，…，n－1)在(－∞，1]上是增函数，
∴g(x)在(－∞，1]上也是增函数，
故有g(x)≤g(1)＝－＝－，
即[g(x)]max＝－，故a＞－(n－1)，
∴a的取值范围是.
评注　有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的思维习惯，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定势，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果．当一个题目中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参数，使问题获解.
7　巧解指、对函数综合题
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0＜a＜1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指、对函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．
1．共享底数
对数式与指数式互化，其底数一致，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．
例1 方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.
解析　将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2· 3x，
即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，
得3x＝，故x＝－1.
答案　－1
2．亮出底数
在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．
例2 当a＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y＝a－x与y＝logax的图象的是________．
解析　由a＞1时，有0＜＜1，则指数函数y＝a－x＝()x在R上是减函数，对数函数y＝logax在R＋上是增函数，故排除②、③、④.
答案　①
3．变换底数
对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．
例3 若loga2＜logb2＜0，则下列各式成立的是________．
①0＜a＜b＜1；②0＜b＜a＜1；③a＞b＞1；④b＞a＞1.
解析　化为同底，有＜＜0，从而log2b＜log2a＜0，即log2b＜log2a＜log21.
∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜b＜a＜1.
答案　②
4．讨论底数
当底数不定时，常分0＜a＜1与a＞1两种情况进行讨论．
例4 函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a＝________.
解析　由题意知，a＞0，且a≠1.
①当a＞1时，有a1－a0＝5，即a＝6；
②当0＜a＜1时，有a0－a1＝5，即a＝－4(舍去)．
综上知，a＝6.
答案　6
5．消去底数
有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．
例5 设0＜x＜1，a＞0且a≠1.试比较loga(1－x)与loga(1＋x)的大小．
解　作商＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＜1＋x＜2,0＜1－x2＜1，
∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)
＝log(1＋x)＞log(1＋x)(1＋x)＝1.
∴loga(1－x)＞loga(1＋x).
8　三种数学思想在幂函数中的应用
1．分类讨论的思想
例1 若(a＋1)－<(3－2a)－，试求a的取值范围．
分析　利用函数y＝x－的图象及单调性解题，注意根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．
解　分类讨论或
或解得a<－1或评注　考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．
2．数形结合的思想
例2 已知x2>，求x的取值范围．
解　x2与有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα(其中α＝2，)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<0或x>1.
评注　数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．
3．转化的数学思想
例3 指出函数f(x)＝的单调区间，并比较f(－π)与f(－)的大小．
解　因为f(x)＝
＝1＋＝1＋(x＋2)－2，
所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．
所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．
又因为－2－(－π)＝π－2，
－－(－2)＝2－，所以π－2<2－，
故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－)．
评注　通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题.
9　函数的零点及应用
一、要点扫描
1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间[a，b]内有零点．
2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.
3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x)＝0的根．
二、典型例题剖析
1．求函数的零点
例1 求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．
解　令f(x)＝x3－3x＋2＝0，
∴(x＋2)(x－1)2＝0.∴x＝－2或x＝1，
∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1.
评注　求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题．
2．判断函数零点的个数
例2 已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数．
解　设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标．在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝ax(a＞1)与f2(x)＝－的图象(如图所示)．所以方程f(x)＝0的根有一个．
评注　利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点(即是原函数的零点的个数)．
3．确定零点所在的区间
例3 设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是下列中的________．
①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．
解析　y＝x3与y＝()x－2的图象的交点的横坐标即为x3＝()x－2的根，即f(x)＝x3－()x－2的零点，f(1)＝1－()－1＝－1＜0，f(2)＝23－()0＝7＞0，
∴f(x)的零点在(1,2)内．
答案　②
评注　本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．
4．利用函数零点的存在性求参数范围
例4 关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解　设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在[0,2]上有一个解，
∵f(0)＝1＞0，则应有f(2)≤0，
又∵f(2)＝2m＋3，∴m≤－；
②若f(x)＝0在[0,2]上有两个解，
则
解得－≤m≤－1.
综上所述，实数m的取值范围为m≤－1.
评注　本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．
10　零点问题考向探究
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型．
一、判断函数零点的存在性
例1　已知函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是________．(填序号)
①函数在区间(－1,0)内有零点；
②函数在区间(0,1)内有零点；
③函数在区间(1,2)内有零点；
④函数在区间(2,3)内有零点．
分析　根据选项提供的区间来看，需要计算f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点．
解析　因为f(－1)＝－2<0，f(0)＝1>0，f(1)＝－4<0，f(2)＝－5<0，f(3)＝10>0，
所以f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(1)<0，
f(2)·f(3)<0.
又因为一个三次方程最多有三个实根，
所以函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点．
答案　③
评注　由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，来确定零点的唯一性，不失为解决不易判断单调性的函数零点问题的好方法．
二、考查函数图象与函数零点的关系
例2　已知函数f(x)＝－cos x，在[0，＋∞)内下列说法正确的是________．
①没有零点；②有且仅有一个零点；③有且仅有两个零点；④有无穷多个零点．
分析　利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质(值域、单调性等)进行判断．
解析　
在同一直角坐标系中分别作出函数y＝和y＝cos x的图象，如图，由于x>1时，y＝ >1，y＝cos x≤1，所以两图象只有一
个交点，即方程－cos x＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内只有一个零点，所以答案为②.
答案　②
评注　一般地，函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数f(x)的零点．求方程f(x)＝g(x)的根或根的个数，即求函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标或交点的个数．
三、判断函数零点所在的大致区间
例3　函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是下列所给的________．(填序号)．
①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
解析　因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案　②
评注　若f(a)·f(b)<0，且f(x)在[a，b]上连续，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点，但要注意，若f(a)·f(b)≥0，并不能证明f(x)在(a，b)内没有零点．
11　解读二分法
“二分法”是现行教材中一个新增内容，它的主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图象交点的横坐标等．在学习的过程中，我们应重视从本质上理解和掌握“二分法”的实质，合理准确地使用“二分法”解题．
一、定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．
二、要注意适用条件
若用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值，必须具备两个条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上图象要连续不断．例如函数y＝图象不连续，要求它在[0,3]上零点的近似值，区间的中点1.5根本就不在定义域内，不能用“二分法”；②必须满足f(a)·f(b)＜0，这说明y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点，否则若f(a)·f(b)＞0，则y＝f(x)在区间(a，b)上有无零点不能保证，不能用“二分法”．
三、注意用二分法求函数零点近似值的一般步骤
给定精确到ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确到ε；
2．求区间(a，b)的中点c；
3．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
4．判断是否达到精确到ε：即若a，b精确到ε的值相等，则得到零点近似值；否则重复步骤2～4.
四、二分法的优、缺点
二分法的优点在于其解题思想简单易懂，即为“取区间中点，层层逼近零点”的原则，其体现了过程的机械性和简单性．缺点在于其求解过程中计算量较大，必要时要用到计算器，计算要求准确性高，可谓是“一步走错则全盘皆输”．
例1 求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解．(精确度0.1)
分析　先利用函数图象直观得到某根所在的区间．
解　设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示．
∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，∴在区间(2,3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25＞0，所以x1∈(2,2.5)，
再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5＜0，∴x1∈(2.25,2.5)，
如此继续下去，得f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0，
则x1∈(2.375,2.437 5)，
∵|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.
∴此方程大于零的近似解为x1≈2.4.
评注　运用二分法的前提是先判断某根所在的大概区间.
12　函数与方程，唇齿相依
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．
一、判断方程解的存在性
例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？
分析　可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．
解　因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，
f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，
所以f(－1)·f(0)<0.
又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，
所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
评注　要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．
二、确定方程根的个数
例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为________．
分析　利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．
解析　设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1
得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，
即g(－6)g(6)<0.
因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．
由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，
易知当a>0时g(x)单调递增；
当a<0时，g(x)单调递减，
即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．
因此方程f(x)＝1仅有一个根．
答案　1
评注　在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有唯一的零点．
三、求参数的取值范围
例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
分析　将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．
解析　因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，
即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，
所以f(－2)f(0)≤0.
即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.
答案　m≥1
评注　本题对方程实根的研究转化为对一次函数f(x)在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．
例4 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．
分析　若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示.
对应的条件是或解出即可．
解　令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需
或
即或
解得k>0或k<－4.
故k的取值范围是k>0或k<－4.
评注　本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决.
13　函数应用问题“讲”与“练”
讲解一　求函数模型
例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t(t＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．
解　设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y＝250x·＝tx.
依题意，知x＝40－t＞0，即t＜25.
故所求的函数关系式为y＝×t＝－4t2＋100t(0＜t＜25)．
评注　在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
练习1 将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式．
答案　y＝－15x2＋50x＋15 000
讲解二　函数模型的选用
例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：
种植成本Q(万元)
150
100
上市时间t(天)
50
150
模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
分析　根据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.
解　设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，
g(t)＝kt＋m(k≠0)．
由已知，得
所以
解得
所以f(t)＝(t－150)2＋100，g(t)＝－t＋175.
因为f(200)＝(200－150)2＋100＝112.5，
g(200)＝－×200＋175＝75，
所以选用f(t)＝(t－150)2＋100作为模拟函数较好．
评注　本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化．
练习2 现有一组数据如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1.5
3.51
7.5
…
其中最能近似地表达这些数据规律的函数是________．
①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－；
④y＝x3－x＋1.
答案　③
讲解三　转化为熟悉的函数模型
例3 有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：M＝x，N＝，今有4万元资金投入经营A，B两种商品．为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？
解　设对A种产品投资x万元，则对B种产品投资(4－x)万元．于是获得总利润y＝x＋.
由得0≤x≤4.
令t＝(0≤x≤4)，则x＝4－t2(0≤t≤2)．
所以y＝(4－t2)＋t＝－2＋
(0≤t≤2)．
于是，当t＝时，ymax＝(万元)．
此时，x＝4－t2＝＝1.75(万元)，4－x＝2.25(万元)．
故为了获得最大利润，对A种商品的资金投入为1.75万元，对B种商品的资金投入为2.25万元．
练习3 某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润．
答案　安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124 000元.
14　哪种模拟函数更合适
例 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双，由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好，为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？
解　先将产量转化为图象上的四个点A(1,1)，B(2，1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)，描出它们的散点图，再进行模拟估计．
一次函数模拟．
设模拟函数为y＝ax＋b，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得
所以y＝0.1x＋1.
如果用此模拟函数估计今后几个月的产量，因为在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上涨1 000双，这是不切合实际的，所以这个模拟函数不可取．
二次函数模拟．
设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，将A，B，C三点的坐标代入，得解得
所以y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
运用二次函数作为模拟函数，计算出的4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，另外由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下，二次函数的对称轴方程是x＝3.5)，这显然不符合生产实际，所以这种模拟函数不可取．
幂函数模拟．
设模拟函数为y＝a＋b.将A，B两点的坐标代入，得
解得
所以y＝0.48＋0.52.
将x＝3和x＝4代入，分别得到y≈1.35和y≈1.48，与实际产量差距较大，这是因为此法只使用了两个月的数据．
指数函数模拟．
设模拟函数为y＝a·bx＋c，将A，B，C三点的坐标代入，得解得
所以y＝－0.8×0.5x＋1.4.
将x＝4代入，得y＝－0.8·0.54＋1.4＝1.35.与第4个月的产量比较接近，所以该模拟函数较适合．
反思与感悟　比较上述四个模拟函数可以发现，选择模拟函数既要考虑到误差最小，又要考虑到生产的实际情况，比如增长的趋势和可能性．经过反复选择，以指数函数模拟为最好．首先是误差最小；其次是由于新建厂，随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会有明显上升，但过一段时间之后，如果设备不更新，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势．因此选用y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近实际．