东城区2024－2025学年度第二学期期末统一检测
初 一 数 学2025.7
学校_____________ 班级_____________ 姓名______________ 教育ID号______________
考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间100分钟．2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题(本题共8小题，每小题2分，共16分)
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列调查中，适宜用全面调查方法的是
A．手机厂商检测某型号手机的使用寿命
B．班长了解全班同学的视力
C．出版社调查全市青少年对一部文学作品的阅读情况
D．食品公司调查各省人民对粽子的喜爱程度
2．在平面直角坐标系xOy中有下列四个点，在第二象限的点是
A．(1，2) B．(0，1) C．(1，－2) D．(－2，1)
3．已知点M在直线PQ外，要求过点M画直线PQ的平行线．某位同学先过点M画直线l交PQ于点N，并使得∠MNQ＝60°，然后他通过将含有30°角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在点N处，他的三角板摆放方法正确的是
4．以下四个命题中，是真命题的是
A．若a＜b，则－a＜－b B．9的平方根是3
C．3.14－π的相反数是它本身 D．点(－1，1)到两条坐标轴的距离都是1
5．如图，在三角形ABC中，∠B＝41°，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC.在以下四个结论中，正确的是
A．∠BDE＝139°
B．∠AED＝41°
C．∠A＝41°
D．∠C＝41°
6．某部门要在一条笔直的东西方向的马路边植树，准备利用运输车将树苗从集中存放点M处运送到A，B，C，D四个发放点，发放点A，B，C，D与存放点M的方位如图所示．在四个发放点中，与集中存放点M距离最近的是
A．发放点A
B．发放点B
C．发放点C
D．发放点D
7．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则在下列结论中，正确的是
A．|a|＜b B．a－b＞0 C．a2＞2 D.＞－
8．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，关于x，y的二元一次方程ax＋by＝c的图象是一条直线，这条直线记作直线ax＋by＝c.
若关于x, y的二元一次方程ax＋by＝c，mx＋ny＝k的解的情况分别如表1、表2所示：
表1
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
y … 7 6 5 4 3 2 …
表2
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
y … －1 0 1 2 3 4 …
则直线ax＋by＝c与直线mx＋ny＝k的交点坐标为
A．(0，4) B．(－2，6) C．(1，3) D．(2，4)
二、填空题(本题共8小题，每小题2分，共16分)
9．科技小组的同学们为了研究近年来北京市科技创新的情况，查阅了2019－2023年北京市专利授权量的数据，并绘制了趋势图，由此对2024年北京市专利授权量做出了预测．他们的预测值可能是________千件(结果保留整数)．
10．若方程3x－5＝x＋1的解满足方程2x－y＝－9，则y的值是________.
11．在一次有奖竞答的活动中，组织者对每位选手的答题情况进行统计，小强和小亮的答题情况如图1所示．
(1)小亮答对的题数为________；
(2)若用扇形图表示小亮答对题数、答错或不答题数的占比情况，则“答对”所在扇形的圆心角是________°.
12．已知是关于x，y的二元一次方程mx＋ny＝12的解，则代数式4m＋6n＋20的值为________．
13．若关于x的方程5x＋2＝k＋4x的解大于2且小于4，则k的整数值为________．
14．已知22＜5＜32，2.22＜5＜2.32，2.232＜5＜2.242，2.2362＜5＜2.2372，则的近似值是________(精确到0.01)．
小红购买了2个白色的兔爷泥塑模型和1个白色的京剧脸谱面具，准备涂色后送给喜欢传统文化的母亲．小红涂色时间少于7小时，且涂色1个脸谱面具比1个兔爷模型时间少0.5小时，设涂色1个兔爷模型需x小时．依据题意所列的关于x的不等式为________，x的取值范围是________．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(－1，2)，C(1，4)．点P是线段BC上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作S.
(1)________(填“存在”或“不存在”)一点P，使得S＝1；
(2)将线段BC向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得S＝1，则t的最大值是________．
三、解答题(共68分，第17题7分，第18题5分，第19题6分，第20－25题，每题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：
(1)2＋|1－|; (2)＋＋.
18．解方程组：
19．解不等式组并将解集表示在数轴上．
20．完成下面的证明．
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF.
求证：∠E＝∠F.
证明：∵∠A＝∠1，
∴AE∥________(_____________________________________)(填推理的依据)．
∴∠2＝________．
∵CE∥DF，
∴∠2＝________(_____________________________________)(填推理的依据)．
∴∠E＝∠F.
21．如图，∠ABC＝45°，点D在边BA上，过点D作直线DE⊥AB，交BC于点F，DG平分∠BDE.
(1)求证：DG∥BC；
(2)求∠CFD的度数．
22．如图，∠MON＝60°，点P在边OM上，且不与点O重合．
按要求补全图形，并回答问题：
(1)过点P画直线l∥ON；
(2)点A(异于点P)在(1)中所画的直线l上，则∠APO的度数是____________；
(3)在(2)的条件下，以点O为原点，直线ON为x轴建立平面直角坐标系．若点P的坐标为(1，)，且点A与点P的距离为4，则点A的坐标为____________．
23．如图，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点叫作格点，三角形ABC的顶点都是格点．将三角形ABC先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形A1B1C1.
(1)画出三角形A1B1C1；
(2)写出所有与∠A1CA相等的角：____________；
(3)求三角形A1B1C1的面积．
24．已知A＝3x2＋3x，B＝3x2＋2x＋3，比较A与B的大小，并说明理由．
25．某校七年级1班数学小组在“低碳生活”实践活动中，了解到每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放．为了解同学们家庭的碳排放情况，该小组随机抽取了该校部分七年级学生家庭，收集了这些家庭2024年的人均碳排放量的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．抽取的七年级学生家庭2024年的人均碳排放量的数据的频数分布表如下：
年人均碳排放量x/吨 频数 百分比
2.5≤x<2.8 4 8%
2.8≤x<3.1 7 n
3.1≤x<3.4 9 18%
3.4≤x<3.7 m 24%
3.7≤x<4.0 10 20%
4.0≤x<4.3 6 12%
4.3≤x<4.6 2 4%
b.抽取的七年级学生家庭2024年的人均碳排放量的数据在2.8≤x<3.1这一组的是：
2．8 2.8 2.9 2.9 3.0 3.0 3.0
c．抽取的七年级学生家庭2024年的人均碳排放量的数据的频数分布直方图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)这里采用的调查方式是____________(填“全面调查”或“抽样调查”)；
(2)填空：m＝__________，n＝__________，并把频数分布直方图补充完整；
(3)估计该校七年级700个学生家庭中，2024年的人均碳排量不超过3吨的家庭大约有多少户？
26.为庆祝3月14日“国际数学日”，某校七年级策划了“漫画数学”活动，并设置了创意和青苗两个奖项，以获奖作品作为图案向某店铺定制纪念册与环保袋，其中纪念册作为创意奖奖品，环保袋作为青苗奖奖品．已知定制3本纪念册和5个环保袋，共需支付55元；定制5本纪念册和10个环保袋，共需支付100元．
(1)该店铺的纪念册和环保袋单价分别是多少元？
(2)为了吸引顾客，该店铺推出了优惠方案：消费满1000元，一律打九折．七年级计划发放200个奖品，其中纪念册不少于64本，总费用不超过1200元，有哪几种定制方案？说明理由．
27．在四边形ABCD中，BC∥AD，BP平分∠ABC交AD于点P，延长PB，DC交于点O.点 E为线段AB上的动点，连接PE，过点P作PF⊥PE交OD于点F.
(1) 当点E与点B重合时，
①依题意补全图1；
②若∠ABC＝120°，则∠DPF＝________°；
(2)当点E运动到某个位置时，恰好使得PF⊥OD.
①猜想PE与OD的位置关系，并证明；
②BH平分∠ABP交PE于点H.用等式表示∠APB，∠BHE，∠D的数量关系，并证明．
图1 备用图
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和长度为a的线段MN给出如下定义：若线段MN平行于x轴(或与x轴重合)，则将线段MN向下平移a个单位长度，得到线段M′N′；若线段MN平行于y轴(或与y轴重合)，则将线段MN向右平移a个单位长度，得到线段M′N′.若点P在以M，N，M′，N′为顶点的正方形的边上，则称点P是线段MN的“方田点”．
已知点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，1)．
(1)在P1(0，1)，P2，P3(1，0)，P4(－1，－2)这四个点中，________是线段AB的“方田点”；
(2)点C，D(m＋2，1)，若线段CD上存在线段AB的“方田点”，则m的取值范围是________；
(3)点G(t，t)，H，点P是线段AB的“方田点”，将点P向下平移3个单位长度，得到点Q.若线段GH的“方田点”都是线段PQ的“方田点”，直接写出t的取值范围．东城区2024－2025学年度第二学期期末统一检测
初一数学参考答案及评分标准2025.7
一、选择题(本题共8小题，每小题2分，共16分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D A B C C
二、填空题(本题共8小题，每小题2分，共16分)
9．答案不唯一，如119 10.15
11.(1)12 (2)216 12.44 13.5
14．2.24 15.2x＋x－0.5＜7 0.5＜x＜2.5
16．(1)不存在 (2)5
三、解答题(共68分，第17题7分，第18题5分，第19题6分，第20－25题，每题5分，第26题6分，第 27－28题，每题7分)
17．解：(1)2＋ (2)＋＋
＝2＋－1 ………2分 ＝2－3＋ …………3分
＝3－1.……………3分 ＝.…………………4分
18．解：
把①代入②，得y－3y＝－2，解得y＝1.
把y＝1代入①，解得x＝.
所以，原方程组的解是...............................................5分
19．解：
由①，得2x＞－5，
解得x＞－.
由②，得3(x－5)＋24≥2(5x＋1)，
解得x≤1.
所以，原不等式组的解集是－＜x≤1.
........................................................6分
20．BF；同位角相等，两直线平行；∠E；∠F；两直线平行，内错角相等................5分
21．(1)证明：∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°.
∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠BDE＝45°.
∵∠ABC＝45°，
∴∠BDG＝∠ABC.
∴DG∥BC................................................3分
(2)解：∵DE⊥AB，
∴∠BDF＝90°.
由(1)知∠BDG＝45°，
∴∠FDG＝∠BDF＋∠BDG＝135°.
由(1)知DG∥BC，
∴∠CFD＝∠FDG＝135°..............................................5分
22．解：(1)图略；.......................1分
(2)60°或120°；..........................3分
(3)(－3，)或(5，)..................................5分
23．解：(1)图略；................................1分
(2)∠BAC，∠B1A1C1(或∠CA1C1)；....................3分
(3).........................5分
24．解：A－B＝3x2＋3x－(3x2＋2x＋3)＝x－3......................2分
当x>3 时，A－B＞0，∴A>B；
当x＝3 时，A－B＝0，∴A＝B；
当x＜3 时，A－B＜0，∴A＜B............................5分
25．解：(1)抽样调查；..........................1分
(2)12，14%；
...........................................................................................4分
(3)×700＝154(户)．
答：估计该校七年级700个学生家庭中，2024年的人均碳排放量不超过3吨的家庭大约有154户..............................................5分
26．解：(1)设该店铺的纪念册每本x元，环保袋每个y元．
根据题意，得
解得
答：该店铺的纪念册每本10元，环保袋每个5元...........................................3分
(2)设定制纪念册m本，则定制环保袋(200－m)个，其中64≤m<200.
依题意可判断总费用超过1000元．
根据题意，得0.9[10m＋5(200－m)]≤1200.
解得m≤＝66.
∵m≥64且为整数，
∴m＝64，65，66.
有三种定制方案：
方案1：纪念册64本，环保袋136个，总费用为0.9×(64×10＋136×5)＝1188(元)；
方案2：纪念册65本，环保袋135个，总费用为0.9×(65×10＋135×5)＝1192.5(元)；
方案3：纪念册66本，环保袋134个，总费用为0.9×(66×10＋134×5)＝1197(元)．
.........................................................6分
27．解：(1)①如图补图................................1分
②30..................................2分
(2)①PE∥OD..................................3分
证明：∵PE⊥PF，PF⊥OD，
∴∠EPF＝90°，∠PFD＝90°.
∴PE∥OD..................................4分
②∠APB＝(∠BHE＋∠D).....................................5分
证明：如图，过点B作BG∥OD，
则∠GBC＝∠BCO.
∵BC∥AD，
∴∠D＝∠BCO.
∴∠GBC＝∠D.
∵PE∥OD，
∴BG∥PE.
∴∠HBG＝∠BHE.
∴∠HBC＝∠HBG＋∠GBC＝∠BHE＋∠D.
∵BH平分∠ABP，BP平分∠ABC，
∴∠EBH＝∠PBH＝∠ABP，∠ABP＝∠CBP.
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠CBP.
∴∠APB＝∠CBP＝∠ABP.
∴∠APB＝2∠PBH，∠HBC＝3∠PBH.
∴∠APB＝∠HBC.
∴∠APB＝(∠BHE＋∠D)...................................7分
28．解：(1)P1，P3；..................2分
(2)－3≤m≤1；...........................4分
(3)－1≤t≤－，或≤t≤1....................7分
