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24.2.1 点和圆的位置关系
一、单选题
1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是( )
A.a2.(2022九上·西湖月考)已知点到圆心的距离为4,若点在圆内,则的半径可能为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2023九上·余姚期末)下列命题:①三点确定一个圆;②三角形的外心到三边的距离相等;③相等的圆周角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2018九上·东台期中)已知⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=5cm,则点A与⊙O的位置关系为( )
A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定
5.(2024九上·铜山月考)的半径为5,点到圆心的距离为5,点与的位置关系是( )
A.点在内 B.点在外 C.点在上 D.无法确定
6.已知两个同心圆的圆心为O,半径分别是2和3,且2<OP<3,那么点P在( )
A.小圆内 B.大圆内
C.小圆外大圆内 D.大圆外
7.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,则它的外心与直角顶点的距离是为( )
A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm
8.(2023八下·滨江期中)用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,第一步应先假设命题不成立,则下列各备选项中,第一步假设正确的是( )
A.假设四边形中没有一个角是钝角或直角
B.假设四边形中有一个角是钝角或直角
C.假设四边形中每一个角均为钝角
D.假设四边形中每一个角均为直角
9.已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴∠A+∠B+∠C> 180°,这与三角形内角和为180°矛盾.
②因此假设不成立,∠B<90°.
③假设在△ABC中,∠B≥90°.
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90° ,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
10.(2023八下·内江开学考)如图,点C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边ΔABC和等边ΔCDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOE=120°;⑥ΔCPQ为等边三角形;⑦CO平分∠AOE;正确的有( )个.
A.3个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题
11.(2024九上·栖霞月考)如图,外接圆的圆心坐标是 .
12.(2024·柳州模拟)已知的半径为3,点P在外,则点P到圆心O的距离d的取值范围是 .
13.(2024九上·射阳月考)的半径为4,点与点距离为2,则点与的位置关系是 .
14.(2023九上·肇源期中)一个点到圆上的点的最小距离为6cm,最大距离为10cm,则圆的半径为 cm.
15.(2022九上·桥西月考)如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,其半径为3. 图中阴影部分的面积是 .
16.(2023九上·龙泉期中)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=4,∠CAB=60°,P是弧BC上的一个动点,连结AP,过点C点作CD⊥AP于点D,连结BD,在点P移动的过程中.
(1)AC= ;
(2)BD的最小值是 .
三、计算题
17.(2023九上·建湖月考)如图,在平面直角坐标系中,有一圆弧经过三个点A、B、C,且点A、B、C的坐标分别为、、.
(1)该圆弧所在圆的圆心M的坐标为______;
(2)的直径为______;
(3)点在______;(填内、外、上);
(4)点O到上的点最远的距离为______.
四、解答题
18.(2024九上·阜宁月考)设的半径为2,点P到圆心的距离,且m使关于x的方程有两个不相等的实数根,试确定点P与的位置关系.
19.(2023九上·连云月考)如图,在平面直角坐标系中,A、B、C是上的三个点、、.
(1)写出圆心M的坐标为___________;
(2)这个圆的半径为___________;
(3)直接判断点与的位置关系.点在__________(填内、外、上).
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是 上的一个动点,连接AP,求AP的最小值.
21.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点F为AC中点,⊙O经过点B,F,且与AC交于点D,与AB交于点E,与BC交于点G,连结BF,DE,弧EFG的长度为(1+)π.
(1)求⊙O的半径;
(2)若DE∥BF,且AE=a,DF=2+﹣a,请判断圆心O和直线BF的位置关系,并说明理由.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】反证法
2.【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
3.【答案】D
【知识点】垂径定理;圆周角定理;确定圆的条件;三角形的外接圆与外心
4.【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
5.【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
6.【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
7.【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
8.【答案】A
【知识点】反证法
9.【答案】D
【知识点】三角形内角和定理;反证法
10.【答案】C
【知识点】平行线的判定;三角形全等及其性质;等边三角形的判定与性质;反证法;角平分线的判定
11.【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
12.【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
13.【答案】点A在内
【知识点】点与圆的位置关系
14.【答案】8或2
【知识点】点与圆的位置关系
15.【答案】3π.
【知识点】圆周角定理;三角形的外接圆与外心
16.【答案】(1)2
(2)
【知识点】勾股定理;圆周角定理;点与圆的位置关系
17.【答案】(1)
(2)
(3)上
(4)
【知识点】勾股定理;圆的相关概念;垂径定理;点与圆的位置关系
18.【答案】点P在内
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;点与圆的位置关系
19.【答案】(1)
(2)
(3)内
【知识点】勾股定理;点与圆的位置关系;确定圆的条件
20.【答案】解:找到BC的中点E,连接AE,交半圆于P2,在半圆上取P1,连接AP1,EP1,
可见,AP1+EP1>AE,
即AP2是AP的最小值,
∵AE= = ,P2E=1,
∴AP2= ﹣1.
【知识点】勾股定理;点与圆的位置关系
21.【答案】解:(1)设⊙O的半径为r,
∵∠ABC=90°
∴弧EFG所对的圆心角的度数为180°,
∴=(1+)π,即r=1+;
(2)答:圆心O在直线BF上.
理由如下:
∵DE∥BF,
∴∠ADE=∠AFB.
∵四边形DEBF是⊙O的内接四边形,
∴∠AFB+∠DEB=180°.
∵∠AED+∠DEB=180°,
∴∠AFB=∠AED,
∴∠ADE=∠AED,
∴AD=AE=a.
∵DF=2+﹣a,
∴AF=AD+DF=2+.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°且F为AC中点,
∴BF=AF=2+.
∵r=1+ ,
∴BF=2r.
∵B、F都在⊙O上,
∴BF为⊙O直径,
∴点O在直线BF上.
【知识点】点与圆的位置关系
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