3.2 对数函数 习题课 学案（含答案解析）

明目标、知重点　1.巩固和深化对有关对数基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好对数函数的图象及性质的应用及对数函数与其它有关知识的综合应用．
1．若logx＝z，则下列各式成立的是________．
①y7＝xz；②y＝x7z；③y＝7xz；④y＝z7x.
答案　②
解析　由logx＝z，得xz＝，
∴7＝(xz)7，则y＝x7z.
2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝______.
答案　－b
解析　f(－x)＝lg＝lg()－1＝－lg
＝－f(x)，
则f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b.
3．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．
答案　[，4]
解析　∵－1x1，∴2－12x2，即2x2.
∴y＝f(x)的定义域为[，2]，即log2x2，
∴x4.
4.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
答案　
解析　函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，
令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，
y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．
因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)
＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.
5．已知 (a>0)，则＝________.
答案　3
解析　设＝x，则a＝x，
又，∴，即，
∴x＝2，解得x＝3.
6．已知0＜a＜b＜1＜c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是________．
答案　m＞n
解析　∵m＜0，n＜0，∵＝logac·logcb＝logab＜logaa＝1，∴m＞n.
题型一　对数式的化简与求值
例1 计算：(1)log(2＋)(2－)；
(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求log(3－2).
解　(1)方法一　利用对数定义求值：
设log(2＋)(2－)＝x，
则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，
∴x＝－1.
方法二　利用对数的运算性质求解：
log(2＋)(2－)＝log(2＋)＝log(2＋)(2＋)－1
＝－1.
(2)由已知得lg()2＝lg xy，
∴()2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴()2－6()＋1＝0.∴＝3±2.
∵∴＞1，∴＝3＋2，
∴log(3－2)＝log(3－2)(3＋2)＝log(3－2)
＝－1.
反思与感悟　在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．
跟踪训练1　计算：
(1)log2＋log212－log242－1；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
解　(1)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2＝.
(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25
＝lg 100＝2.
题型二　对数函数的图象与性质
例2 已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
解　∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图．
由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|1，只需|f()|1，即－1loga1，
即logaa－1logalogaa，
亦当a＞1时，得a－1a，即a3；
当0＜a＜1时，得a－1a，得0＜a.
综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．
反思与感悟　本题属于函数恒成立问题，即对于x∈[，2]时，|f(x)|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a进行分类讨论．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝|lg x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．
答案　(3，＋∞)
解析　画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．
∵0＜a＜b，f(a)＝f(b)，∴0＜a＜1，b＞1，
∴lg a＜0，lg b＞0.
又f(a)＝f(b)，∴－lg a＝lg b，ab＝1，
∴b＝，∴a＋2b＝a＋，
又0＜a＜1，函数t＝a＋在(0,1)上是减函数，
∴a＋＞1＋＝3，即a＋2b＞3.
题型三　对数函数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝log2x，x∈[2,8]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]，若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
解　(1)因为x∈[2,8]，所以log2x∈[1,3]．
设log2x＝t，t∈[1,3]，
则g(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2
当a<1时，ymin＝g(1)＝4－2a，
当1≤a≤3时，ymin＝g(a)＝3－a2，
当a>3时，ymin＝g(3)＝12－6a.
(2)因为m>n>3，
所以h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上为减函数，
因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，
所以，
两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，
所以m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾，
故满足条件的实数m，n不存在．
反思与感悟　本题利用了换元法，把log2x看作一个整体用t来表示，从而得到一个新函数，因此需要求出函数的定义域．所示函数的最值本身也是关于a的分段函数，所以函数思想是中学阶段常用的重要思想．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x) m成立，求m的取值范围．
解　(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x) m，即logam.
设F(x)＝loga＝loga(－1＋)，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)minm即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m0即为所求．
[呈重点、现规律]
1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．
3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝·logab，logab＝在解题中的灵活应用．
4．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
5．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.
一、基础过关
1．函数f(x)＝＋lg(2x－1)的定义域为________．
答案　(0,1)
解析　由得
2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值为________．
答案　
解析　由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，
由＋＝2，得＋＝2.
即logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，
又因为m＞0，所以m＝.
3．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是________．
答案　④
解析　由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，
函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．
所以0因为0因为0所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，
故排除③.
4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________．(填序号)
①y＝2|x|；②y＝lg(x＋)；
③y＝2x＋2－x；④y＝lg.
答案　④
解析　函数y＝2|x|和y＝2x＋2－x显然为偶函数，对于函数y＝lg(x＋)，由于f(－x)＝lg(－x＋)＝lg(－x)＝lg＝－f(x)，所以为奇函数，故答案为④.
5．已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)满足f(9)＝2，则a＝________.
答案　3
解析　由f(9)＝2得a2＝9，所以a＝3.
6．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝______.
答案　或－1
解析　当a＞0时，log2a＝，则a＝；当a≤0时，2a＝，则a＝－1.
7．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解　(1)要使函数f(x)有意义．
则解得－1故所求函数f(x)的定义域为{x|－1(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1所以f(x)>0 >1，解得0所以使f(x)>0的x的解集是{x|0二、能力提升
8．已知函数f(x)＝alog2x－blog3x＋3，若f()＝5，则f(2 013)＝________.
答案　1
9．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f(1)>f(lg )，则x的取值范围为____________________．
答案　010
解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，
所以不等式f(1)>f(lg )可化为
lg >1或lg <－1，
所以lg >lg 10或lg 所以>10或0<<，
所以010.
10．设函数f(x)＝logax (a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝________.
答案　16
解析　f(x1x2…x2 015)＝loga(x1x2…x2 015)＝8，
f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2…x2 015)2＝2loga(x1x2…x2 015)＝16.
11．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解　由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝＝(logax＋)2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若(loga2＋)2－＝1，则，
此时f(x)取得最小值时，
＝ [2,8]，舍去．
若(loga8＋)2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝()－
＝2∈[2,8]，符合题意，
∴a＝.
12．已知f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图象上时，点(，)在函数y＝g(x)的图象上．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
解　(1)依题意，
则g()＝log2(x＋1)，
故g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)由f(x)－g(x)＝0得，
log2(x＋1)＝log2(3x＋1)，
∴解得，x＝0或x＝1.
三、探究与拓展
13.已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
解　(1)由ax－bx＞0，得()x＞1，且a＞1＞b＞0，得＞1，所以x＞0，即f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)任取x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0，则ax1＞ax2＞0，bx1＜bx2，所以ax1－bx1＞ax2－bx2＞0，
即lg(ax1－bx1)＞lg(ax2－bx2)．故f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)，这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．