本册综合测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1．已知p：2x－3<1，q：x2－3x<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 p：x<2，q：0∴p是q的既不充分也不必要条件．
答案 D
2．抛物线y＝x2的焦点坐标为( )
A．(，0) B．(－，0)
C．(0,1) D．(0，－1)
解析 由y＝x2，得x2＝4y，∴焦点坐标为(0,1)．
答案 C
3．已知命题p：3是奇数，q：3不是质数．由它们构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题中真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 命题p为真，q为假，∴“p∨q”为真，“p∧q”、“綈p”为假，故应选B.
答案 B
4．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－3,0)
C．(－12,0) D．(－60，－12)
解析 由＋＝1表示双曲线知，k<0，且a2＝4，b2＝－k，∴e2＝＝，
∵1∴4<4－k<16，∴－12答案 C
5．下列结论正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“?x∈R，x2＋1>0”是全称命题；③若p：?x∈R，x2＋2x＋1≤0，则綈p：?x∈R，x2＋2x＋1≤0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p：?x∈R，x2＋2x＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．
答案 B
6．设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥α，n⊥α，则m⊥n.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．
答案 C
7．已知a＝(m＋1,0,2m)，b＝(6,2n－1,2)，若a∥b，则m与n的值分别为( )
A.， B．5,2
C．－，－ D．－5，－2
解析 ∵a∥b，∴a＝λb，
∴解得
∴m＝，n＝.
答案 A
8．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4
解析 设双曲线的焦距为2c，由双曲线方程知c2＝3＋，则其左焦点为(－，0)．
由抛物线方程y2＝2px知其准线方程为x＝－，
由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，
3＋＝，且p>0，解得p＝4.
答案 C
9．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝，|PF2|＝.
又|PF2|≥c－a，即≥c－a.
∴≤.即e≤.
答案 C
10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点EF分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析 建立空间直角坐标如图所示．
设AB＝2，则＝(0，－1,1)．
＝(2,0,2)，
∴cos〈·〉
＝＝＝，
故EF与BC1所成的角为60°.
答案 B
11．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是( )
①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③＋y2＝1；④－y2＝1.
A．①③ B．②④
C．①②③ D．②③④
解析 直线y＝－2x－3与4x＋2y－1＝0平行，所以与①不相交．
②中圆心(0,0)到直线2x＋y＋3＝0的距离d＝<.所以与②相交．把y＝－2x－3代入＋y2＝1，得＋4x2＋12x＋9＝1，
即9x2＋24x＋16＝0，
Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.
答案 D
12．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1·k2等于( )
A．－ B.
C．－2 D．2
解析 设直线l的方程为y＝k1(x＋2)，代入x2＋2y2＝2，
得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝，
而y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝.
∴k2＝＝－，∴k1·k2＝－.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．
解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”
答案 任意一个三角形都有外接圆
14．已知命题p：1≤x≤2，q：a≤x≤a＋2，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析 “p是q的必要不充分条件”的逆否命题是“q是p的必要不充分条件”．
∴{x|1≤x≤2}?{x|a≤x≤a＋2}，∴0≤a≤1.
答案 0≤a≤1
15．已知直线l1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l2的一个方向向量为(x，y,6)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
答案 －14 8
16．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面ABCD所成角的余弦值为________．
解析 由题意知，AC1＝＝3，AC＝＝2，在Rt△AC1C中，cos∠C1AC＝＝.
答案
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
解 由|x－1|>m－1的解集为R，知m－1<0，
∴m<1.即p：m<1.
又f(x)＝－(5－2m)x是减函数，
∴5－2m>1，即m<2，即q：m<2.
若p真q假，则m不存在．
若p假q真，则∴1≤m<2.
综上知，实数m的取值范围是[1,2)．
18．(12分)求证：a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直的充要条件．
证明 充分性：当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，如果a＋2b＝0，那么k1k2＝(－)×(－)＝－1.故两直线互相垂直．
必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k2＝(－)×(－)＝－1，所以a＋2b＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.
综上可知，a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直的充要条件．
19．(12分)抛物线y＝－与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．
解 显然直线l垂直于x轴不合题意，故设所求的直线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程化简，得
x2＋2kx－2＝0.
由根的判别式Δ＝4k2＋8＝4(k2＋2)>0，于是有k∈R.
设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，
则＋＝1.①
因为y1＝kx1－1，y2＝kx2－1，
代入① ，得2k－(＋)＝1.②
又因为x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，代入②得k＝1.
所以直线l的方程为y＝x－1.
20．(12分)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c由已知得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]．由已知得＝e2.
而e＝，故16(x2＋y)＝9(x2＋y2)．①
由点P在椭圆C上得y＝，
代入①式并化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，它是两条平行于x轴的线段．
21．(12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；
(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
解 (1)证明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.
又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.
而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，
所以DE⊥平面ACC1A1.
又DE?平面ADE，
故平面ADE⊥平面ACC1A1.
(2)如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．
不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D(，－，)．
易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝(，，)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
解得x＝－y，z＝－y.
故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；
(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．
解 (1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，
∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.
∴四边形A1D1EB为平行四边形．
∴D1E∥A1B.
又D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD.
(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1,0,2)，＝(1,1,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，
由n⊥，n⊥，得
取z＝1，则n＝(－2,2,1)．
又DC1＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，
设m＝(x1，y1，z1)为平面C1BD的一个法向量，
由m⊥，m⊥，
得取z1＝1，则m＝(1，－1,1)．
设m与n的夹角为α，二面角A1－BD－C1为θ，显然θ为锐角，
∴cosα＝＝＝－.
∴cosθ＝，
即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为.
选修2-1模块测试试题
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.)
1、命题“若，则”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
2、过点（0，2）与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、无数条
3、“”是“方程表示直线”的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
B、 C、 D、
5、已知P在抛物线上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、2
7、下列结论中，正确的结论为（ ）
①“”为真是“”为真的充分不必要条件；
②“”为假是“”为真的充分不必要条件；
③“”为真是“”为假的必要不充分条件；
④“”为真是“”为假的必要不充分条件。
A、①② B、③④ C、①③ D、②④
8、设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26 ，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
10、⊿ABC的三个顶点分别是，，，则AC边上的高BD长为（ ）
A、 B、4 C、5 D、
11、设P是双曲线＝1(a＞0 ,b＞0)上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°，△F1PF2面积是9，则a + b＝（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
12、如图所示，正方体的棱长为1，O是平面的中心，则O到平面的距离是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13、命题“”的否定是 ____________________。
14、已知向量，且A、B、C三点共线，则
________。
15、若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程为______________。
16、方程+=1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中正确的命题是 __________。
三、解答题：（本大题共5小题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17、（10分）已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是和，
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围。
18、（10分）如图，点A处为我军一炮兵阵地，距A点1000m的C处有一座小山，山高为580m，在山的另一侧距C处3000m的地方有敌武器库B，且A、B、C在同一水平直线上。已知我炮兵击中敌武器库的炮弹轨迹是一段抛物线，这段抛物线的最大高度为800m，建立适当的平面直角坐标系：
（1）求这段抛物线的方程；
（2）炮弹沿着这段抛物线飞行时，是否会与该小山碰撞？
19、（10分）如图，正方体的棱长为1，P、Q分别是线段和上的点且，
求线段PQ的长度 ；
求证：；
求证：。
20 、（10分） 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点。
（1）求直线EF与MN的夹角；
（2）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；
（3）求二面角N—EF—M的平面角的正切值。
21、（12分）在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，也是抛物线的焦点，点M为在第一象限的交点，且。
（1）求的方程；
（2）平面上的点N满足，直线，且与交于A,B两点，若，求直线的方程。
选修2-1数学综合测试题
一、选择题
1．“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．若是假命题，则（ ）
A.是真命题，是假命题 B.、均为假命题
C.、至少有一个是假命题 D.、至少有一个是真命题
3．,是距离为6的两定点，动点M满足∣∣+∣∣=6,则M点的轨迹是 （ ）
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
4． 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方形的顶点为椭圆的焦点，顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（ ）
A．0 B． C． D．
10．与向量平行的一个向量的坐标是 （ ）
A．（，1，1） B．（－1，－3，2） C．（－，，－1） D．（，－3，－2）
11．11．已知长方体中，,,是侧棱的中点，则直线与平面所成角的大小为( )
A． B． C． D．以上都不正确
12．若直线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
13．如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是
_______________.
14．已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是_______________．
15．已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________
16．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离．
三、解答题
17．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.
18．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率。
19．设命题p:不等式的解集是;命题q:不等式的解集是,若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.
20．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
21．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．
22．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1⊥F1F2,|EF1|=,|EF2|=,求椭圆C的方程.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析： ，则且；反之，且时，，故选B.
考点：充要条件的判断.
2．C
【解析】
试题分析：当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题、至少有一个是假命题，可得C正确.
考点： 命题真假的判断.
3．C
【解析】
解题分析：因为,是距离为6，动点M满足∣∣+∣∣=6,所以M点的轨迹是线段。故选C。
考点：主要考查椭圆的定义。
点评：学习中应熟读定义，关注细节。
4．C
【解析】因为双曲线，a=4,b=3,c=5,则其渐近线方程为,选C.
5．A
【解析】
试题分析：由焦点为，所以，双曲线的焦点在y轴上，且＝，焦点到最近顶点的距离是，所以，＝－（）＝1，所以，＝，所以，双曲线方程为：.本题容易错选B，没看清楚焦点的位置，注意区分.
考点：双曲线的标准方程及其性质.
6．A
【解析】
试题分析：设正方形的边长为1，则根据题意知，
，所以椭圆的离心率为
考点：本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法，考查学生的运算求解能力.
点评：求椭圆的离心率关键是求出，而不必分别求出
7．A
【解析】
试题分析：因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，且椭圆的焦点应该在轴上，所以因为，所以
考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用.
点评：椭圆中，而在双曲线中
8．B
【解析】
试题分析：设所求的双曲线方程为，因为过点（2,2），代入可得，所以所求双曲线方程为.
考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查学生的运算求解能力.
点评：与双曲线有共同的渐近线的方程设为是简化运算的关键.
9．C
【解析】
试题分析：应用向量的夹角公式=－1．所以量的夹角是，故选C。
考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算.
点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。
10．C；
【解析】
试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．也可直接运用坐标运算。经计算选C。
考点：本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算.
点评：有不同解法，较好地考查考生综合应用知识解题的能力。
11．B
12．C
【解析】
试题分析：根据题意，由于直线与圆相切，则圆心（0,0）到直线x+y=m的距离为，则可知得到参数m的值为2，故答案为C.
13．
14．
【解析】
试题分析：抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.
15．
【解析】
试题分析：方程表示椭圆，需要满足，解得的取值范围为.
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记，否则就表示圆了.
16．
【解析】
试题分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．
17．【解析】如图,建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),
所以=(1,-2,1),=(2, -1,-1),=(0,-1,0).
设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,
则所以
所以x=y=z,可取n=(1,1,1),
所以d===,
即点A到平面EFG的距离为.
18．双曲线方程为，离心率为
【解析】
试题分析：设所求双曲线方程为，
带入，，
所求双曲线方程为，
又，
离心率.
19. 解:由得,由题意得.
∴命题p:.
由的解集是,得无解,
即对,恒成立,∴,得.
∴命题q:.
由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.
当p、q均为假命题,则,而.
∴实数a的值取值范围是.
20．
【解析】
试题分析：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
21．解: 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系.
(Ⅰ)依题意有，，，
则，，，所以， ，
即 ⊥，⊥.且故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面. ……6分
（II）依题意有，=，=.
设是平面的法向量，则 即
因此可取
设是平面的法向量，则
可取所以且由图形可知二面角为钝角
故二面角的余弦值为
22．【解析】因为点E在椭圆C上,
所以2a=|EF1|+|EF2|=+=6,即a=3.
在Rt△EF1F2中,|F1F2|===2,
所以椭圆C的半焦距c=.
因为b===2,
所以椭圆C的方程为+=1.
姓名：___________ 班级：___________
一、选择题
1．“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．若是假命题，则（）
A.是真命题，是假命题 B.、均为假命题
C.、至少有一个是假命题 D.、至少有一个是真命题
3．,是距离为6的两定点，动点M满足∣∣+∣∣=6,则M点的轨迹是（）
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
4．双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方形的顶点为椭圆的焦点，顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（）
A．1 B． C．2 D．3
8．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）
（A） （B）（C）（D）
9．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（）
A．0 B． C． D．
10．与向量平行的一个向量的坐标是 （）
A．（，1，1）B．（－1，－3，2）C．（－，，－1） D．（，－3，－2）
11．已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）
A. B.
C. D.
12．若直线与圆相切，则的值为（）
A．B．C．D．或
二、填空题
13．直线被圆截得的弦长为_______________.
14．已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．
15．已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________
16．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离．
三、解答题
17．求过点(－1，6)与圆x+y+6x－4y+9=0相切的直线方程．
18．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率。
19．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为2的圆的方程．
20．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
21．已知椭圆的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点（0，1），且=，求直线的方程．
22．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．
(1)求证：；
(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；
(3)求与平面所成角的正弦值．
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：，则且；反之，且时，，故选B.
考点：充要条件的判断.
2．C
【解析】
试题分析：当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题、至少有一个是假命题，可得C正确.
考点：命题真假的判断.
3．C
【解析】
解题分析：因为,是距离为6，动点M满足∣∣+∣∣=6,所以M点的轨迹是线段。故选C。
考点：主要考查椭圆的定义。
点评：学习中应熟读定义，关注细节。
4．C
【解析】因为双曲线，a=4,b=3,c=5,则其渐近线方程为,选C.
5．A
【解析】
试题分析：由焦点为，所以，双曲线的焦点在y轴上，且＝，焦点到最近顶点的距离是，所以，＝－（）＝1，所以，＝，所以，双曲线方程为：.本题容易错选B，没看清楚焦点的位置，注意区分.
考点：双曲线的标准方程及其性质.
6．A
【解析】
试题分析：设正方形的边长为1，则根据题意知，
，所以椭圆的离心率为
考点：本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法，考查学生的运算求解能力.
点评：求椭圆的离心率关键是求出，而不必分别求出
7．A
【解析】
试题分析：因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，且椭圆的焦点应该在轴上，所以因为，所以
考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用.
点评：椭圆中，而在双曲线中
8．B
【解析】
试题分析：设所求的双曲线方程为，因为过点（2,2），代入可得，所以所求双曲线方程为.
考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查学生的运算求解能力.
点评：与双曲线有共同的渐近线的方程设为是简化运算的关键.
9．C
【解析】
试题分析：应用向量的夹角公式=－1．所以量的夹角是，故选C。
考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算.
点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。
10．C；
【解析】
试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．也可直接运用坐标运算。经计算选C。
考点：本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算.
点评：有不同解法，较好地考查考生综合应用知识解题的能力。
11．B
【解析】
试题分析：因圆心在直线上，而点（1，1）和点（-1，-1）不在直线上，故C、D错；又直线及平行，且都与圆相切，故圆心在第四象限，故A错，选B.或用直接法求解亦可.
考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.
12．C
【解析】
试题分析：根据题意，由于直线与圆相切，则圆心（0,0）到直线x+y=m的距离为，则可知得到参数m的值为2，故答案为C.
考点：直线与圆的位置关系
点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
13．
【解析】
试题分析：由弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形，应用勾股定理得，直线被圆截得的弦长为。
考点：直线与圆的位置关系
点评：简单题，研究直线与圆的位置关系问题，要注意利用数形结合思想，充分借助于“特征直角三角形”，应用勾股定理。
14．
【解析】
试题分析：抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.
考点：1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.
15．
【解析】
试题分析：方程表示椭圆，需要满足，解得的取值范围为.
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记，否则就表示圆了.
16．
【解析】
试题分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．
考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
点评：法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．
17．3x－4y+27=0或x=－1.
【解析】
试题分析：圆x+y+6x－4y+9=0，即。点(－1，6)在圆x+y+6x－4y+9=0外，所以，过点(－1，6)与圆x+y+6x－4y+9=0相切的直线有两条。
当切线的斜率不存在时，x=－1符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即。
由圆心（－3，2）到切线距离等于半径2，得，，解得，k=，
所以，切线方程为3x－4y+27=0。
综上知，答案为3x－4y+27=0或x=－1.
考点：直线与圆的位置关系
点评：中档题，研究直线与圆的位置关系问题，利用“代数法”，须研究方程组解的情况；利用“几何法”，则要研究圆心到直线的距离与半径比较。本题易错，忽视斜率不存在的情况。
18．(x-1)2+(y-3)2 =9或(x+1)2+(y+3)2 =9
【解析】
试题分析：解：设圆心为（a,b）,半径为r,
因为圆x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，
所以b=3a,r=|b|=|3a|,
圆心（a,3a）到直线x－y＝0的距离d=
由r2-d2=()2 得：a=1或-1
所以圆的方程为(x-1)2+(y-3)2 =9或(x+1)2+(y+3)2 =9
考点：圆的方程
点评：确定出圆心和半径是解决圆的方程的关键，属于基础题。
19．双曲线方程为，离心率为
【解析】
试题分析：设所求双曲线方程为，……4分
带入，，……8分
所求双曲线方程为，……10分
又，
离心率.……12分
考点：本小题主要考查由渐近线方程和双曲线上的点求双曲线方程的方法和双曲线离心率的求法，考查学生的运算求解能力.
点评：由双曲线方程设所求双曲线方程为是简化此题解题步骤的关键，另外圆锥曲线中离心率是一个比较常考的考点，要准确求解.
20．
【解析】
试题分析：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
考点：本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质，考查抛物线标准方程求法---待定系数法。
点评：本题突出考查了抛物线的标准方程、几何性质，，通过布列方程组，运用待定系数法，使问题得解。
21．（Ⅰ）（Ⅱ）或
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知，,解得，,
所以，所以椭圆C的方程为。……4分
（Ⅱ）由得，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以解得。
设A（，），B（，）
则，，……7分
计算，
所以，A，B中点坐标E（，）,
因为=，所以PE⊥AB，,
所以,解得,
经检验，符合题意，所以直线的方程为或。……12分
考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及中点坐标公式、斜率公式等的综合应用，考查学生数形结合解决问题的能力和运算求解能力.
点评：圆锥曲线是每年高考的重点考查内容，涉及到直线与圆锥曲线的位置关系时，运算量比较大，要结合图形，数形结合可以简化运算.
22．（1）详见解析；（2）详见解析；(3)
【解析】
试题分析：在空间中直线、平面的平行和垂直关系的判定，求空间中的角，可以用相关定义和定理解决，如(1)中，易证，，所以，，但有些位置关系很难转化，特别求空间中的角，很难找到直线在平面内的射影，很难作出二面角，这时空间向量便可大显身手，如果图形便于建立空间直角坐标系，则更为方便，本题就是建立空间直角坐标系，写出各点坐标（1）计算即可；(2)设，再由，解出，即可找出点；(3)用待定系数法求出件可求出平面的法向量，再求出平面的法向量与向量平面的夹角的余弦，从而得到结果.
试题解析：以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)，设，则，，，，，，．
(1)因为，所以.4分
(2)设，则平面，，
，所以，
，所以
∴点坐标为，即点为的中点．8分
(3)设平面的法向量为．
由得，即，
取，则，，得．
，
所以，与平面所成角的正弦值的大小为13分
考点：空间向量与立体几何.
高二数学选修2－1质量检测试题（卷）2009.2
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至6页。考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是
A. B.
C.或 D. 或
2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.
(1) ,； (2) ,；
（3）,； （4）,
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3. 若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是
A. B. C. D. －
4.“”是“”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. “直线l与平面(内无数条直线都垂直”是“直线l与平面(垂直”的（ ）条件
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
6.在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
7. 已知两定点，，曲线上的点P到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为
A. B. C. D.
8. 已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是
A. (1,－4,2) B. C. D. (0,－1,1)
9. 命题“若，则”的逆否命题是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10 . 已知椭圆，若其长轴在轴上.焦距为，则等于
A.. B.. C. . D..
11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：
（1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；
(2) “”是“”的充要条件；
(3) “”是“”的必要不充分条件；
（4）“”是“”的必要不充分条件.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
12。双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上。
13．请你任意写出一个全称命题 ；其否命题为 .
14．已知向量，，且，则= ____________.
15． 已知点M（1，－1，2），直线AB过原点O, 且平行于向量（0，2，1），则点M到直线AB的距离为__________.
16．已知点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P满足的方程为 .
17．命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 .
18. 已知椭圆，直线AB过点 P（2，－1），且与椭圆交于A、B两点，若直线AB的斜率是，则的值为 .
高二数学选修2－1质量检测试题（卷）2009.2
题号
二
三
总分
总分人
19
20
21
22
得分
复核人
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 把答案填在题中横线上.
13．全称命题是 ; 其否命题是 .
14. _____. 15. . 16.
17.________________. 18. __________________.
三、解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. （本小题满分15分）请你用逻辑联结词“且”、“或”、“非”构造三个命题，并说出它们的真假，不必证明.
20. （本小题满分15分）已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在轴上，求椭圆的方程.
21. （本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离.
22. （本小题满分15分）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程； （2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程.
数学选修2－1质量检测参考答案及评分标准 2009.2
一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。
1. C. （p75练习题1改） 2. B（p38练习题3改） 3. A（p45练习题2改）
4. B.（复习题一A组4题改） 5. C．（08上海卷理13） 6. B（08四川延考文12）
7. A（p80，练习题1（2）改） 8. D（复习题二A组13题改） 9. C（p5,练习题2改）
10 . D（复习题三A组2题改） 11． A（复习题一A组1题改） 12。C．（08陕西高考）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
13．答案不唯一，正确写出全称命题得3分，正确写出其否命题得2分.
14． 3 （08海南宁夏卷理13）. 15． 8（选修2－1，p50练习题改）
16． （选修2－1 p76， A组5题改） 17．没有一个偶数是素数
18. （p96， 复习题三A组8题改）
三、解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. 答案不唯一，每正确写出一个命题得3分，正确说出命题的真假每个得2分.
20. （选修2－1，p96，复习题二，B组2题改）
解：设所求椭圆方程为，其离心率为，焦距为2，双曲线的焦距为2，离心率为，（2分），则有：
，＝4 （4分）
∴ （6分）
∴，即 ① （8分）
又＝4 ② （10分）
③ （12分）
由①、 ②、③可得
∴ 所求椭圆方程为 （15分）
21. （本小题满分15分）（08安徽卷理18）
解： 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,（3分）
(1) （5分）
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得 （7分）
（9分）
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为 （13分）
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 （15分）
22. （p87，例3改） 解：（1）设椭圆的标准方程为， （2分）
由已知有： (4分)， ，（6分）
解得：
∴ 所求椭圆标准方程为 ①（8分）
（2）设l的斜率为，M、N的坐标分别为，
∵椭圆的左焦点为，∴l的方程为 ②（10分）
①、②联立可得 （11分）
∴
∴ （13分）
又 ∵
即
∴
∴
∴
∴
∴ ∴
∴l的方程为 或（15分）
命题人： 吴晓英 检测人：张新会
